1、斯卡定理帕普斯定理的证明技巧用面积法证明 Pascal 定理的方法与技巧 帕斯卡定理 如图,用一条 6- 闭折线依次连接圆上的六个点 A、 B、 C、 D、 E、 F ,其中ABI DE =G, BCI EF = H, CD I FA=I ,则 G、 H、 I 三点共线。证 1首先,连接 GI ,设 GI I BC = H, GI I EF = H ;图( 2)顺次连接圆上的 6 个相邻点,得到圆的内接凸六边形 AEBDFC ;连接 G、 I 与圆周上的六点 A、B、 C、D、 E、 F ,设 lGHHIl GH l=HIl = GH = SDGBC , l = SDGEFHI SDIBC S
2、DIEFl =GH?HIlHI GH SDGBC ? SDIEF 。SDIBC SDGEFSDGBC ? SDIEFSDIBC SDGEFSDGBC SDIEFSDIFC鬃SDGBESDIFC ?SDGBESDIBC SDGEFBG鬃 BC FI FE SDIFC SDGBE鬃?FI 鬃 FC BG BE SDGEF SDIBCBG鬃 BC FIFEFI鬃 FC BG BECI 鬃 CF ?EG EB EG 鬃 EF CI CBCBBG BC FI FE CI CFBG BE EG EFEG EBCI CB=1,可知,l GH H I=1 ,即得 ?l HI GH 1 ,即GH GH =。HI
3、 H IH 、 H 都是线段 GI 上的点,可知H 、 H 同向分线段 GI 的比相等,故 H、 H 为同一点(重合) ,从而证明了 G、 H、 I 三点共线。2总结 对圆上的 6 点,过每两点作直线,共可得 m = C26 = 15条不同的直线;这些直线中每两条有一个交点(含平行线的交点在无穷远处,以及多条直线交于一点的情形) ,可得24n = C15 = 105个交点(如果重合的交点只计一次,至多 k = 3C6 +6 = 51 个不同交点。因为圆上 4 点所确定的 6 条直线,其交点有 1 点在圆内,有 2 点在圆外,有 4 点在圆上) 。从不在圆上的 45 个点中任意取一点, 都能得到一条过该点以及另外两个点的两条帕斯1卡线,共可得至多 2C145 ? 3 30 条帕斯卡线。1 帕斯卡定理的更多证明方法如下 1IGH 帕普斯定理 22