河南中考数学专题训练二次函数压轴题.docx

1、河南中考数学专题训练二次函数压轴题二次函数压轴题1. 如图，直线yx3与x轴、y轴分别交于点A、B，抛物线yx2bxc的顶点是(1，2)，且与y轴交于点C(0，1)(1)求抛物线的解析式；(2)若点P是抛物线上一动点，点P的横坐标为m，过点P作PMAB于点M.记线段PM的长为d，求d关于m的函数关系式，并求d取最小值时点P的坐标；(3)若点F在直线yx3上移动，在抛物线的对称轴上存在点E，使CEEF取最小值请直接写出CEEF的最小值第1题图1. 解：(1)根据题意，把点(1，2)，C(0，1)代入抛物线yx2bxc中，得，解得，抛物线的解析式为yx22x1；(2)如解图，作PDx轴，交AB于点

2、D，点P的横坐标为m，P(m，m22m1)，D(m，m3)，点P恒在点D的上方， DP m22m1m3 m2m2. 直线yx3与x轴、y轴分别交于点A、B，A(4，0)，B(0，3)，OA4，OB3，由勾股定理可得AB5，第1题解图 PDy轴，OBAMDP，又AOBPMD90，AOBPMD， ，即，dDP (m2m2) (m)2，当m时，d取最小值，此时yp()22()1.故点P的坐标是(，)；(3).【解法提示】如解图，设C点关于抛物线对称轴的对称点为C，过点C作CFAB于点F，交直线x1于点E，连接CE，由对称性可得CECE，第1题解图 CEEFCEEFCF，此时CEEF最小，即CEEF的

3、最小值为CF.C(0，1)，抛物线的对称轴为直线x1，C(2，1)，由(2)可知当m2时，d(2)2，即CEEF的最小值为.2. 如图，直线yxm与x轴、y轴分别交于点A和点B(0，1)，抛物线yx2bxc经过点B，与直线yxm交于另一点C，点C的横坐标为4.(1)求抛物线的解析式；(2)如图，点D在抛物线上，DEx轴交直线AB于点E，且四边形DFEG为矩形，设点D的横坐标为m(0m4)，矩形DFEG的周长为L，求L与m的函数关系式以及L的最大值；(3)将AOB绕平面内某点M旋转90，得到A1O1B1，点A、O、B的对应点分别是点A1、O1、B1.若A1O1B1的两个顶点恰好落在抛物线上，那么

4、我们就称这样的点为“落点”，请直接写出“落点”的个数和点A1的横坐标第2题图2. 解：(1)直线yxm经过点B(0，1)，m1，直线的解析式为yx1，直线yx1经过点C，且点C的横坐标为4，y412，即C(4，2)，抛物线yx2bxc经过点C(4，2)和点B(0，1)，解得，抛物线的解析式为yx2x1；(2)令yx10，解得x，在RtOAB中，OB1，OA，AB，DEx轴，OBDE，ABODEF，又AOBEFD90，AOBDFE，即，EFDE，DFDE，L2(DFEF)2(DEDE)DE，点D的横坐标为m(0m0),则DE|m2m2|.A(1，0)，B(4，0)，AB5.抛物线交y轴于点C，令

5、x0，有y2，C(0，2)，OC2.OCAB，SABCABOC5，又SABCSABD，SABDABDE，DE|m2m2|3，当m2m23时，解得m11，m22；当m2m23时，解得m32(舍去)，m45.综上所述，点D的坐标为(1，3)或(2，3)或(5，3)；(3)如解图，过点C作CFBC交BE于点F，过点F作FHy轴于点H，过点E作EGx轴于点G.第3题解图CFBC，CBF45，BCF是等腰直角三角形，且BCCF，OCBFCH90，又FHy轴，CFHFCH90，CHFBOC90，OCBCFH，BOCCHF(AAS)，又B(4，0)，C(0，2)，CHOB4，FHOC2，OH6，F(2，6)

6、设BE的解析式为ykxc，将B(4，0)，F(2，6)代入ykxc，得，解得，BE的解析式为y3x12.联立抛物线和直线BE的解析式，得，解得(舍去)，E(5，3)，EGx轴，BG1，EG3，在RtBEG中，BE.4.如图,已知二次函数y1x2bxc的图象与x轴交于B(2，0)、C两点，与y轴交于点A(0，6)，直线AC的函数解析式为y2mxn.(1)求二次函数的解析式；(2)过线段OC上任意一点(不含端点)作y轴的平行线，交AC于点E，与二次函数图象交于点F，求线段EF的最大值；(3)在抛物线上是否存在一点P，使得ACP是以AC为底边的等腰三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由

7、第4题图4. 解：(1)二次函数y1x2bxc的图象过点A(0，6)，点B(2，0)，解得，二次函数的解析式为y1x22x6；(2)y1x22x6的对称轴为直线x2，又B(2，0)与C关于直线x2对称，C(6，0)，将点A(0，6)，点C(6，0)代入直线AC的函数解析式y2mxn，得，解得，直线AC的函数解析式为y2x6，点E在AC上，点F在抛物线上，设E(x，x6)，则F(x，x22x6)，0x6，且EF平行于y轴，EF(x6)(x22x6)x23x(x3)2，又a=0，当x=3时，EF最大；当x3时，EF有最大值，为；（3）假设在抛物线上存在一点P，使得ACP是以AC为底边的等腰三角形，

8、 如解图，设AC中点是Q，第4题解图A(0，6)，C(6，0)，Q(3，3)，PAPC，AQCQ，OAOC，PQ经过原点(0，0)，设直线PQ的解析式为ykx， 把Q(3，3)代入，得33k，解得k1，直线PQ的解析式为yx，联立得，解得或 ，故所求点P的坐标为P1(1，1)，P2(1，1)5.如图，在矩形OABC中，点O为原点，边OA的长度为8，对角线AC10，抛物线yx2bxc经过点A、C，与AB交于点D.(1)求抛物线的解析式；(2)点P为线段BC上一个动点(不与点C重合)，点Q为线段AC上一个动点，AQCP，连接PQ，设CPm，CPQ的面积为S.求S关于m的函数表达式并求出S最大时的m

9、值；在S最大的情况下，在抛物线yx2bxc的对称轴上，若存在点F，使DFQ为直角三角形，请直接写出所有符合条件的点F的坐标；若不存在，请说明理由 第5题图 备用图 5.解：(1)在矩形OABC中，AOC90，由勾股定理可得，OC6，C(6，0)，将A(0，8)、C(6，0)分别代入抛物线，得，解得，抛物线的解析式为yx2x8；(2) 如解图，过点Q作QEBC于E点，sinACB,，QE(10m)，SCPQEm(10m)m23 m，Sm23 m(m5)2，当m5时，S取最大值；第5题解图点F的坐标为(，8)或(，4)或(，)或(，)【解法提示】抛物线yx2x8的对称轴为直线x，点D的坐标为(3，

10、8)，Q(3，4)，当FDQ90时，F1(，8)，当FQD90时，F2(，4)，当DFQ90时，设F(，n)，则FD2FQ2DQ2，即(8n)2(n4)216，解得n，F3(，)，F4(，)，综上所述，满足条件的点F共有四个，点F的坐标为(，8)或(，4)或(，)或(，)6. 如图，抛物线yax2bx2与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，AB4，矩形OBDC的边CD1，延长DC交抛物线于点E.(1)求抛物线的解析式；(2)如图，点P是直线EO上方抛物线上的一个动点，过点P作y轴的平行线交直线EO于点G，作PHEO，垂足为H，设PH的长为l，点P的横坐标为m，求l与m的函数关系式(不必写出m的

11、取值范围)，并求出l的最大值；(3)如果点N是抛物线对称轴上的一点，抛物线上是否存在点M，使得以M，A，C，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出所有满足条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由第6题图6. 解：(1)矩形OBDC的边CD1，OB1，AB4，OA3，A(3，0)，B(1，0)，把A、B两点坐标代入抛物线解析式，得，解得，抛物线的解析式为yx2x2；(2)在yx2x2中，令y2，解得x0或x2，E(2，2)，直线OE解析式为yx，由题意可得P(m，m2m2 )，PGy轴，G(m，m)，点P在直线OE的上方，PGm2m2(m)m2m2(m)2，直线OE的解析式为yx，PGHC

12、OE45，lPG(m)2(m)2，当m时，l有最大值，为；(3)存在,点M的坐标为(2,)或(4，)或(2，2)【解法提示】当AC为平行四边形的边时，则有MNAC，且MNAC，抛物线的对称轴为直线x1，点N的横坐标为1,|xMxN|xCxA，解得xM2或xM4，当x2时，y；当x4时，y，点M的坐标为(2，)或(4，)；当AC为对角线时，设AC的中点为K，A(3，0)，C(0，2)，K( ，1)，点N在对称轴上，点N的横坐标为1，设点M的横坐标为x，点K也是MN的中点，x(1)2()3，解得x2，此时y2，点的M坐标为(2，2)；综上所述,点M的坐标为(2,)或(4,)或(2，2)7. 如图，

13、抛物线yx2bxc与x轴交于A、B两点，与y轴交于点D，与直线yx交于B、C两点，其中点C的横坐标是.(1)求抛物线的解析式；(2)若P是线段BC上的一动点，过P作x轴的垂线交抛物线于点M，当MPOD时，求点M的坐标；(3)若E为抛物线上的一动点，在x轴上是否存在点F，使得以A、D、E、F为顶点的四边形是平行四边形若存在，直接写出所有满足条件的点F的坐标；若不存在，请说明理由 第7题图 备用图7. 解：(1)直线yx中，令y0，则x1，令x，则y，B(1，0)，C(，)，将B、C两点的坐标分别代入yx2bxc，得，解得，抛物线的解析式是yx22x3；(2)设点P的横坐标为m(m1)，P是线段B

14、C上的一动点， PMy轴，P(m，m)，M(m，m22m3)，MP(m22m3)(m)m2m，又OD3，m2m3，即2m23m10，解得m1或m，则点M的坐标为(1，4)，(，)(3)存在. F1(5，0)、F2(1，0)、F3(2，0)、F4(2，0)【解法提示】由题意可得A(3，0)，D(0，3)，若以AD、AF为边，则DE1平行且等于AF1，令yx22x33，解得x0或x2，E1(2，3)，DE12，AF12，F1(5，0)；若以AD为对角线、AF为边，则DE2平行且等于AF2，DE22，AF2 2，F2(1，0)；若以AD为边、AF为对角线，AD平行且等于EF，设F(x，0)，则把点F

15、(x，0)向左平移3个单位，再向下平移3个单位，所得对应点E(x3，3)，点E在抛物线上，代入得(x3)22(x3)33，解得x2，F3(2，0)，F4(2，0)8. 如图，已知直线yxc与x轴交于点B(8，0)，与y轴交于点C，抛物线yx2bxc经过点B，C.(1)求抛物线的解析式；(2)点P是线段BC上一动点，过点P作x轴的垂线，交抛物线于点M，交x轴于点N.设点P的横坐标为m.过点M作MHBC于点H，求PMH周长的最大值；是否存在点P，使得以点P、C、M为顶点的三角形与OBC相似，若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由第8题图8 解：(1)把B(8，0)代入yxc，可得c4，

16、点C的坐标为(0，4)，把B(8，0)、C(0，4)代入yx2bxc，可得，解得，抛物线的解析式为yx2x4；(2)MHBC，MNOB，MHPPNB90，MPHBPN，MPHBPN，又易知BPNBCO，MPHBCO，OC4，OB8，BC4.点P的横坐标为m(0m8)，P点的坐标为(m，m4)，M点的坐标为(m，m2m4)，MPm2m4(m4)m24m(m4)28，当m4时，PM有最大值8.BOC的周长为124.设PMH的周长为L，则，解得L最大8.PMH周长的最大值为8；存在，点P的坐标为(3，)或(7，)【解法提示】如解图，当MCP90时，MPCBCO，过点M作MGOC，垂足为G，第8题解图

17、MCPMGC90，GCMBCOOBCBCO90，GCMOBC，CMGBCO，由知点M的坐标为(m，m2m4)，MGCG(OGOC)(m2m44)m，解得m10(舍去)，m23，第8题解图把m3代入yx4，得y.此时P点的坐标为(3，)；如解图，当PMC90时，CPMBCO，MNOCMP90，CMOB，MNOC4，令m2m44，解得m10(舍去)，m27，当m7时，yx4，此时P点的坐标为(7，)，综上所述，点P的坐标为(3，)或(7，).9. 如图，已知抛物线yax22xc与y轴交于点A(0，6)，与x轴交于点B(6，0)，点P是线段AB上方抛物线上的一个动点(1)求这条抛物线的表达式及其顶点

18、坐标；(2)当点P移动到抛物线的什么位置时，使得PAB75，求出此时点P的坐标；(3)点P从A点出发沿线段AB上方的抛物线向终点B移动，在移动中，点P的横坐标以每秒1个单位长度的速度变动；与此同时点M以每秒1个单位长度的速度沿AO向终点O移动，点P，M移动到各自终点时停止，当两个动点移动t秒时，求四边形PAMB的面积S关于t的函数表达式，并求t为何值时，S有最大值，最大值是多少？第9题图9.解：(1)根据题意，将A(0，6)，B(6，0)代入yax22xc中，得，解得，抛物线的表达式为yx22x6.又yx22x6(x2)28，抛物线的顶点坐标为(2，8)(2)如解图，过点P作PCy轴，垂足为点

19、C.第9题解图OAOB6，AOB90，OAB45.当PAB75时，PAC60，tanPAC，设ACm，则CP m.P( m，6m)将P( m，6m)代入yx22x6中，得6m( m)22 m6，解得m10，m2，经检验，P(0，6)与点A重合，不合题意，舍去点P的坐标为(，)(3)当两个动点移动t秒时，则点P(t，t22t6)，点M(0，6t)如解图，作PEx轴，垂足为点E，PE交AB于点F，则EFEB6t，第9题解图F(t，6t)FPt22t6(6t)t23t.点A到PE的距离等于OE，点B到PE的距离等于BE，SPABFPOEFPBEFP(OEBE)FPOB(t23t)6t29t.又SAM

20、BMAOBt63t，S四边形PAMBSPABSAMBt212t(t4)224.当t4时，S四边形PAMB有最大值24.10.如图，抛物线yx2bxc与x轴交于A(1，0)和B两点，与y轴交于C(0，2)点，点D与点C关于抛物线的对称轴l对称，连接AC，AD.(1)求抛物线的解析式；(2)P是抛物线上一点，若PDA与OAC互余，求点P的坐标；(3)在抛物线对称轴l上是否存在一点Q，使QAD为直角三角形，若存在，请直接写出所有Q点坐标；若不存在，请说明理由第10题图备用图 10.解：(1)抛物线yx2bxc经过点A(1，0)，C(0，2)，解得，抛物线的解析式为yx2x2；(2)如解图，过点D作D

21、Ex轴于点E，连接CD，点D与点C关于抛物线的对称轴l对称，对称轴x，C(0，2)，D(5，2)，CDx轴，CDAEAD，在RtAED中和RtCOA中，tanOCA，tanEAD，第10题解图OCAEAD，CDAOCA，OCA与OAC互余，CDA与OAC互余，P1(0，2)，过点D作FDAEAD交x轴于点F，AFDF，设F(m，0)，则AFDFm1，EF5m，在RtDEF中，由勾股定理得DF2DE2EF2，即(m1)222(5m)2，解得m，F(，0)，直线DP2经过点F(，0)和D(5，2)，可求得直线DP2的解析式为yx，联立，解得，P2(，)，综上所述，点P的坐标为P1(0，2)，P2(，)；(3)存在，Q点坐标为(，7)或(，3)或(，)或(，)【解法提示】由(2)知：D(5，2)，A(1，0)，设Q(，m)，AQ2(1)2m2m2，DQ2(5)2(2m)2m24m，AD2(51)22220，当AQD90时，有AD2AQ2DQ2，即20m2m24m，解得m，Q(，)或Q(，)，当ADQ90时，有AQ2AD2DQ2，即m220m24m，解得m7，Q(，7)，当DAQ90时，有DQ2AD2AQ2，即m24m20m2，解得m3，Q(，3)综上所述，满足条件的Q点坐标为(，)或(，)或(，7)或(，3)