∴EF＝（x－6）－（x2－2x－6）＝－x2＋3x＝－（x－3）2＋，
又∵a=－＜0，∴当x=3时，EF最大＝；
∴当x＝3时，EF有最大值，为；
（3）假设在抛物线上存在一点P，使得△ACP是以AC为底边的等腰三角形，
如解图，设AC中点是Q，
第4题解图
∵A（0，－6），C（6，0），
∴Q（3，－3），
∵PA＝PC，AQ＝CQ，OA＝OC，∴PQ经过原点（0，0），
设直线PQ的解析式为y＝kx，
把Q（3，－3）代入，得－3＝3k，解得k＝－1，
∴直线PQ的解析式为y＝－x，
联立得
，解得
或
，
故所求点P的坐标为P1（1＋，－1－），P2（1－，－1＋）．
5.如图，在矩形OABC中，点O为原点，边OA的长度为8，对角线AC＝10，抛物线y＝－x2＋bx＋c经过点A、C，与AB交于点D.
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P为线段BC上一个动点（不与点C重合），点Q为线段AC上一个动点，AQ＝CP，连接PQ，设CP＝m，△CPQ的面积为S.
①求S关于m的函数表达式并求出S最大时的m值；
②在S最大的情况下，在抛物线y＝－x2＋bx＋c的对称轴上，若存在点F，使△DFQ为直角三角形，请直接写出所有符合条件的点F的坐标；若不存在，请说明理由．
第5题图备用图
5.解：
（1）在矩形OABC中，∠AOC＝90°，
由勾股定理可得，OC＝＝＝6，
∴C（6，0），将A（0，8）、C（6，0）分别代入抛物线，
得，解得，
∴抛物线的解析式为y＝－x2＋x＋8；
（2）①如解图，过点Q作QE⊥BC于E点，
sin∠ACB＝＝＝,∴＝，∴QE＝（10－m），
∴S＝·CP·QE＝m×（10－m）＝－m2＋3m，
∵S＝－m2＋3m＝－（m－5）2＋，
∴当m＝5时，S取最大值；
第5题解图
②点F的坐标为（，8）或（，4）或（，）或（，）．
【解法提示】∵抛物线y＝－x2＋x＋8的对称轴为直线x＝，点D的坐标为（3，8），Q（3，4），
当∠FDQ＝90°时，F1（，8），当∠FQD＝90°时，F2（，4），当∠DFQ＝90°时，设F（，n），
则FD2＋FQ2＝DQ2，即＋（8－n）2＋＋（n－4）2＝16，
解得n＝，∴F3（，），F4（，），
综上所述，满足条件的点F共有四个，点F的坐标为（，8）或（，4）或（，）或（，）．
6.如图①，抛物线y＝ax2＋bx＋2与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，AB＝4，矩形OBDC的边CD＝1，延长DC交抛物线于点E.
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图②，点P是直线EO上方抛物线上的一个动点，过点P作y轴的平行线交直线EO于点G，作PH⊥EO，垂足为H，设PH的长为l，点P的横坐标为m，求l与m的函数关系式（不必写出m的取值范围），并求出l的最大值；
（3）如果点N是抛物线对称轴上的一点，抛物线上是否存在点M，使得以M，A，C，N为顶点的四边形是平行四边形？
若存在，直接写出所有满足条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．
第6题图
6.解：
（1）∵矩形OBDC的边CD＝1，∴OB＝1，
∵AB＝4，∴OA＝3，∴A（－3，0），B（1，0），
把A、B两点坐标代入抛物线解析式，
得，解得，
∴抛物线的解析式为y＝－x2－x＋2；
（2）在y＝－x2－x＋2中，
令y＝2，解得x＝0或x＝－2，∴E（－2，2），
∴直线OE解析式为y＝－x，
由题意可得P（m，－m2－m＋2），
∵PG∥y轴，∴G（m，－m），
∵点P在直线OE的上方，
∴PG＝－m2－m＋2－（－m）＝－m2－m＋2＝－（m＋）2＋，
∵直线OE的解析式为y＝－x，∴∠PGH＝∠COE＝45°，
∴l＝PG＝[－（m＋）2＋]＝－（m＋）2＋，
∴当m＝－时，l有最大值，为；
（3）存在,点M的坐标为（2,－）或（－4，－）或（－2，2）．
【解法提示】①当AC为平行四边形的边时，则有MN∥AC，且MN＝AC，∵抛物线的对称轴为直线x＝－＝－1，∴点N的横坐标为－1,∵|xM－xN|＝xC－xA，解得xM＝2或xM＝－4，当x＝2时，y＝－；当x＝－4时，y＝－，
∴点M的坐标为（2，－）或（－4，－）；②当AC为对角线时，设AC的中点为K，∵A（－3，0），C（0，2），∴K（－，1），∵点N在对称轴上，∴点N的横坐标为－1，设点M的横坐标为x，∵点K也是MN的中点，∴x＋（－1）＝2×（－）＝－3，解得x＝－2，此时y＝2，∴点的M坐标为（－2，2）；
综上所述,点M的坐标为（2,－）或（－4,－）或（－2，2）．
7.如图，抛物线y＝－x2＋bx＋c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点D，与直线y＝－x＋交于B、C两点，其中点C的横坐标是－
.
（1）求抛物线的解析式；
（2）若P是线段BC上的一动点，过P作x轴的垂线交抛物线于点M，当MP＝OD时，求点M的坐标；
（3）若E为抛物线上的一动点，在x轴上是否存在点F，使得以A、D、E、F为顶点的四边形是平行四边形．若存在，直接写出所有满足条件的点F的坐标；若不存在，请说明理由．
第7题图备用图
7.解：
（1）直线y＝－x＋中，令y＝0，则x＝1，
令x＝－，则y＝，
∴B（1，0），C（－，），
将B、C两点的坐标分别代入y＝－x2＋bx＋c，
得，解得，
∴抛物线的解析式是y＝－x2－2x＋3；
（2）设点P的横坐标为m（－＜m＜1），
∵P是线段BC上的一动点，PM∥y轴，
∴P（m，－m＋），M（m，－m2－2m＋3），
∴MP＝（－m2－2m＋3）－（－m＋）＝－m2－m＋，
又∵OD＝3，∴－m2－m＋＝3，即2m2＋3m＋1＝0，
解得m＝－1或m＝－，
则点M的坐标为（－1，4），（－，）．
（3）存在.F1（－5，0）、F2（－1，0）、F3（2－，0）、F4（2＋，0）．
【解法提示】由题意可得A（－3，0），D（0，3），
若以AD、AF为边，则DE1平行且等于AF1，
令y＝－x2－2x＋3＝3，解得x＝0或x＝2，
∴E1（－2，3），∴DE1＝2，
∴AF1＝2，∴F1（－5，0）；
若以AD为对角线、AF为边，则DE2平行且等于AF2，DE2＝2，∴AF2＝2，∴F2（－1，0）；
若以AD为边、AF为对角线，
∵AD平行且等于EF，设F（x，0），则把点F（x，0）向左平移3个单位，再向下平移3个单位，所得对应点E（x－3，－3），点E在抛物线上，代入得－（x－3）2－2（x－3）＋3＝－3，解得x＝2±，
∴F3（2－，0），F4（2＋，0）．
8.如图，已知直线y＝－x＋c与x轴交于点B（8，0），与y轴交于点C，抛物线y＝－x2＋bx＋c经过点B，C.
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P是线段BC上一动点，过点P作x轴的垂线，交抛物线于点M，交x轴于点N.设点P的横坐标为m.
①过点M作MH⊥BC于点H，求△PMH周长的最大值；
②是否存在点P，使得以点P、C、M为顶点的三角形与△OBC相似，若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
第8题图
8解：
（1）把B（8，0）代入y＝－x＋c，可得c＝4，
∴点C的坐标为（0，4），
把B（8，0）、C（0，4）代入y＝－x2＋bx＋c，
可得，解得，
∴抛物线的解析式为y＝－x2＋x＋4；
（2）①∵MH⊥BC，MN⊥OB，
∴∠MHP＝∠PNB＝90°，
∵∠MPH＝∠BPN，∴△MPH∽△BPN，
又易知△BPN∽△BCO，∴△MPH∽△BCO，
∵OC＝4，OB＝8，∴BC＝4.
∵点P的横坐标为m（0∴P点的坐标为（m，－m＋4），
M点的坐标为（m，－m2＋m＋4），
∴MP＝－m2＋m＋4－（－m＋4）＝－m2＋4m＝－（m－4）2＋8，
∴当m＝4时，PM有最大值8.
∵△BOC的周长为12＋4.
设△PMH的周长为L，则＝，
解得L最大＝＋8.
∴△PMH周长的最大值为＋8；
②存在，点P的坐标为（3，）或（7，）．
【解法提示】如解图①，当∠MCP＝90°时，△MPC∽△BCO，过点M作MG⊥OC，垂足为G，
第8题解图①
∵∠MCP＝∠MGC＝90°，
∴∠GCM＋∠BCO＝∠OBC＋∠BCO＝90°，
∴∠GCM＝∠OBC，
∴△CMG∽△BCO，
∴＝＝，
由①知点M的坐标为（m，－m2＋m＋4），
∴MG＝CG＝（OG－OC）＝（－m2＋m＋4－4）＝m，
解得m1＝0（舍去），m2＝3，
第8题解图②
把m＝3代入y＝－x＋4，得y＝.
此时P点的坐标为（3，）；
如解图②，当∠PMC＝90°时，△CPM∽△BCO，
∵∠MNO＝∠CMP＝90°，∴CM∥OB，∴MN＝OC＝4，
令－m2＋m＋4＝4，解得m1＝0（舍去），m2＝7，
当m＝7时，y＝－x＋4＝，此时P点的坐标为（7，），
综上所述，点P的坐标为（3，）或（7，）.
9.如图，已知抛物线y＝ax2＋2x＋c与y轴交于点A（0，6），与x轴交于点B（6，0），点P是线段AB上方抛物线上的一个动点．
（1）求这条抛物线的表达式及其顶点坐标；
（2）当点P移动到抛物线的什么位置时，使得∠PAB＝75°，求出此时点P的坐标；
（3）点P从A点出发沿线段AB上方的抛物线向终点B移动，在移动中，点P的横坐标以每秒1个单位长度的速度变动；与此同时点M以每秒1个单位长度的速度沿AO向终点O移动，点P，M移动到各自终点时停止，当两个动点移动t秒时，求四边形PAMB的面积S关于t的函数表达式，并求t为何值时，S有最大值，最大值是多少？
第9题图
9.解：
（1）根据题意，将A（0，6），B（6，0）代入y＝ax2＋2x＋c中，
得，解得，
∴抛物线的表达式为y＝－x2＋2x＋6.
又∵y＝－x2＋2x＋6＝－（x－2）2＋8，
∴抛物线的顶点坐标为（2，8）．
（2）如解图①，过点P作PC⊥y轴，垂足为点C.
第9题解图①
∵OA＝OB＝6，∠AOB＝90°，∴∠OAB＝45°.
当∠PAB＝75°时，∴∠PAC＝60°，
∴tan∠PAC＝＝，设AC＝m，则CP＝m.
∴P（m，6＋m）．
将P（m，6＋m）代入y＝－x2＋2x＋6中，得
6＋m＝－（m）2＋2m＋6，
解得m1＝0，m2＝，
经检验，P（0，6）与点A重合，不合题意，舍去．
∴点P的坐标为（，）．
（3）当两个动点移动t秒时，则点P（t，－t2＋2t＋6），点M（0，6－t）．如解图②，作PE⊥x轴，垂足为点E，PE交AB于点F，则EF＝EB＝6－t，
第9题解图②
∴F（t，6－t）．∴FP＝－t2＋2t＋6－（6－t）＝－t2＋3t.
∵点A到PE的距离等于OE，点B到PE的距离等于BE，
∴S△PAB＝FP·OE＋FP·BE＝FP（OE＋BE）＝FP·OB
＝×（－t2＋3t）×6＝－t2＋9t.
又∵S△AMB＝MA·OB＝×t×6＝3t，
∴S四边形PAMB＝S△PAB＋S△AMB＝－t2＋12t＝－（t－4）2＋24.
当t＝4时，S四边形PAMB有最大值24.
10.如图，抛物线y＝x2＋bx＋c与x轴交于A（1，0）和B两点，与y轴交于C（0，2）点，点D与点C关于抛物线的对称轴l对称，连接AC，AD.
（1）求抛物线的解析式；
（2）P是抛物线上一点，若∠PDA与∠OAC互余，求点P的坐标；
（3）在抛物线对称轴l上是否存在一点Q，使△QAD为直角三角形，若存在，请直接写出所有Q点坐标；若不存在，请说明理由．
第10题图 备用图
10.解：
（1）∵抛物线y＝x2＋bx＋c经过点A（1，0），C（0，2），
∴，解得，
∴抛物线的解析式为y＝x2－x＋2；
（2）如解图，过点D作DE⊥x轴于点E，连接CD，
∵点D与点C关于抛物线的对称轴l对称，
对称轴x＝－＝，C（0，2），
∴D（5，2），CD∥x轴，∴∠CDA＝∠EAD，
在Rt△AED中和Rt△COA中，
tan∠OCA＝＝，tan∠EAD＝＝＝，
第10题解图
∴∠OCA＝∠EAD，∴∠CDA＝∠OCA，
∵∠OCA与∠OAC互余，∴∠CDA与∠OAC互余，
∴P1（0，2），过点D作∠FDA＝∠EAD交x轴于点F，
∴AF＝DF，
设F（m，0），则AF＝DF＝m－1，EF＝5－m，
在Rt△DEF中，由勾股定理得DF2＝DE2＋EF2，
即（m－1）2＝22＋（5－m）2，解得m＝，∴F（，0），
∵直线DP2经过点F（，0）和D（5，2），
∴可求得直线DP2的解析式为y＝x－，
联立，解得，，
∴P2（，－），
综上所述，点P的坐标为P1（0，2），P2（，－）；
（3）存在，Q点坐标为（，7）或（，－3）或（，）或（，）．
【解法提示】由
（2）知：
D（5，2），A（1，0），设Q（，m），
AQ2＝（－1）2＋m2＝m2＋，
DQ2＝（5－）2＋（2－m）2＝m2－4m＋，
AD2＝（5－1）2＋22＝20，
当∠AQD＝90°时，有AD2＝AQ2＋DQ2，
即20＝m2＋＋m2－4m＋，解得m＝，
∴Q（，）或Q（，），
当∠ADQ＝90°时，有AQ2＝AD2＋DQ2，
即m2＋＝20＋m2－4m＋，解得m＝7，∴Q（，7），
当∠DAQ＝90°时，有DQ2＝AD2＋AQ2，
即m2－4m＋＝20＋m2＋，
解得m＝－3，∴Q（，－3）．
综上所述，满足条件的Q点坐标为（，）或（，）或（，7）或（，－3）．
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