北师版九年级下册第二章二次函数知识点及习题.docx
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北师版九年级下册第二章二次函数知识点及习题
九年级下册第二章二次函数
一、二次函数概念：
1．二次函数的概念：
一般地，形如
（
是常数，
）的函数，叫做二次函数。
初中阶段所学函数：
一次函数：
正比例函数:
（
是常数，
）反比例函数：
（
是常数，
）
这里需要强调：
和一元二次方程类似，二次项系数
，而
可以为零．二次函数的定义域是全体实数．
2.二次函数
的结构特征：
⑴等号左边是函数，右边是关于自变量
的二次式，
的最高次数是2．
⑵
是常数，
是二次项系数，
是一次项系数，
是常数项．
二、二次函数的图像和性质
1.二次函数基本形式：
的性质：
（1）当｜a｜越大，抛物线开口越小；当｜a｜越小，抛物线的开口越大。
（2）最大值或最小值：
当a＞0，且x＝0时函数有最小值，最小值是0；
当a＜0，且x＝0时函数有最大值，最大值是0。
的符号
开口方向
顶点坐标
对称轴
性质
向上
轴
时，
随
的增大而增大；
时，
随
的增大而减小；
时，
有最小值
．
向下
轴
时，
随
的增大而减小；
时，
随
的增大而增大；
时，
有最大值
．
2.
的性质：
上加下减。
的符号
开口方向
顶点坐标
对称轴
性质
向上
轴
时，
随
的增大而增大；
时，
随
的增大而减小；
时，
有最小值
．
向下
轴
时，
随
的增大而减小；
时，
随
的增大而增大；
时，
有最大值
．
3.
的性质：
左加右减。
的符号
开口方向
顶点坐标
对称轴
性质
向上
时，
随
的增大而增大；
时，
随
的增大而减小；
时，
有最小值
．
向下
时，
随
的增大而减小；
时，
随
的增大而增大；
时，
有最大值
．
4.
的性质：
的符号
开口方向
顶点坐标
对称轴
性质
向上
时，
随
的增大而增大；
时，
随
的增大而减小；
时，
有最小值
．
向下
时，
随
的增大而减小；
时，
随
的增大而增大；
时，
有最大值
．
5.
的性质
二次函数
配方成
则抛物线的
①对称轴：
②顶点坐标：
（
，
）
③增减性：
若a>0，则当x<
时，y随x的增大而减小；
当x>
时，y随x的增大而增大。
若a<0，则当x<
时，y随x的增大而增大；
当x>
时，y随x的增大而减小。
④最值：
若a>0，则当
时，
；
若a<0，则当
时，
三、二次函数图象的平移
1.平移步骤：
方法一：
⑴将抛物线解析式转化成顶点式
，确定其顶点坐标
；
⑵保持抛物线
的形状不变，将其顶点平移到
处，具体平移方法如下：
2.平移规律
在原有函数的基础上“
值正右移，负左移；
值正上移，负下移”．
概括成八个字“左加右减，上加下减”．
方法二：
⑴
沿
轴平移:
向上（下）平移
个单位，
变成
（或
）
⑵
沿轴平移：
向左（右）平移
个单位，
变成
（或
）
四、二次函数
与
的比较
从解析式上看，
与
是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即
，其中
．
五、二次函数
图象的画法
五点绘图法：
利用配方法将二次函数
化为顶点式
，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.
画草图时应抓住以下几点：
开口方向，对称轴，顶点，与
轴的交点，与
轴的交点.
①先找出顶点（
，
），画出对称轴
；
②找出图象上关于直线
对称的四个点（如与坐标的交点等）；一般我们选取的五点为：
顶点、与
轴的交点
、以及
关于对称轴对称的点
、与
轴的交点
，
（若与
轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）.
③把上述五点连成光滑的曲线。
六、二次函数解析式的表示方法
1.一般式：
（
，
，
为常数，
）；
2.顶点式：
（
，
，
为常数，
）；
3.两根式：
（
，
，
是抛物线与
轴两交点的横坐标）.
注意：
任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与
轴有交点，即
时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化.
七、二次函数的图象与各项系数之间的关系
1.二次项系数
二次函数
中，
作为二次项系数，显然
．
⑴当
时，抛物线开口向上，
的值越大，开口越小，反之
的值越小，开口越大；
⑵当
时，抛物线开口向下，
的值越小，开口越小，反之
的值越大，开口越大．
总结起来，
决定了抛物线开口的大小和方向，
的正负决定开口方向，
的大小决定开口的大小．
2.一次项系数
在二次项系数
确定的前提下，
决定了抛物线的对称轴．
⑴在
的前提下，
当
时，
，即抛物线的对称轴在
轴左侧；
当
时，
，即抛物线的对称轴就是
轴；
当
时，
，即抛物线对称轴在
轴的右侧．
⑵在
的前提下，结论刚好与上述相反，即
当
时，
，即抛物线的对称轴在
轴右侧；
当
时，
，即抛物线的对称轴就是
轴；
当
时，
，即抛物线对称轴在
轴的左侧．
总结起来，在
确定的前提下，
决定了抛物线对称轴的位置．
总结：
的符号的判定：
对称轴
在
轴左边则
，在
轴的右侧则
，概括的说就是“左同右异”
3.常数项
⑴当
时，抛物线与
轴的交点在
轴上方，即抛物线与
轴交点的纵坐标为正；
⑵当
时，抛物线与
轴的交点为坐标原点，即抛物线与
轴交点的纵坐标为
；
⑶当
时，抛物线与
轴的交点在
轴下方，即抛物线与
轴交点的纵坐标为负．
总结起来，
决定了抛物线与
轴交点的位置．
总之，只要
都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的．
八、二次函数解析式的确定：
根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法．用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便．一般来说，有如下几种情况：
1.已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；
2.已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；
3.已知抛物线与
轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式；
4.已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式．
九、二次函数图象的对称
二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达
1.关于
轴对称
关于
轴对称后，得到的解析式是
；
关于
轴对称后，得到的解析式是
；
2.关于
轴对称
关于
轴对称后，得到的解析式是
；
关于
轴对称后，得到的解析式是
；
3.关于原点对称
关于原点对称后，得到的解析式是
；
关于原点对称后，得到的解析式是
；
4.关于顶点对称（即：
抛物线绕顶点旋转180°）
关于顶点对称后，得到的解析式是
；
关于顶点对称后，得到的解析式是
．
5.关于点
对称
关于点
对称后，得到的解析式是
根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此
永远不变．求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式．
十、二次函数与一元二次方程：
1.二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与
轴交点情况）：
一元二次方程
是二次函数
当函数值
时的特殊情况.
图象与
轴的交点个数：
①当
时，图象与
轴交于两点
，其中的
是一元二次方程
的两根．这两点间的距离
.
②当
时，图象与
轴只有一个交点；
③当
时，图象与
轴没有交点.
当
时，图象落在
轴的上方，无论
为任何实数，都有
；
当
时，图象落在
轴的下方，无论
为任何实数，都有
．
2.抛物线
的图象与
轴一定相交，交点坐标为
，
；
3.二次函数常用解题方法总结：
⑴求二次函数的图象与
轴的交点坐标，需转化为一元二次方程；
⑵求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式；
⑶根据图象的位置判断二次函数
中
，
，
的符号，或由二次函数中
，
，
的符号判断图象的位置，要数形结合；
⑷二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称的点坐标，或已知与
轴的一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标.
⑸与二次函数有关的还有二次三项式，二次三项式
本身就是所含字母
的二次函数；下面以
时为例，揭示二次函数、二次三项式和一元二次方程之间的内在联系：
抛物线与
轴有两个交点
二次三项式的值可正、可零、可负
一元二次方程有两个不相等实根
抛物线与
轴只有一个交点
二次三项式的值为非负
一元二次方程有两个相等的实数根
抛物线与
轴无交点
二次三项式的值恒为正
一元二次方程无实数根.
二次函数图像参考：
十一、函数的应用
二次函数应用
1、二次函数概念：
基础训练：
1、一般地，形如的函数，叫做二次函数。
其中x是，a是，b是，c是．
2．观察：
①y＝6x2；②y＝－x2＋30x；③y＝200x2＋400x＋200．这三个式子中，虽然函数有一项的，两项的或三项的，但自变量的最高次项的次数都是次．一般地，如果y＝2＋＋c（a、b、c是常数，a≠0），那么y叫做x的．
3．函数y＝（m－2）x2＋－3（m为常数）．
（1）当时，该函数为二次函数；
（2）当时，该函数为一次函数．
4、①、下列函数中，
是
的二次函数的是：
A、
B、
C、
D、
②、二次函数
的二次项系数，一次项系数与常数项分别是、、。
5、当时，函数
是以x为自变量的二次函数。
6、把函数
化成一般式是。
其中，。
7、列写函数关系式：
①高等于底面半径的圆柱表面积
与底面半径
的关系；
②长是宽的3倍的矩形面积S与宽a之间的关系；
③边长为
的等边三角形的面积
与
的关系；
④n支球队单循环比赛，总的场数m与n的关系；
⑤某药品原售价25元，经过两次降价，每次都降低
％，现价为
元，则
与
的函数关系。
8、函数
是二次函数，求m的值。
9、无论x为何实数，二次函数
（1）x2的值总是非负数，求a的取值范围。
巩固训练
1、
的积等于
，写出
与
的函数关系式为；
2、函数
是关于x的二次函数，则m等于（）
A、1B、-1C、±1D、都不对
3、下列函数中，哪些是二次函数？
（1）31
（2）3x2（3）3x3+2x2（4）2x2-21（5）2（6）2
（1）
拓展提高：
对于函数
①m为何值时，
是
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