拉格朗日插值实验报告.docx
《拉格朗日插值实验报告.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《拉格朗日插值实验报告.docx（10页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。
拉格朗日插值实验报告
实验名称：
实验一拉格朗H插值
1引言
我们在生产生活中常常会遇到这样的问题：
某个实际问题中，函数f（x）在区间［a,b］上存在且连续，但却很难找到其表达式，只能通过实验和观测得到有限点上的函数表。
显然，根据这些点的函数值来求其它点的函数值是非常困难的。
有些情况虽然可以写出表达式，但结构复杂，使用不方便。
所以我们总是希望根据已有的数据点（或函数表）来构造某个简单函数Hx）作为f（x）的近似值。
插值法是解决此类问题的一种比较古老的、但却很常用的方法。
它不仅直接广泛地应用于生产实际和科学研究中，而且也是进一步学习数值计算方法的基础。
2实验目的和要求
运用Matlab编写三个.m文件，定义三种插值函数，要求一次性输入整张函数表,并利用计算机选择在插值计算中所需的节点。
分别通过分段线性插值、分段二次插值和全区间上拉格朗日插值计算f,于的近似值。
己知函数表如下：
X
f（x）
3算法原理与流程图
（1）原理
设函数y二在插值区间［a,b］上连续，且在n+1个不同的插值节点aWxo,x“…,x.Wb上分别取值％,九…,％。
目的是要在一个性质优良、便于计算的插值函数类①中，求一简单函数尸（x）,满足插值条件P（Xi）=yi（i=O,l,-,n）,而在其他点xHxi上,作为巩Q近似值。
求插值函数尸（x）的方法称为插值法。
在本实验中，采用拉格朗日插值法。
①分段低次插值
当给定了n+］个点xoyn后，若要计算xHx’处函数值f（x）的近似值，可先选取两个节点Xt与X’使x£［XiXi］,然后在小区间［Xi-x,Xi］
上作线性插值，即得
fW-（A）=畑上工+Z
-Vi
这种分段低次插值叫分段线性插值，乂称折线插值。
类似地，我们可以选取距离X最近的三个节点E,X’与畑，然后进行二次插值,即得
f（x）^P2（x）=
（+1
E
&■一:
X-Xj
/+1（
儿口
jwk
这种分段低次插值叫分段二次插值，乂称分段抛物线插值。
②全区间上拉格朗□插值
对节点Xi（i=O,1,•••>n）中任一点Xk（OWkWn）,作一n次多项式lk（x）,使它在该点上的取值为1,在其余点x,（i=O,l,・・・,k-l,k+l,・・・,n）上取值为零。
对应于每一节点禺（k二0,1,…,n）,都能写出一个满足此条件的多项式，这样写出了n+1个多项式lo（x）,11（X）,•••,ln（x）,其中
£（x）=&（x_X。
）（JT一耳）…（X-Xk_1）（X-耳+1）…•（X_心）；由条件厶（孔）=1可得
"（卩-％）…（卩-心（玉-艰）…（丑-X）
于是我们可以得出如下的拉格朗日n次插值多项式（对于全区间上的插值，n取函数表的长度）
乙3=儿厶（％）+yjQ）+…y丄3）
（2）流程图
分段线性插值
分段二次插值
p-p*（x-Xo（i）y（Xn（k}-Wi））
S=S+y°（k"
全区间拉格朗口插值
4程序代码及注释
1、分段线性插值
%分段线性插值
functiony=piece_linear（xO,yO,x）
%xO,yO为已知点，x为待求点
n二length（xO）;p=length（yO）;m=length（x）;
%n,p,m分别为xO,yO,x长度
ifn、二p
fprintf（Error!
Pleaseinputagain!
\n）;
%xO和yO长度不等时，报错
else
for1=1:
m
z=x（i）;
sum二；
1=0；
%给1赋初值，根据X的值确定1
ifz（1）z>x0（n）
fprintf（'Error!
x（%d）isoutofrange!
\n，,i）;break;
end
%当插值点超出范围时，报错
forj二2:
n
ifz1=J；
end
辻广二0
break;
end
end
%—旦1有非零值，则终止循环，选出合适的1
fork=l-l:
l
a二；
fors二1-1:
1
辻s'k
a二a*（z-xO（s））/（xO（k）-xO（s））;
end
sum二sum+yO（k）*a;
end
y（i）二sum;
fprintfCy（%d）=%f\nxl=%.3fyl=%.5f,x2=%.3fy2=%.5f\n\n，,i,y（i）,xO（1~1）,yO（1~1）,xO
（1）,yO
（1））;
%输出插值结果和所需节点
end
end
end
2、分段二次插值
%分段二次插值
functiony二piece_square（xO,yO,x）
%xO,yO为已知点，x为待求点
n=length（xO）;p=length（yO）;m=length（x）;
%n,p,m分别为xO,yO,x长度
ifn、二p
fprintf（Error!
Pleaseinputagain!
\n）;
%xO和yO长度不等时，报错
else
fori二l:
m
z=x（i）;
sum二；
1=0；
%给1赋初值，根据X的值确定1
ifz（1）z>x0（n）
fprintfCError!
x（%d）isoutofrange!
Xn^,i）;break;
end
%当插值点超出范围时，报错
forj二l:
n-2
p=*（x0（j）+x0（j+l））;
ifz1=J；
end
辻广二0
break;
end
%—旦1有非零值，则终止循环，选出合适的1
end
if1==0
l=n-l;
end
%输入正确时，若1还等于零，1二n-l
fork=l-l：
l+l
a二；
fors二IT:
1+1
辻s"=k
a二a*（z-xO（s））/（xO（k）~x0（s））;
end
end
sum二sum+yO（k）*a;
end
y（i）二sum;
fprintf（?
y（%d）=%f\nxl=%.3fyl=%.5f\nx2=%.3fy2=%.5f\nx3=%.3fy3=%.5f\n\n，,i,y（i）,xO（1~1）,yO（1~1）,xO
（1）,yO
（1）,xO（1+1）,yO（1+1））;%输出插值结果与所需节点endendend
3、拉格朗ri全区间插值
%拉格朗ri全区间插值
functiony=lagrange（xO,yO,x）
%xO,yO为已知点，x为待求点
n=length（xO）:
p=length（yO）;m=length（x）;
%n,p,m分别为xO,yO,x长度
ifn、二p
fprintf（Error!
Pleaseinputagain!
\n）;
%x0和yO长度不等时，报错
else
fori二l:
m
z=x（i）;
S二；
ifz（1）z>xO（n）
fprintf（'Error!
x（%d）isoutofrange!
\n,i）;break;
end
%当插值点超出范围时，报错
fork=l:
n
P二；
forj=l:
n
p二p*（z-xO（j））/（xO（k）-xO（j））;
if
end
s二p*yO（k）+s;
end
y（i）=s；
fprintf（y（%d）=%.5f\n‘，i,y（i））;
%输出插值结果
end
end
end
5算例分析
1、测试示例
»x=[l234];
»y二[234];
>>y2z:
lagrange（x,y,xO）
Error!
Pleaseinputagain!
»x=[l234];
»y=[2345];
»x0=[];
>>y2=lagrange（x,y,xO）
Error!
x（l）isoutofrange!
»X二[1234];
»y二[2345];
»xO=[];
>>y2z:
lagrange（x,y,xO）
y（l）=
Error!
x
（2）isoutofrange!
y2二
2、
首先输入函数变及待求点
»
x=[];
»
y=[];
»
x0=[];
注:
保证在matlab工作目录中有三个.m文件
3、
分段线性插值
yO二piece_linear（x,y,xO）y（l）=
xl二yl二，x2二y2二
y
（2）=
xl二yl二，x2二y2二
y（3）=
xl二yl二,x2二
y2=
yO二
4、分段二次插值
>>yl=piece_square（x,y,xO）y（l）=
xl二yl二
x2=y2=
x3二y3二
y
（2）=
xl二yl二
x2=y2=
x3二y3二
y（3）=
xl二yl二
x2=y2=
x3二y3二
yl二
5、全区间拉格朗口插值>>y2=lagrange（x,y,xO）y（l）=
y
（2）=
y（3）=
y2=
6讨论与结论
1、使用tic,toe函数计算下列四种方法计算上述问题所运行的时间
Function
lagrange（xO,yO
X）
piece_linear（x
0,yO,x）
piece_square（x
0,yO,x）
运行时间（s）
从三次实验结果可知，三个程序的运行时间都很短。
2、程序优化
由分段线性插值和分段二次插值的原理，x取值在函数表范围内时，插值结果有意义，而当x取值在函数表范围以外，利用分段线性插值公式仍可以进行运算并得到一个值，但其结果不准确；分段二次插值则无法找到三个合适的点以求插值，不予以输出结果；若输入的函数表x与y的长度不相等，则无法插值。
所以加入以下判断以提高插值的准确性
n^length（xO）;p=length（yO）;m二length（x）;
ifn〜二p
fprintf（Error!
Pleaseinputagain!
\n）:
ifz（1）|z>xO（n）
fprintf（Error!
x（%d）isoutofrange!
\n,i）;
break;
end
3、作图比较
上图为三种方法的插值曲线，其中X取0到，步长为，由图可得，三种曲线非常接近,这说明我们用拉格朗日插值计算所给点函数值的近似值时，引起的误差还是比较小的。
参考文献
[1]易大义，沈云宝，李有法.计算方法（第2版），浙江大学出版社..
[2]张琨高思超毕靖编着MATLAB2010从入门到精通电子工业出版社
升级会员 