复合函数知识总结及例题doc.docx

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复合函数知识总结及例题doc

复合函数问题

一、复合函数定义：

　设y=f（u）的定义域为A，u=g（x）的值域为B，若A

B，则y关于x函数的y=f［g（x）］叫做函数f与g的复合函数，u叫中间量.

二、复合函数定义域问题：

（1）、已知

的定义域，求

的定义域

思路：

设函数

的定义域为D，即

，所以

的作用范围为D，又f对

作用，作用范围不变，所以

，解得

，E为

的定义域。

例1.设函数

的定义域为（0，1），则函数

的定义域为_____________。

解析：

函数

的定义域为（0，1）即

，所以

的作用范围为（0，1）

又f对lnx作用，作用范围不变，所以

解得

，故函数

的定义域为（1，e）

例2.若函数

，则函数

的定义域为______________。

解析：

先求f的作用范围，由

，知

即f的作用范围为

，又f对f（x）作用所以

，即

中x应满足

即

，解得

故函数

的定义域为

（2）、已知

的定义域，求

的定义域

思路：

设

的定义域为D，即

，由此得

，所以f的作用范围为E，又f对x作用，作用范围不变，所以

为

的定义域。

例3.已知

的定义域为

，则函数

的定义域为_________。

解析：

的定义域为

，即

，由此得

所以f的作用范围为

，又f对x作用，作用范围不变，所以

即函数

的定义域为

例4.已知

，则函数

的定义域为-------

解析：

先求f的作用范围，由

，知

解得

，f的作用范围为

，又f对x作用，作用范围不变，所以

，即

的定义域为

（3）、已知

的定义域，求

的定义域

思路：

设

的定义域为D，即

，由此得

，

的作用范围为E，又f对

作用，作用范围不变，所以

，解得

，F为

的定义域。

例5.若函数

的定义域为

，则

的定义域为____________。

解析：

的定义域为

，即

，由此得

的作用范围为

，又f对

作用，所以

，解得

即

的定义域为

评注：

函数定义域是自变量x的取值范围（用集合或区间表示）f对谁作用，则谁的范围是f的作用范围，f的作用对象可以变，但f的作用范围不会变。

利用这种理念求此类定义域问题会有“得来全不费功夫”的感觉，值得大家探讨。

三、复合函数单调性问题

（1）引理证明

已知函数

.若

在区间

）上是减函数，其值域为（c，d），又函数

在区间（c,d）上是减函数，那么，原复合函数

在区间

）上是增函数.

证明：

在区间

）内任取两个数

，使

因为

在区间

）上是减函数，所以

记

即

因为函数

在区间（c,d）上是减函数，所以

即

，

故函数

在区间

）上是增函数.

（2）．复合函数单调性的判断

复合函数的单调性是由两个函数共同决定。

为了记忆方便，我们把它们总结成一个图表：

增↗

减↘

增↗

减↘

增↗

减↘

增↗

减↘

减↘

增↗

以上规律还可总结为：

“同向得增，异向得减”或“同增异减”.

（3）、复合函数

的单调性判断步骤：

ⅰ  确定函数的定义域；

ⅱ  将复合函数分解成两个简单函数：

与

。

ⅲ  分别确定分解成的两个函数的单调性；

ⅳ  若两个函数在对应的区间上的单调性相同（即都是增函数，或都是减函数），则复合后的函数

为增函数； 若两个函数在对应的区间上的单调性相异（即一个是增函数，而另一个是减函数），则复合后的函数

为减函数。

（4）例题演练

例1、求函数

的单调区间，并用单调定义给予证明

解：

定义域

单调减区间是

设

则

=

∵

∴

∴

>

又底数

∴

即

∴

在

上是减函数

同理可证：

在

上是增函数

［例］2、讨论函数

的单调性.

［解］由

得函数的定义域为

则当

时，若

，∵

为增函数，∴

为增函数.

若

，∵

为减函数.

∴

为减函数。

当

时，若

，则

为减函数，若

，则

为增函数.

例3、.已知y=

（2-

）在［0，1］上是x的减函数，求a的取值范围.

解：

∵a＞0且a≠1

当a＞1时，函数t=2-

>0是减函数

由y=

（2-

）在［0，1］上x的减函数，知y=

t是增函数，

∴a＞1

由x

［0，1］时，2-

2-a＞0,得a＜2,

∴1＜a＜2

当0

>0是增函数

由y=

（2-

）在［0，1］上x的减函数，知y=

t是减函数，

∴0

由x

［0，1］时，2-

2-1＞0,∴0

综上述，0

例4、已知函数

（

为负整数）的图象经过点

，设

.问是否存在实数

使得

在区间

上是减函

数，且在区间

上是减函数？

并证明你的结论。

［解析］由已知

，得

，

其中

∴

即

，

解得

∵

为负整数，∴

∴

，

即

，

∴

假设存在实数

，使得

满足条件，设

，

∴

∵

，当

时，

为减函数，

∴

，∴

∵

∴

∴

∴

①

当

时,

增函数,∴

∵

∴

∴

.②

由①、②可知

，故存在

一．指数函数与对数函数

．同底的指数函数

与对数函数

互为反函数；

（二）主要方法：

1．解决与对数函数有关的问题，要特别重视定义域；

2．指数函数、对数函数的单调性决定于底数大于1还是小于1，要注意对底数的讨论；

3．比较几个数的大小的常用方法有：

①以

和

为桥梁；②利用函数的单调性；③作差．

（三）例题分析：

例1．

（1）若

，则

，

，

从小到大依次为；

（2）若

，且

，

，

都是正数，则

，

，

从小到大依次为；

（3）设

，且

（

，

），则

与

的大小关系是（）

（

）

（

）

（

）

（

）

解：

（1）由

得

，故

．

（2）令

，则

，

，

，

，

∴

，∴

；

同理可得：

，∴

，∴

．（3）取

，知选（

）．

例2．已知函数

，

求证：

（1）函数

在

上为增函数；

（2）方程

没有负数根．

证明：

（1）设

，

则

，

∵

，∴

，

，

，

∴

；

∵

，且

，∴

，∴

，

∴

，即

，∴函数

在

上为增函数；

（2）假设

是方程

的负数根，且

，则

，

即

，①

当

时，

，∴

，∴

，而由

知

，

∴①式不成立；

当

时，

，∴

，∴

，而

，

∴①式不成立．

综上所述，方程

没有负数根．

例3．已知函数

（

且

）．

求证：

（1）函数

的图象在

轴的一侧；

（2）函数

图象上任意两点连线的斜率都大于

．

证明：

（1）由

得：

，

∴当

时，

，即函数

的定义域为

，此时函数

的图象在

轴的右侧；

当

时，

，即函数

的定义域为

，此时函数

的图象在

轴的左侧．

∴函数

的图象在

轴的一侧；

（2）设

、

是函数

图象上任意两点，且

，则直线

的斜率

，

，

当

时，由

（1）知

，∴

，∴

，

∴

，∴

，又

，∴

；

当

时，由

（1）知

，∴

，∴

，

∴

，∴

，又

，∴

．

∴函数

图象上任意两点连线的斜率都大于

．

同步练习

（二）同步练习：

1、已知函数

的定义域为

，求函数

的定义域。

答案：

2、已知函数

的定义域为

，求

的定义域。

答案：

3、已知函数

的定义域为

，求

的定义域。

答案：

4、设

，则

的定义域为（）

A.

B.

C.

D.

解：

选C.由

得，

的定义域为

。

故

，解得

。

故

的定义域为

5、已知函数

的定义域为

，求

的定义域。

［解析］由已知，有

（1）当

时，定义域为

；

（2）当

，即

时，有

，

定义域为

；

（3）当

，即

时，有

，

定义域为

.

故当

时，定义域为

；

当

时，定义域为

［点评］对于含有参数的函数，求其定义域，必须对字母进行讨论，要注意思考讨论字母的方法。

练习二

（5）同步练习：

1．函数y＝

（x2－3x＋2）的单调递减区间是（　　）

A．（－∞，1）B．（2，＋∞）

C．（－∞，

）D．（

，＋∞）

解析：

先求函数定义域为（－o，1）∪（2，＋∞），令t（x）＝x2＋3x＋2，函数t（x）在（－∞，1）上单调递减，在（2，＋∞）上单调递增，根据复合函数同增异减的原则，函数y＝

（x2－3x＋2）在（2，＋∞）上单调递减．

答案：

B

2找出下列函数的单调区间.

（1）

；

（2）

答案：

（1）在

上是增函数，在

上是减函数。

（2）单调增区间是

，减区间是

。

3、讨论

的单调性。

答案：

时

为增函数，

时，

为增函数。

4．求函数y＝

（x2－5x＋4）的定义域、值域和单调区间．

解：

由

（x）＝x2－5x＋4＞0，解得x＞4或x＜1，所以x∈（－∞，1）∪（4，＋∞），当x∈（－∞，1）∪（4，＋∞），｛

｜

＝x2－5x＋4｝＝R＋，所以函数的值域是R＋．因为函数y＝

（x2－5x＋4）是由y＝

（x）与

（x）＝x2－5x＋4复合而成，函数y＝

（x）在其定义域上是单调递减的，函数

（x）＝x2－5x＋4在（－∞，

）上为减函数，在［

，＋∞］上为增函数．考虑到函数的定义域及复合函数单调性，y＝

（x2－5x＋4）的增区间是定义域内使y＝

（x）为减函数、

（x）＝x2－5x＋4也为减函数的区间，即（－∞，1）；y＝

（x2－5x＋4）的减区间是定义域内使y＝

（x）为减函数、

（x）＝x2－5x＋4为增函数的区间，即（4，＋∞）．

变式练习

　　一、选择题

　　1．函数f（x）＝

的定义域是（　　）

　　A．（1，＋∞）B．（2，＋∞）

　　C．（－∞，2）D．

　　解析：

要保证真数大于0，还要保证偶次根式下的式子大于等于0，

　　所以

解得1＜x≤2．

　　答案：

D

　　2．函数y＝

（x2－3x＋2）的单调递减区间是（　　）

　　A．（－∞，1）B．（2，＋∞）

　　C．（－∞，

）D．（

，＋∞）

　　解析：

先求函数定义域为（－o，1）∪（2，＋∞），令t（x）＝x2＋3x＋2，函数t（x）在（－∞，1）上单调递减，在（2，＋∞）上单调递增，根据复合函数同增异减的原则，函数y＝

（x2－3x＋2）在（2，＋∞）上单调递减．

　　答案：

B

　　3．若2

（x－2y）＝

x＋

y，则

的值为（　　）

　　A．4B．1或

　　C．1或4D．

　　错解：

由2

（x－2y）＝

x＋

y，得（x－2y）2＝xy，解得x＝4y或x＝y，则有

＝

或

＝1．

　　答案：

选B

　　正解：

上述解法忽略了真数大于0这个条件