斯卡定理帕普斯定理的证明技巧.docx

1、斯卡定理帕普斯定理的证明技巧用面积法证明 Pascal 定理的方法与技巧 帕斯卡定理 如图，用一条 6- 闭折线依次连接圆上的六个点 A、 B、 C、 D、 E、 F ，其中ABI DE =G， BCI EF = H， CD I FA=I ，则 G、 H、 I 三点共线。证 1首先，连接 GI ，设 GI I BC = H， GI I EF = H ；图（ 2）顺次连接圆上的 6 个相邻点，得到圆的内接凸六边形 AEBDFC ；连接 G、 I 与圆周上的六点 A、B、 C、D、 E、 F ，设 lGHHIl GH l=HIl = GH = SDGBC ， l = SDGEFHI SDIBC S

2、DIEFl =GH?HIlHI GH SDGBC ? SDIEF 。SDIBC SDGEFSDGBC ? SDIEFSDIBC SDGEFSDGBC SDIEFSDIFC鬃SDGBESDIFC ?SDGBESDIBC SDGEFBG鬃 BC FI FE SDIFC SDGBE鬃?FI 鬃 FC BG BE SDGEF SDIBCBG鬃 BC FIFEFI鬃 FC BG BECI 鬃 CF ?EG EB EG 鬃 EF CI CBCBBG BC FI FE CI CFBG BE EG EFEG EBCI CB=1，可知，l GH H I=1 ，即得 ?l HI GH 1 ，即GH GH =。HI

3、 H IH 、 H 都是线段 GI 上的点，可知H 、 H 同向分线段 GI 的比相等，故 H、 H 为同一点（重合） ，从而证明了 G、 H、 I 三点共线。2总结 对圆上的 6 点，过每两点作直线，共可得 m = C26 = 15条不同的直线；这些直线中每两条有一个交点（含平行线的交点在无穷远处，以及多条直线交于一点的情形） ，可得24n = C15 = 105个交点（如果重合的交点只计一次，至多 k = 3C6 +6 = 51 个不同交点。因为圆上 4 点所确定的 6 条直线，其交点有 1 点在圆内，有 2 点在圆外，有 4 点在圆上） 。从不在圆上的 45 个点中任意取一点， 都能得到一条过该点以及另外两个点的两条帕斯1卡线，共可得至多 2C145 ? 3 30 条帕斯卡线。1 帕斯卡定理的更多证明方法如下 1IGH 帕普斯定理 22