斯卡定理帕普斯定理的证明技巧.docx

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斯卡定理帕普斯定理的证明技巧

用面积法证明Pascal定理的方法与技巧

[帕斯卡定理]如图，用一条6-闭折线依次连接圆上的六个点A、B、C、D、E、F，其中

ABIDE=G，BCIEF=H，CDIFA=I，则G、H、I三点共线。

［证1］首先，连接GI，设GIIBC=H，GIIEF=H'；

图

（2）

顺次连接圆上的6个相邻点，得到圆的内接凸六边形AEBDFC；

连接G、I与圆周上的六点A、

B、C、

D、E、F，设l

GH

HI

lGH'l=

H'I

l=GH=SDGBC，l'=SDGEF

HISDIBCSDIEF

l=GH?

H'I

l'

HIGH'

SDGBC?

SDIEF。

SDIBCSDGEF

SDGBC?

SDIEF

SDIBCSDGEF

SDGBCSDIEF

SDIFC

鬃

SDGBE

SDIFC?

SDGBE

SDIBCSDGEF

BG鬃BCFIFESDIFCSDGBE

鬃?

FI鬃FCBGBESDGEFSDIBC

BG鬃BCFI

FE

FI

鬃FCBGBE

CI鬃CF?

EGEBEG鬃EFCICB

CB

BG×BCFI×FECI×CF

BG×BEEG×EF

EG×EB

CI×CB

=1，

可知，

lGHH'I

=1，即得?

l'HIGH'

1，即

GHGH'

=。

HIH'I

H、H'都是线段GI上的点，可知

H、H'同向分线段GI的比相等，

故H、H'为同一点（重合），从而证明了G、H、I三点共线。

2

［总结］对圆上的6点，过每两点作直线，共可得m=C26=15条不同的直线；这些直线中每

两条有一个交点（含平行线的交点在无穷远处，以及多条直线交于一点的情形），可得

24

n=C15=105个交点（如果重合的交点只计一次，至多k=3C6+6=51个不同交点。

因为

圆上4点所确定的6条直线，其交点有1点在圆内，有2点在圆外，有4点在圆上）。

从不在圆上的45个点中任意取一点，都能得到一条过该点以及另外两个点的两条帕斯

1

卡线，共可得至多2C145?

330条帕斯卡线。

1

[帕斯卡定理的更多证明方法如下]

1

I

G

H

[帕普斯定理]

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