C．b2＋8a>4acD．2a＋b>0
3．（2018·潍坊中考）已知二次函数y＝－（x－h）2（h为常数），当自变量x的值满足2≤x≤5时，与其对应的函数值y的最大值为－1，则h的值为（）
A．3或6B．1或6
C．1或3D．4或6
4．（2018·烟台中考）如图，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴交于点A（－1，0），B（3，0）．下列结论：
①2a－b＝0；②（a＋c）2＜b2；③当－1＜x＜3时，y＜0；④当a＝1时，将抛物线先向上平移2个单位，再向右平移1个单位，得到抛物线y＝（x－2）2－2.其中正确的是（）
A．①③B．②③
C．②④D．③④
5．（2018·天津中考）已知抛物线y＝ax2＋bx＋c（a，b，c为常数，a≠0）经过点（－1，0（0，3），其对称轴在y轴右侧．有下列结论：
①抛物线经过点（1，0）；
②方程ax2＋bx＋c＝2有两个不相等的实数根；
③－3＜a＋b＜3.
其中，正确结论的个数为（）
A．0B．1C．2D．3
6．（2018·广州中考）已知二次函数y＝x2，当x＞0时，y随x的增大而____________（填“增大”或“减小”）．
7．（2018·自贡中考）若函数y＝x2＋2x－m的图象与x轴有且只有一个交点，则m的值为____________．
8．（2018·淄博中考）已知抛物线y＝x2＋2x－3与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），将这条抛物线向右平移m（m>0）个单位，平移后的抛物线与x轴交于C，D两点（点C在点D的左侧）．若B，C是线段AD的三等分点，则m的值为______________．
9．（2018·宁波中考）已知抛物线y＝－
x2＋bx＋c经过点（1，0（0，
）．
（1）求该抛物线的函数表达式；
（2）将抛物线y＝－
x2＋bx＋c平移，使其顶点恰好落在原点，请写出一种平移的方法及平移后的函数表达式．
答案
1．B 2.D 3.B 4.D 5.C
6．增大 7.－1 8.2或8
9．解：
（1）把（1，0），（0，
）代入抛物线表达式得
解得
则抛物线的函数表达式为y＝－
x2－x＋
.
（2）y＝－
x2－x＋
＝－
（x＋1）2＋2，
将抛物线向右平移1个单位，向下平移2个单位，表达式变为y＝－
x2.
第二部分：
二次函数的实际应用
1．（2018·威海中考）如图，将一个小球从斜坡的点O处抛出，小球的抛出路线可以用二次函数y＝4x－
x2刻画，斜坡可以用一次函数y＝
x刻画．下列结论错误的是（）
A．当小球抛出高度达到7.5m时，小球距O点水平距离为3m
B．小球距O点水平距离超过4米呈下降趋势
C．小球落地点距O点水平距离为7米
D．斜坡的坡度为1∶2
2．（2018·绵阳中考）如图是抛物线型拱桥，当拱顶离水面2m时，水面宽4m，水面下降2m，水面宽度增加______________m.
3．（2018·青岛中考）某公司投入研发费用80万元（80万元只计入第一年成本），成功研发出一种产品．公司按订单生产（产量＝销售量），第一年该产品正式投产后，生产成本为6元/件．此产品年销售量y（万件）与售价x（元/件）之间满足函数关系式y＝－x＋26.
（1）求这种产品第一年的利润W1（万元）与售价x（元/件）满足的函数关系式；
（2）该产品第一年的利润为20万元，那么该产品第一年的售价是多少？
（3）第二年，该公司将第一年的利润20万元（20万元只计入第二年成本）再次投入研发，使产品的生产成本降为5元/件．为保持市场占有率，公司规定第二年产品售价不超过第一年的售价，另外受产能限制，销售量无法超过12万件．请计算该公司第二年的利润W2至少为多少万元．
4．（2018·威海中考）为了支持大学生创业，某市政府出台了一项优惠政策：
提供10万元的无息创业贷款．小王利用这笔贷款，注册了一家淘宝网店，招收5名员工，销售一种火爆的电子产品，并约定用该网店经营的利润，逐月偿还这笔无息贷款．已知该产品的成本为每件4元，员工每人每月的工资为4千元，该网店还需每月支付其他费用1万元．该产品每月销售量y（万件）与销售单价x（元）之间的函数关系如图所示．
（1）求该网店每月利润w（万元）与销售单价x（元）之间的函数表达式；
（2）小王自网店开业起，最快在第几个月可还清10万元的无息贷款？
答案
1．A 2.4
－4
3．解：
（1）W1＝（x－6）（－x＋26）－80＝－x2＋32x－236.
（2）由题意得20＝－x2＋32x－236，解得x＝16.
答：
该产品第一年的售价是16元/件．
（3）由题意得
解得14≤x≤16.
W2＝（x－5）（－x＋26）－20＝－x2＋31x－150.
∵a＝－1＜0，－
＝
，
∴当14≤x≤
时，W2随着x的增大而增大，
当
≤x≤16时，W2随着x的增大而减小，
∴当x＝14或16时，W2有最小值．
∵当x＝14时，W2＝－142＋31×14－150＝88（万元）；
当x＝16时，W2＝－162＋31×16－150＝90（万元），
∴当x＝14时，利润W2最小，最小值为88万元．
答：
该公司第二年的利润W2至少为88万元．
4．解：
（1）设直线AB的函数表达式为yAB＝kx＋b，
代入A（4，4），B（6，2）得
解得
∴直线AB的函数表达式为yAB＝－x＋8.
设直线BC的函数表达式为yBC＝k1x＋b1，
代入B（6，2），C（8，1）得
解得
∴直线BC的函数表达式为yBC＝－
x＋5.
又∵工资及其他费用为0.4×5＋1＝3（万元），
∴当4≤x≤6时，w1＝（x－4）（－x＋8）－3，
即w1＝－x2＋12x－35，
∴当6x＋5）－3，
即w2＝－
x2＋7x－23.
（2）当4≤x≤6时，w1＝－x2＋12x－35＝－（x－6）2＋1，
∴当x＝6时，w1取最大值1.
当6x2＋7x－23＝－
（x－7）2＋
，
∴当x＝7时，w2取最大值1.5，
∴
＝
＝6
，即第7个月可以还清全部贷款．
第三部分：
二次函数的综合应用
1．（2018·莱芜中考）如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c经过A（－1，0），B（4，0），C（0，3）三点，D为直线BC上方抛物线上一动点，DE⊥BC于E.
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）如图1，求线段DE长度的最大值；
（3）如图2，设AB的中点为F，连接CD，CF，是否存在点D，使得△CDE中有一个角与∠CFO相等？
若存在，求点D的横坐标；若不存在，请说明理由．
2．如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC的顶点A，C分别在y轴，x轴上，∠ACB＝90°，OA＝
，抛物线y＝ax2－ax－a经过点B（2，
），与y轴交于点D.
（1）求抛物线的表达式；
（2）点B关于直线AC的对称点是否在抛物线上？
请说明理由；
（3）延长BA交抛物线于点E，连接ED，试说明ED∥AC的理由．
3．（2018·自贡中考）如图，抛物线y＝ax2＋bx－3过A（1，0），B（－3，0），直线AD交抛物线于点D，点D的横坐标为－2，点P（m，n）是线段AD上的动点．
（1）求直线AD及抛物线的表达式；
（2）过点P的直线垂直于x轴，交抛物线于点Q，求线段PQ的长度l与m的关系式，m为何值时，PQ最长？
（3）在平面内是否存在整点（横、纵坐标都为整数）R，使得P，Q，D，R为顶点的四边形是平行四边形？
若存在，直接写出点R的坐标；若不存在，说明理由．
答案
1．解：
（1）由已知得
解得
∴y＝－
x2＋
x＋3.
（2）设直线BC的表达式为y＝kx＋b，
∴
解得
∴y＝－
x＋3.
设D（a，－
a2＋
a＋3），（0如图，过点D作DM⊥x轴，交BC于点M，
∴M（a，－
a＋3），
∴DM＝（－
a2＋
a＋3）－（－
a＋3）＝－
a2＋3a.
∵∠DME＝∠OCB，∠DEM＝∠COB，
∴△DEM∽△BOC，
∴
＝
.
∵OB＝4，OC＝3，∴BC＝5，
∴DE＝
DM，
∴DE＝－
a2＋
a＝－
（a－2）2＋
，
∴当a＝2时，DE取最大值，最大值是
.
（3）假设存在这样的点D，使得△CDE中有一个角与∠CFO相等．
∵F为AB的中点，∴OF＝
，tan∠CFO＝
＝2.
如图，过点B作BG⊥BC，交CD的延长线于G，过点G作GH⊥x轴，垂足为H.
①若∠DCE＝∠CFO，∴tan∠DCE＝
＝2，∴BG＝10.
∵△GBH∽△BCO，∴
＝
＝
，
∴GH＝8，BH＝6，
∴G（10，8）．
设直线CG的表达式为y＝kx＋b，
∴
解得
∴y＝
x＋3，
∴
解得x＝
或x＝0（舍）．
②若∠CDE＝∠CFO，同理可得BG＝
，GH＝2，
BH＝
，
∴G（
，2）．
同理可得直线CG的表达式为y＝－
x＋3，
∴
解得x＝
或x＝0（舍）．
综上所述，存在D使得△CDE中有一个角与∠CFO相等，其横坐标是
或
.
2．解：
（1）把点B的坐标代入抛物线的表达式得
＝a×22－2a－a，解得a＝
.
∴抛物线的表达式为y＝
x2－
x－
.
（2）如图，连接CD，过点B作BF⊥x轴于点F，
则∠BCF＋∠CBF＝90°.
∵∠ACB＝90°，∴∠ACO＋∠BCF＝90°，
∴∠ACO＝∠CBF.
∵∠AOC＝∠CFB＝90°，∴△AOC∽△CFB，
∴
＝
.
设OC＝m，则CF＝2－m，则有
＝
，
解得m＝1，∴OC＝CF＝1.
当x＝0时，y＝－
，∴OD＝
，∴BF＝OD.
∵∠DOC＝∠BFC＝90°，∴△OCD≌△FCB，
∴DC＝CB，∠OCD＝∠FCB，
∴点B，C，D在同一直线上，
∴点B与点D关于直线AC对称，
∴点B关于直线AC的对称点在抛物线上．
（3）如图，过点E作EG⊥y轴于点G，设直线AB的表达式为
y＝kx＋b，
则
解得
∴直线AB的表达式为y＝－
x＋
.
代入抛物线的表达式得－
x＋
＝
x2－
x－
.
解得x＝2或x＝－2.
当x＝－2时，y＝－
x＋
＝
，
∴点E的坐标为（－2，
）．
∵tan∠EDG＝
＝
＝
，
∴∠EDG＝30°.
∵tan∠OAC＝
＝
＝
，∴∠OAC＝30°，
∴∠OAC＝∠EDG，∴ED∥AC.
3．解：
（1）把（1，0），（－3，0）代入函数表达式得
解得
∴抛物线的表达式为y＝x2＋2x－3.
当x＝－2时，y＝（－2）2＋2×（－2）－3，解得y＝－3，
即D（－2，－3）．
设AD的表达式为y＝kx＋b，将A（1，0），D（－2，－3）代入得
解得
∴直线AD的表达式为y＝x－1.
（2）设P点坐标为（m，m－1），Q（m，m2＋2m－3），
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