北大版线性代数第一章部分课后答案详解.docx
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北大版线性代数第一章部分课后答案详解
习题1.2：
1•写出四阶行列式中
含有因子（仆_3的项
解：
由行列式的左义可知，第三行只能从勺2、幻4中选，第四行只能从中选，所以所有的组合只有（-1广即如他角2%或（-1）"网aHa23a34a42，即含有因子勺］“23的项
为一如吹32%和aHa23a34a42
勺2
«!
3
«15
«22
“23
“24
如
“32
0
0
0
«42
0
0
0
°51
0
0
0
2•用行列式的上义证明
证明：
第五行只有取心2整个因式才能有可能不为0,同理，第四行取心|、山2,第三行取①】、他2，由于每一列只能取一个，则在第三第四第五行中，必有一行只能取0•以第五行为参考，含有你I的因式必含有0,同理，含有@2的因式也必含有故所有因式
都为0•原命题得证・。
3•求下列行列式的值:
0
0
1
0
0…
2...
0
0
0
0
…0
...2
1
0
0
0
（1）
■
■
■
■
■
■
••
••
♦•
■
■
■
；
（2）
•
■
■
••
••
••
•
■
■
•
■
•
0
0
0…
”一1
〃一1
…0
0
0
n
0
0•…
0
0
…0
0
n
”一1
4.设n阶行列式：
A=
«ii
■
■
•
•…（仏
••
••
••
B=
如
a2\b
•
•
a22
■
■
1l-w…40
…呵丹,
••
••
5
…%
•
5尸
■
W2
••
•・・a
nn
0
0
n
其中bHO,试
证明:
A=Bo
证明:
Z（-1严"％严匕少宀叫”护
7柯
S（j严"％叫2…Wk...b'f
$1$2・・％曲
E（T）'T%d2…％沪Wi"叫Z（T严％%…讣A叩2・・％和巾时2••叭和巾
命题得证。
5•证明：
如下2007阶行列式不等于0：
1
2
…2006
2007
22
32
…20072
2OO82
D=
33
•
43
•
…20083
••
20083
■
•
■
20072（xn
■
•
2OO82007
••
••
...2OO82007
■
■
2OO82007
证明：
最后一行元素，除去彳“了200?
是奇数以外，其余都是偶数，故含20082呦的因式也都是偶数。
若最后一行取20072°°7,则倒数第二行只有取2OO72006才有可能最后乘积为奇数，以此类推，只有次对角线上的元素的积为奇数，其余项的积都为偶数。
故原命题得证。
习题1.3
i求下列行列式的值:
解:
0111
0111
3321
1011
1-100
C4+C3'
0-100
1101
—久。
+久？
01-10
C3+C2
00-10
1110
—/ij+Ao
001-1
C2+S
000-1
=-3；
（3.）.A=
a2a+b3a+2b+c4〃+3b+2c+d
a3a+b6a+3b+c10a+6b+3c+d
abcd
a0cd
aa+ba+b+ca+b+c+d
aaa+b+ca+b+c+d
a2a+b3a+2b+c4a+3b+2c+d
a2a3a+2b+c4a+3b+2c+d
a3a+b6a+3b+c10a+6b+3c+〃
a3a6a+3b+c\0a+6b+3c+d
+
a0cd
a000
aaca+b+c+d
aaa+ba+b+c
+
—
a2ac4a+3b+2c+d
a2a3a+2b4a+3b+2c
a3ac\Oa+6b+3c+d
a3a6a+3b\Oa+6b+3c
a00d
“000
«000
aaa+bd
aaaa+b+c
1
aaba+b+c
a2a3a+2bd
a2a3a4a+3b+2c
十
a2a2b4a+3b+2c
a3a6a+3bd
a3a6a10“+6Z?
+3c
a3a3b10"+6b+3c
+
a000
"000
“000
a000
aaaa+b
aaac
aaaa
aaab
+
二
+
a2a3a4a+3b
a2a3a2c
a2a3a4a
a2a3a3b
a3a6a\0a+6b
a3a6a3c
a3a6a10a
a3a6a6b
a
0
0
0
a
a
Cl
Cl
a
2a
3a
4“
a
3a
6a
10"
ux-ax—ax\0a=a4
65
2.求下列n阶行列式的值:
1
2
n+\
77+2
（1）
2n+1
•
2/7+2
■
•
■
（/7-l）/Z+l
■
■
（77-1）/7+2
•-n
322…2
••2/7
232•••2
••3rt
;
（2）
223•••2
•♦
•♦
♦•♦••
•>
222・••3
（3）
1
2
3
・••n
-1
0
3
…n
-1
-2
0
…n
■
-1
■
-2
■
一3
••
…0
1
2
3
・・・n
1
x+\
3
・・・n
（4）
1
■
■
2
•
•
x+\
■
・・・n
••
•■
■
1
■
2
■
3
••
…x+\
1
2
…n
/?
+1
n+2
…2n
解：
（1）Dn=
2n+l
■
2n+2
■
…3n
•♦
•
■
（n-l）/2+l
■
■
（n-l）n+2
•♦
•♦
…ir
（1）若n=l;则q=i；
（3）
（2）
若/?
>3,则
1
2
••
n
n+1
n+2
••
2n
D尸
2n+1
♦
2n+2
■
••
■
3〃
■
•
•
•
■
（72-1）/2+2
••
■
■
H2
1
2...
n
n
n•…
n
n
■
•
n•…
••
■■
n
■
•
=0；
•••
（/?
-1）7?
+1（〃一1）〃+2・•・
•ir
综上:
Dn=\
1
-2
0
n=1
n=2
72>3
（2）
3
2
2
…2
2
3
2
…2
2
2
3
…2
2
2
2
…3
其中,
i先后取n,n-l,---2》
一人-1+入
3
2
2
…2
-1
1
0
・••0
0
■
-1
■
1
•
••・o
••
■
0
•
0
•
0
••
-11
3+2（h-1）
0
0
0
0
（3）
123
-103
-1-20
•••
♦••
♦•♦
一1-2一3
=n!
;
（4）
i依次取n,n・l,…21
1
2
3
・・・u
1
x+\
3
・・・n
1
•
■
2
•
■
x+\
■
・・・；?
••
••
■
1
•
2
■
3
••
…x+1
j依次取2、3、…n
~ic\+q
1
1x—l
1x-2
••
♦•
♦•
1X-72+1
习题1.4
1.计算下列行列式:
=（x-l）（x_2）・・・（x—〃+l）；
X
a
b
0
c
0
y
0
0
d
1+x；
•••
（1）
0
c
z
0
f
■
（2）
七兀］
•
1+X；
•
♦••
•
•
g
h
k
It
I
•
■
■
a
X,
•V2
…'
+兀;
0
0
0
0
V
7
6
5
4
3
2
a
00
…0
1
9
7
8
9
4
3
0
a0
…0
0
7
4
9
7
0
（）
0
0a
…0
0
（3）
；（4）
5
3
6
1
0
0
■
0
0
5
6
0
0
0
00
…a
0
0
0
6
8
0
（）
1
00
…0
a
nx//
解：
（1）
xah0c
0y00d
0cz0/
ghkuI
^2久4
0000V
itgkh1
0xbac
00zcf
=xyzuv;
000y0
0000v
（2）
x0hac
2ukhI
o
00zcf
5
000y0
0000V
D=
1+x：
V2
…X］斗
1+x：
X/2
•・•0
1+Xj
尤2坷
■
l+X；
•
…X?
叫
••
=
■
1+x;
•
・・•0
••
+
X2V1
•
1+x；
■
■
•••1+x;
…1
1+xf
X內•…
（-1厂
X
•
■
•
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