中考12年天津市中考数学试题分类解析专题10四边形.docx

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中考12年天津市中考数学试题分类解析专题10四边形

2001-2012年天津市中考数学试题分类解析汇编（12专题）

专题10：

四边形

一、选择题

1.（天津市2002年3分）已知四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，若SΔAOB=4，SΔCOD=9，则四边形ABCD的面积S四边形ABCD的最小值为【】

（A）21（B）25（C）26（D）36

【答案】B。

【考点】三角形的面积，不等式的性质。

【分析】分别表示出△AOD、△BOC的面积，即可得到四边形ABCD的面积表达式，然后应用不等式的性质a2+b2≥2ab来求得四边形ABCD的最小面积：

如图，任意四边形ABCD中，S△AOB=4，S△COD=9，∴

。

∴

。

故四边形ABCD的最小面积为25。

故选B。

2.（天津市2003年3分）如图，O为平行四边形ABCD对角线AC、BD的交点，EF经过点O，且与边AD、BC分别交于点E、F，若BF＝DE，则图中的全等三角形最多有【】

（A）2对（B）3对（C）5对（D）6对

【答案】D。

【考点】平行四边形的性质，全等三角形的判定。

【分析】根据平行四边形的性质及已知条件得到图中全等的三角形：

①△ADC≌△CBA：

∵ABCD为平行四边形，∴AB=CD，∠ABC=∠ADC，AD=BC。

∴△ADC≌△CBA（SAS）。

②△ABD≌△CDB：

∵ABCD为平行四边形，∴AB=CD，∠BAD=∠BCD，AD=BC。

∴△ABD≌△CDB（SAS）。

③△OAD≌△OCB：

∵对角线AC与BD的交于O，∴OA=OC，OD=OB，∠AOD=∠BOC。

∴△OAD≌△OCB（SAS）。

④△OEA≌△OFC：

∵对角线AC与BD的交于O，∴OA=OC，∠OAE=∠OCF，∠AOE=∠COF。

∴△OEA≌△OFC（ASA）。

⑤△OED≌△OFB；

∵对角线AC与BD的交于O，∴OD=OB，∠EDO=∠FBO，DE=BF。

∴△OED≌△OFB（SAS）。

⑥△OAB≌△OCD：

∵对角线AC与BD的交于O，∴OA=OC，∠AOB=∠DOC，OB=OD。

∴△OAB≌△OCD．（SAS）。

故选D。

3.（天津市2004年3分）下列命题中正确的是【】

（A）对角线互相平分的四边形是菱形（B）对角线互相平分且相等的四边形是菱形

（C）对角线互相垂直的四边形是菱形（D）对角线互相垂直平分的四边形是菱形

【答案】D。

【考点】命题与定理，菱形的判定定理。

【分析】根据菱形的判定定理，知对角线互相垂直平分的四边形是菱形，A、B、C错误，D正确。

故选D。

4.（天津市2005年3分）如图，在

ABCD中，EF//AB，GH//AD，EF与GH交于点O，则该图中的平行四边形的个数共有【】

（A）7个（B）8个（C）9个（D）11个

【答案】C。

【考点】平行四边形的判定。

【分析】根据平行四边形的定义即可求解：

根据平行四边形的定义：

两组对边分别平行的四边形是平行四边形，则图中的四边DEOH、DEFC、DHGA、BGOF、BGHC、BAEF、AGOE、CHOF和ABCD都是平行四边形，共9个。

故选C。

5.（天津市2005年3分）在四边形ABCD中，O是对角线的交点，能判定这个四边形是正方形的条件是【】

（A）AC＝BD，AB

CD（B）AD//BC，∠A＝∠C

（C）AO＝BO＝CO＝DO，AC⊥BD（D）AO＝CO，BO＝DO，AB＝BC

【答案】C。

【考点】正方形的判定

【分析】根据正方形的判定：

对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形进行分析从而得到最后的答案：

A，不能，只能判定为矩形；

B，不能，只能判定为平行四边形；

C，能；

D，不能，只能判定为菱形。

故选C。

6.（天津市2006年3分）下列判断中正确的是【】

（A）四边相等的四边形是正方形

（B）四角相等的四边形是正方形

（C）对角线互相垂直的平行四边形是正方形

（D）对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形

【答案】D。

【考点】正方形的判定。

【分析】根据正方形的判定对各个选项进行分析：

A错误，四边相等的四边形是菱形；B错误，四角相等的四边形是矩形；C错误，对角线互相垂直的平行四边形是菱形；D正确，对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形。

故选D。

7.（天津市2006年3分）如图，在梯形ABCD中，AB//CD，中位线EF与对角线AC、BD交于M、N两

点，若EF＝18cm，MN＝8cm，则AB的长等于【】

（A10cm（B）13cm（C）20cm（D）26cm

【答案】D。

【考点】梯形中位线定理，平行线等分线段定理，三角形中位线定理。

【分析】首先根据梯形的中位线定理，得到EF∥CD∥AB，再根据平行线等分线段定理，得到M，N分别是AC，BD的中点；然后根据三角形的中位线定理得到CD=2EM=2NF=10，最后根据梯形的中位线定理即可求得AB的长：

∵EF是梯形的中位线，∴EF∥CD∥AB。

∴AM=CM，BN=DN。

∴EM=

CD，NF=

CD。

∴EM=NF=

，即CD=10。

∵EF是梯形ABCD的中位线，∴DC+AB=2EF，即10+AB=2×18=36。

∴AB=26。

故选D。

8.（天津市2007年3分）顺次连接对角线互相垂直的四边形各边中点，所得到的四边形一定是【】

A.梯形B.菱形C.矩形D.正方形

【答案】A。

【考点】矩形的判定，三角形中位线定理。

【分析】根据四边形对角线互相垂直，运用三角形中位线平行于第三边证明四个角都是直角，判断是矩形：

如图：

∵E、F、G、H分别为各边中点，

∴EF∥GH∥DB，EF=GH=

DB，EH∥FG∥AC，EH=FG=

AC。

∴四边形EFGH是平行四边形。

又∵DB⊥AC，∴EF⊥EH。

∴四边形EFGH是矩形。

故选A。

9.（天津市2007年3分）如图，在梯形ABCD中，AD//BC，对角线AC⊥BD，且AC=5cm，BD=12cm，则梯形中位线的长等于【】

A.7.5cmB.7cmC.6.5cmD.6cm

【答案】C。

【考点】梯形中位线定理，平行四边形的判定和性质，勾股定理，三角形中位线定理。

【分析】根据题意，作出辅助线，转化为三角形中位线问题解答：

如图，延长BC到E，使CE=AD，

∵在梯形ABCD中，AD//BC，

∴GJ=

（AD+BC）=

（EC+BC）=

BE，且DACE是平行四边形。

∴DE=AC=5。

∵AC⊥BD，∴ED⊥BD。

∴在Rt△BDE中，

。

∴梯形中位线为

×13=6.5（cm）。

故选C。

10.（天津市2010年3分）下列命题中正确的是【】

（A）对角线相等的四边形是菱形（B）对角线互相垂直的四边形是菱形

（C）对角线相等的平行四边形是菱形（D）对角线互相垂直的平行四边形是菱形

【答案】D。

【考点】菱形的判定

【分析】根据菱形的判定定理进行解答：

因为对角线互相垂直平分的四边形是菱形，所以对角线互相垂直

的平行四边形是菱形。

故选D。

11.（2012天津市3分）如图，在边长为2的正方形ABCD中，M为边AD的中点，延长MD至点E，使ME=MC，以DE为边作正方形DEFG，点G在边CD上，则DG的长为【】

（A）

（B）

（C）

（D）

【答案】D。

【考点】正方形的性质，勾股定理。

【分析】利用勾股定理求出CM的长，即ME的长，有DM=DE，所以可以求出DE，从而得到DG的长：

∵四边形ABCD是正方形，M为边AD的中点，∴DM=

DC=1。

∴

。

∴ME=MC=

。

∴ED=EM－DM=

。

∵四边形EDGF是正方形，∴DG=DE=

。

故选D。

二、填空题

1.（2001天津市3分）已知正方形的一条对角线长为4cm，则它的面积是▲cm2。

【答案】8。

【考点】正方形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理。

【分析】根据正方形性质可知：

正方形的一条角平分线即为对角线，对角线和正方形的两条相邻的边构成等腰直角三角形，根据勾股定理可知正方形的边长，从而可得这个正方形的面积：

设这个正方形的边长为xcm，则根据正方形的性质可知：

x2＋x2=42，即x2=8。

∴它的面积是8cm2。

2.（2001天津市3分）若一个梯形内接于圆，有如下四个结论：

①它是等腰梯形；②它是直角梯形；③它的对角线互相垂直；④它的对角互补．请写出正确结论的序号：

▲（把你认为正确结论的序号都填上）。

【答案】①④。

【考点】圆内接四边形的性质

【分析】①∵梯形的一组对边平行，根据垂径定理的推论得另一组对边相等，所以它是正确的；

②∵圆内接四边形的对角互补，∴如果是直角梯形那这个四边形就是矩形；所以它是错误的；

③对角线无条件判断它们是否垂直，所以它不一定正确；

④是正确的。

∴正确的答案是①④。

3.（天津市2002年3分）如图，梯形ABCD中，AD//BC，对角线AC⊥BD，且AC=5cm，BD=12cm，则该梯形的中位线的长等于▲cm.

【答案】6.5。

【考点】平行四边形的判定和性质，勾股定理，三角形中位线定理。

【分析】先过D作DE∥AC，交BC的延长线于E，

∵AD∥CE，DE∥AC，

∴四边形ACED是平行四边形。

∴AD=CE，DE=AC。

又∵AC⊥BD，DE∥AC，∴∠BDE=90°。

∴

。

又BE=BC+CE，∴BE=BC+AD，∴梯形的中位线长=

BE=

13=6.5。

4.（天津市2002年3分）如图，在四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点E，若AC平分∠DAB，且AB=AE，AC=AD，有如下四个结论：

①AC⊥BD；

②BC=DE；

③

，

④ΔABE是正三角形。

请写出正确结论的序号▲（把你认为正确结论的序号都填上）。

【答案】②③。

【考点】等腰三角形的性质，三角形内角和定理，角平分线性质，全等三角形的判定和性质，四点共圆的判定和圆周角定理。

【分析】①∵AB=AE，∴∠AEB=∠ABE＜900。

∴AC⊥BD错误。

②∵AC平分∠DAB，∴∠DAE=∠CAB。

又∵AB=AE，AC=AD，∴△DAE≌△CAB（SAS）。

∴BC=DE正确。

③∵△DAE≌△CAB，∴∠ADB=∠ACB。

∴根据四点共圆的判定；若线段同侧二点到线段两端点连线夹角相等，那么这二点和线段二端点四点共圆，得A、B、C、D四点共圆。

∴根据圆周角定理，得∠DBC=∠DAC，

又∵AC平分∠DAB，∴

正确。

④当△ABC是正三角形时，∠CAB=∠EBA=∠DAC=60°，∴∠ABC=120°。

根据三角形内角和定理，在△ABC中，∠CAB=60°，∠ABC=120°是不可能的。

∴ΔABE是正三角形错误。

故②③正确。

5.（天津市2003年3分）已知一个梯形的面积为10cm

，高为2cm，则该梯形的中位线的长等于

▲cm。

【答案】5。

【考点】梯形中位线。

【分析】根据梯形的面积等于其中位线×高，即可求得其中位线的长：

∵梯形的面积=中位线×高，∴中位线=10÷2=5cm，故该梯形的中位线的长等于5cm。

6.（天津市2003年3分）要使一个平行四边形成为正方形，则需增加的条件是▲（填上一个正确的结论即可）。

【答案】一组邻边相等且一个角是直角（答案不唯一）。

【考点】正方形的判定。

【分析】根据正方形的判定和定义进行填空：

根据正方形的判定和定义知：

有一组邻边相等且一个角是直角的平行四边形是正方形；对角线相等且相互垂直的平行四边形是正方形。

故答案为：

“一组邻边相等且一个角是直角”或“对角线相等且相互垂直”等。

7.（天津市2007年3分）已知矩形ABCD，分别为AD和CD为一边向矩形外作正三角形ADE和正三角形CDF，连接BE和BF，则

的值等于▲。

【答案】1。

【考点】矩形的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质。

【分析】根据等边三角形的性质求得△FCB≌△BAE，然后根据题意可求值：

由矩形ABCD，正三角形ADE和正三角形CDF，得

CF=AB，AE=BC，∠FCB=∠BAE，

∴△FCB≌△BAE（SAS）。

∴BE=BF。

∴

=1。

8.（天津市2008年3分）如图，在正方形ABCD中，E为AB边的中点，G，F分别为AD，BC边上的点，

若AG=1，BF=2，∠GEF=900，则GF的长为▲．

【答案】3。

【考点】正方形性质，直角三角形斜边上中线的性质，梯形中位线的性质。

【分析】如图，取GF中点H，连接EH。

∵∠GEF=900，∴EH=

GF。

又∵ABCD是正方形，且AG≠BF，∴ABFG是梯形。

又∵E为AB边的中点，∴EH为梯形ABFG的中位线。

∵AG=1，BF=2，∴EH=

（AG＋BF）=

。

∴

GF=

，即GF=3。

9.（天津市2009年3分）我们把依次连接任意一个四边形各边中点所得的四边形叫做中点四边形．若一个四边形ABCD的中点四边形是一个矩形，则四边形ABCD可以是▲．

【答案】对角线互相垂直的四边形。

【考点】矩形的性质，三角形中位线定理。

【分析】如果中点四边形是矩形，那么根据三角形中位线定理得原四边形的对角线必然垂直。

如图，点E、F、G、H分别是四边形ABCD的中点，且四边形EFGH是矩形。

∵点E、F、G、H分别是四边形ABCD的中点，

∴EF∥AC，HE∥DB。

又∵四边形EFGH是矩形，∴HE⊥EF。

∴AC⊥DB。

10.（天津市2009年3分）如图，是由12个边长相等的正三角形镶嵌而成的平面图形，则图中的平行四边形共有▲个．

【答案】21。

【考点】正三角形的性质，平行四边形的判定。

【分析】由图形可以得到一些平行的线段和相等的线段。

根据判定一组对边平行且相等的四边形是平行四边形的判定，首先找到平行的线段，再找出平行的线段中的相等的，就可以找出平行四边形。

根据以上分析对图形中的平行四边形进行计数共21个。

11.（天津市2011年3分）如图，点D、E、F分别是△ABC的边AB，BC、CA的中点，连接DE、EF、FD．则图中平行四边形的个数为▲_。

【答案】3。

【考点】三角形的中位线性质，平行四边形的判定。

【分析】根据三角形的中位线平行且相等第三边一半的性质和对边平行且相等的四边形是平行四边形的判定，直接得出结果：

四边形ADEF，DBEF，DECF是平行四边形。

12.（2012天津市3分）如图，已知正方形ABCD的边长为1，以顶点A、B为圆心，1为半径的两弧交于点E，以顶点C、D为圆心，1为半径的两弧交于点F，则EF的长为▲．

三、解答题

1.（天津市2008年8分）如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，⊙O为内切圆，E为切点，

（Ⅰ）求∠AOD的度数；

（Ⅱ）若AO=8cm，DO=6cm，求OE的长．

【答案】解：

（Ⅰ）∵AB∥CD，∴∠BAD＋∠ADC=1800。

∵⊙O内切于梯形ABCD，

∴AO平分∠BAD，有∠DAO=

∠BAD；DO平分∠ADC，有∠ADO=

∠ADC。

∴∠DAO＋∠ADO=

（∠BAD＋∠ADC）=900。

∴∠AOD=1800－（∠DAO＋∠ADO）=900。

（Ⅱ）∵在Rt△AOD中，AO=8，DO=6，

∴由勾股定理，得

。

∵E为切点，∴OE⊥AD．有∠AEO=900。

∴∠AEO=∠AOD。

又∵∠OAD为公共角，∴△AEO∽△AOD。

∴

。

∴

。

因此，OE的长为4.8cm。