新人教B版必修2高中数学课堂设计123空间中的垂直关系1直线与平面垂直学案.docx
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新人教B版必修2高中数学课堂设计123空间中的垂直关系1直线与平面垂直学案
1.2.3 空间中的垂直关系
（1）——直线与平面垂直
自主学习
学习目标
1．掌握直线与平面垂直的定义．
2．掌握直线与平面、平面与平面垂直的判定定理及性质定理，并能灵活应用定理证明有关问题．
自学导引
1．如果直线l与平面α内的________________________，我们就说直线l与平面α互相垂直，记作________，直线l叫做____________________，平面α叫做________________，它们的唯一公共点叫做________．垂线上任一点到垂足之间的线段，叫做这个点到这个平面的垂线段，垂线段的长度叫做这个点到这个平面的距离．
2．直线与平面垂直的判定定理：
如果一条直线与平面内的两条________直线垂直，则这条直线与这个平面________．
3．如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么________________________．
4．直线与平面垂直的性质定理：
垂直于同一个平面的两条直线________．
5．垂直于同一条直线的两个平面________．
对点讲练
知识点一 线面垂直的判定
例1
如图所示，直角△ABC所在平面外一点S，且SA＝SB＝SC，点D为斜边AC的中点．
（1）求证：
SD⊥平面ABC；
（2）若AB＝BC，求证：
BD⊥面SAC.
点评
（1）线面垂直的判定定理是判定线面垂直的最常用思路．
（2）线面垂直的定义，给出了线面垂直的必备条件，即直线垂直于平面内的所有直线，是直线垂直平面的必要条件．作为直线与平面垂直的判定并不实用．
变式训练1
如图所示，已知空间四边形ABCD的边BC＝AC，AD＝BD，引BE⊥CD，E为垂足，作AH⊥BE于点H.求证：
AH⊥平面BCD.
知识点二 证明线线垂直
例2
如图所示，四边形ABCD为正方形，SA垂直于四边形ABCD所在的平面，过点A且垂直于SC的平面分别交SB，SC，SD于点E，F，G.
求证：
AE⊥SB，AG⊥SD.
点评 本题的证明过程很具有代表性，即证明线线垂直，可先证线面垂直，而已知的线面垂直又可以产生有利于题目的线线垂直，在线线垂直和线面垂直的相互转化中，平面在其中起着至关重要的作用，由于线线垂直是相互的，应充分考虑线和线各自所在平面的特征，以顺利实现证明需要的转化．
变式训练2
如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F分别是棱B1C1、B1B的中点．
求证：
CF⊥AE.
知识点三 直线与平面垂直的性质定理的应用
例3
已知，如图所示，直线a⊥α，直线b⊥β，且AB⊥a，AB⊥b，平面α∩β＝c.
求证：
AB∥c.
点评 判断线线、线面的平行或垂直关系，一般依赖于判定定理和性质定理，有时候也可以放到特征几何体（如正方体，长方体，正棱柱等）中，判断它们的位置关系．
变式训练3
如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，EF⊥AC，EF⊥A1D，求证：
EF∥BD1.
1．直线与平面垂直的判定方法：
（1）定义，
（2）判定定理．由直线和平面垂直的判定定理知，把线线垂直关系转化为线面垂直关系．在判定定理中，注意“两条”和“相交直线”的重要性．判定线面垂直关键在平面内找出两条相交直线和已知直线垂直．（3）如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面．这个命题也可作为线面垂直的一个判定方法．证明时常用的转化关系：
线线垂直
线面垂直．
2．直线与平面垂直的性质定理是平行关系与垂直关系的完美结合，利用垂直关系可判断平行，反过来由平行关系也可判定垂直，即两条平行直线中的一条垂直于一个平面，则另一条直线也垂直于这个平面.
课时作业
一、选择题
1．下列命题中正确的个数是（ ）
①如果直线l与平面α内的无数条直线垂直，则l⊥α；
②如果直线l与平面α内的一条直线垂直，则l⊥α；
③如果直线l不垂直于α，则α内没有与l垂直的直线；
④如果直线l不垂直于α，则α内也可以有无数条直线与l垂直．
A．0 B．1 C．2 D．3
2．空间四边形ABCD的四边相等，则它的两对角线AC、BD的关系是（ ）
A．垂直且相交B．相交但不一定垂直
C．垂直但不相交D．不垂直也不相交
3．如果一条直线与一个平面垂直，那么，称此直线与平面构成一个“正交线面对”，在一个正方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“正交线面对”的个数是（ ）
A．12B．24C．36D．48
4．如果直线l与平面α不垂直，那么在平面α内（ ）
A．不存在与l垂直的直线
B．存在一条与l垂直的直线
C．存在无数条与l垂直的直线
D．任意一条直线都与l垂直
5．若m、n表示直线，α表示平面，则下列命题中，正确命题的个数为（ ）
①
n⊥α；②
m∥n；
③
m⊥n;④
n⊥α.
A．1B．2C．3D．4
题 号
1
2
3
4
5
答 案
二、填空题
6．点P为△ABC所在面外一点，若PA＝PB＝PC，且PO⊥面ABC，则O为△ABC的________心．
7．已知P是△ABC所在平面外的一点，点P与AB、AC、BC的距离相等，且点P在△ABC上的射影O在△ABC内，则O一定是△ABC的________心．
8．在直三棱柱ABC—A1B1C1中，BC＝CC1，当底面A1B1C1满足条件________时，有AB1⊥BC1（注：
填上你认为正确的一种条件即可，不必考虑所有可能的情况）．
三、解答题
9.
如图所示，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是矩形，侧棱PA垂直于底面，E、F分别是AB，PC的中点，PA＝AD.
（1）求证：
CD⊥PD；
（2）求证：
EF⊥平面PCD.
10.
如图所示，AB是圆O的直径，点C是圆O上的动点，过动点C的直线VC垂直于圆O所在平面，E是VC的中点，D是VA上的点，若DE⊥平面VBC，试确定D点的位置．
【答案解析】
自学导引
1．任意一条直线都垂直 l⊥α 平面α的垂线 直线l的垂面 垂足
2．相交 垂直
3．另一条也垂直于这个平面
4．平行
5．平行
对点讲练
例1
证明
（1）∵SA＝SC，D为AC的中点，
∴SD⊥AC，
在Rt△ABC中，则AD＝DC＝BD.
又SA＝SB，∴△ADS≌△BDS.∴SD⊥BD.
又AC∩BD＝D，∴SD⊥面ABC.
（2）∵BA＝BC，D为AC中点，∴BD⊥AC.
又由
（1）知SD⊥BD.
∵SD∩AC＝D，∴BD⊥平面SAC.
变式训练1 证明 取AB中点F，连接CF、DF，
∵AC＝BC，∴CF⊥AB.
又∵AD＝BD，∴DF⊥AB，
又∵CF∩DF＝F，
∴AB⊥平面CDF，∴AB⊥CD.
又BE⊥CD，且AB∩BE＝B，
直线CD⊥平面ABE.
∴CD⊥AH.
而AH⊥BE，CD∩BE＝E，
∴AH⊥平面BCD.
例2
证明 因为SA⊥平面ABCD，
所以SA⊥BC.
又BC⊥AB，SA∩AB＝A，
所以BC⊥平面SAB，
又AE平面SAB，所以BC⊥AE.
因为SC⊥平面AEFG，所以SC⊥AE.
又BC∩SC＝C，所以AE⊥平面SBC，
所以AE⊥SB.同理可证AG⊥SD.
变式训练2 证明 在平面B1BCC1中，
∵E、F分别是B1C1、B1B的中点，
∴△BB1E≌△CBF，
∴∠B1BE＝∠BCF，
∴∠BCF＋∠EBC＝90°，∴CF⊥BE，
又AB⊥平面B1BCC1，CF平面B1BCC1，
∴AB⊥CF，AB∩BE＝B，∴CF⊥平面EAB.
∴CF⊥AE.
例3
证明 过点B引直线a′∥a，a′与b确定的平面设为γ，因为a′∥a，AB⊥a，
所以AB⊥a′，
又AB⊥b，a′∩b＝B，所以AB⊥γ.
因为b⊥β，cβ，所以b⊥c.①
因为a⊥α，cα，所以a⊥c.
又a′∥a，所以a′⊥c.②
由①②可得c⊥γ，又AB⊥γ，所以AB∥c.
变式训练3 证明 连接AB1，B1C，B1D1，BD.
∵B1B⊥平面ABCD，
AC平面ABCD，
∴AC⊥B1B.
又AC⊥BD，
BD∩BB1＝B，
∴AC⊥平面BDD1B1.
又∵BD1平面BDD1B1
∴AC⊥BD1，同理可证B1C⊥BD1.
∵B1C∩AC＝C，
∴BD1⊥平面AB1C.
∵EF⊥A1D，A1D∥B1C，
∴EF⊥B1C.
又∵EF⊥AC且AC∩B1C＝C，
∴EF⊥平面AB1C，
又BD1⊥平面AB1C，∴EF∥BD1.
课时作业
1．B 2.C
3．C [正方体的一条棱长对应着2个“正交线面对”，12条棱长共对应着24个“正交线面对”；正方体的一条面对角线对应着1个“正交线面对”，12条面对角线对应着12个“正交线面对”，共有36个．]
4．C 5.C
6．外
7．内
解析
如图所示，过点P作PD⊥AB，PE⊥AC，PF⊥BC，分别交AB、AC、BC于点D、E、F.O是点P在平面ABC内的射影，连接OD、OE、OF.因为点P到AB、AC、BC的距离相等，且PO⊥平面ABC，所以PD＝PE＝PF，PO＝PO＝PO，∠POD＝∠POE＝∠POF＝90°，
所以OD＝OE＝OF.因为PO⊥AB，PD⊥AB且PD∩PO＝P.所以AB⊥平面POD，所以AB⊥OD.
同理可以证得OF⊥BC，OE⊥AC.
又因为OD＝OE＝OF，所以点O到三角形三边的距离相等，故O为三角形ABC的内心．
8．∠A1C1B1＝90°
解析
如图所示，连接B1C，
由BC＝CC1，可得BC1⊥B1C，
因此，要证AB1⊥BC1，则只要证明BC1⊥平面AB1C，
即只要证AC⊥BC1即可，由直三棱柱可知，只要证AC⊥BC即可．
因为A1C1∥AC，B1C1∥BC，故只要证A1C1⊥B1C1即可．
（或者能推出A1C1⊥B1C1的条件，如∠A1C1B1＝90°等）
9．证明
（1）∵PA⊥底面ABCD，∴CD⊥PA.
又矩形ABCD中，CD⊥AD，且AD∩PA＝A，
∴CD⊥平面PAD，∴CD⊥PD.
（2）取PD的中点G，连接AG，FG.
又∵G、F分别是PD，PC的中点，
∴GF
CD，
又AE
CD，
∴GF
AE，∴四边形AEFG是平行四边形，
∴AG∥EF.
∵PA＝AD，G是PD的中点，∴AG⊥PD，∴EF⊥PD，
∵CD⊥平面PAD，AG平面PAD.
∴CD⊥AG.∴EF⊥CD.
∵PD∩CD＝D，∴EF⊥平面PCD.
10．解 ∵AB是底面圆的直径，
C是圆上一动点，∴AC⊥BC.
又VC⊥底面ABC，AC平面ABC，
∴VC⊥AC.又BC∩VC＝C，
∴AC⊥平面VBC.又DE⊥平面VBC，
∴直线DE∥AC，又E在平面VAC内，E为VC的中点，∴D点为VA的中点
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