线性代数第一章习题答案.docx

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线性代数第一章习题答案

习题一

A组

1．利用对角线法则计算下列行列式.

（1）

；

（2）

；

（3）

；（4）

.

解：

（1）

（2）

（3）

（4）

2．计算下列个行列式。

（1）

；

（2）

；

（3）

；（4）

；

（5）

；（6）

.

（1）解：

（2）解：

（3）解：

（4）解：

（5）解：

（6）解：

3．设行列式

，

求

，其中

为第4行元素的余子式.

解：

4．已知

，

求

的系数.

解：

，而

的展开式中只有

中含有

项，又

=

，所以

中含有

的项为

，则

中

的系数为-1.

5．证明：

（1）

；

（2）

证明：

（1）

证毕

（2）

证毕

6．用克莱默法则解下列线性方程组.

（1）

（2）

解：

（1）方程组的系数行列式

，

而

则

（2）方程组的系数行列式

而

则

7．齐次线性方程组

有非零解时，

，

必须满足什么条件？

解：

，齐次线性方程组有非零解，则

，即

，从而

.

8．已知齐次线性方程组

有非零解，问

取何值？

解：

齐次线性方程组有非零解时，

，即

.

B组

1．设

是三次方程

的根，试计算

.

解：

因

是方程

的根，则

，而

，

所以

2．计算下列行列式.

（1）

；

（2）

；

（3）

；（4）

；

（5）

；（6）

.

解：

（1）

（2）将行列式

加边，得新的行列式

，则由范德蒙行列式知

，其中

的系数为

将行列式

按第五列展开，

，所以

中

的余子式

即为所求的行列式

，

则

（3）将

按第二列展开，得

（4）行列式除对角线上以外，其他元素都相等，将第三列的-1倍分别加到其他各列，得

（5）原式

（6）原式

由范德蒙行列式知，

所以所求行列式

3．证明：

（1）

其中

；

（2）

；

（3）

；

（4）

.

证明：

（1）

证毕.

（2）将行列式按最后一行展开，则

证毕

（3）将行列式

按第一列展开，得

证毕.

（4）将行列式

一行展开，得

又因为

，

，则

.证毕

3．求三次多项式

，

使得

.

解：

因

，

则

该方程组系数行列式为

所以

即

.

5．记行列式

为

，求方程

的根的个数.

解：

则

有2个根.

6．设

，

证明必存在一点

，使

成立.

证明：

且

在

连续，在

可导，由

定理知，必存在一点

，使

成立.证毕

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