人教版高中数学A版选择性必修三第八章 81.docx

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人教版高中数学A版选择性必修三第八章81

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第八章　成对数据的统计分析

8.1　成对数据的统计相关性

必备知识·素养奠基

1.变量的相关关系

（1）两个变量的关系

分类

函数关系

相关关系

特征

两变量有

确定的关系

两个变量有关系,但又没有确切到可由其中一个去精确地决定另一个的程度

（2）散点图:

将样本中的每一个序号下的成对数据用直角坐标系中的点表示出来得到的统计图.

（3）正相关与负相关

正相关

负相关

当一个变量的值增加时,另一个变量的相应值也呈现增加的趋势

当一个变量的值增加时,另一个变量的相应值呈现减少的趋势

（4）线性相关:

如果两个变量的取值呈现正相关或负相关,而且散点落在一条直线附近,则称这两个变量线性相关.

　正相关与负相关是对所有具有相关关系的两个变量而言的,对吗?

提示:

不对,正相关与负相关是针对线性相关关系而言的.

2.样本的相关系数

（1）相关系数:

统计学里一般用r=

来衡量y与x的线性相关性的强弱,这里的r称为样本相关系数（简称相关系数）.

（2）相关系数的性质

r>0时,成对数据正相关;r<0时,成对数据负相关,-1≤r≤1.

|r|越小,两个变量之间的线性相关程度越弱,|r|越大,两个变量之间的线性相关程度越强.

|r|=1时,成对数据构成的点都在一条确定的直线上.

　|r|的大小有何实际意义?

提示:

|r|越小,两个变量之间的线性相关性越弱;|r|越大,两个变量之间的线性相关性越强.

1.思维辨析（对的打“√”,错的打“×”）

（1）两个变量的相关关系是一种确定的关系.（　　）

（2）两个变量的相关系数越大,它们的相关程度越强.（　　）

（3）当一个变量的值增加时,另一个变量的值随之减少,则称这两个变量负相关.（　　）

（4）一般地,样本容量越大,用样本相关系数估计两个变量的相关系数的效果越好.（　　）

提示:

（1）×.两个变量的相关关系不是一种确定的关系,是一种随机关系.

（2）×.相关系数|r|越接近1,线性相关程度越强;|r|越接近0,线性相关程度越弱.

（3）×.存在相关关系的两个变量,当一个变量增加时,另一个变量的相应值呈减少的趋势,则称这两个变量负相关.

（4）√.

2.根据一组数据判断两个变量是否线性相关时,应选（　　）

A.茎叶图B.频率分布直方图

C.散点图D.频率分布折线图

【解析】选C.判断两个变量是否有线性相关关系时,应先画出散点图.若这些点大体分布在一条直线附近则具有线性相关关系.

3.已知两个变量负相关,且相关程度很强,则它们的相关系数的大小可能是（　　）

A.-0.95B.-0.13C.0.15D.0.96

【解析】选A.相关系数r<0时,成对数据负相关,且|r|越大,两个变量之间的线性相关程度越强.

关键能力·素养形成

类型一　相关关系与线性相关关系

角度1　相关关系

【典例】（多选题）下列关系中,属于相关关系的是（　　）

A.正方形的边长与面积之间的关系

B.农作物的产量与施肥量之间的关系

C.人的身高与年龄之间的关系

D.降雪量与交通事故的发生率之间的关系

【思维·引】紧扣相关关系的概念加以判断.

【解析】选BD.在A中正方形的边长与面积之间的关系是函数关系;在B中,农作物的产量与施肥量之间不具有严格的函数关系,但具有相关关系;在C中,人的身高与年龄之间的关系既不是函数关系,也不是相关关系,因为人的年龄达到一定时期身高就不发生明显变化了,因而它们不具有相关关系;在D中,降雪量与交通事故的发生率之间具有相关关系.

角度2　线性相关关系的判断

【典例】5名学生的数学和物理成绩（单位:

分）如下:

数学

成绩

物理

成绩

判断数学成绩与物理成绩是否具有线性相关关系.

【思维·引】根据散点图判断.

【解析】以x轴表示数学成绩,y轴表示物理成绩,得相应的散点图如图所示.

由散点图可知,各点分布在一条直线附近,故两者之间具有线性相关关系.

【素养·探】

本例考查利用散点图判断两个变量是否线性相关,同时考查了数据分析与数学抽象的核心素养.

　本例条件若改为:

某公司2014～2019年的年利润x（单位:

百万元）与年广告支出y（单位:

百万元）的统计资料如表所示:

年份

2014

2015

2016

2017

2018

2019

利润x

12.2

14.6

20.4

22.3

支出y

0.62

0.74

0.81

0.89

1.11

判断x与y是否线性相关,是正相关还是负相关?

【解析】作出散点图（图略）,由散点图可知,各点分布在一条直线附近,故x与y之间线性相关,且y随x的增大而增大,是正相关.

【类题·通】

1.函数关系与相关关系

函数关系是一种确定的关系,而相关关系是非随机变量与随机变量的关系.函数关系是一种因果关系,而相关关系不一定是因果关系,也可能是伴随关系.

2.两个变量是否相关的两种判断方法

（1）实际经验法:

借助积累的经验进行分析判断;

（2）散点图法:

绘制散点图,如果发现点的分布从整体上看大致在一条直线附近,那么这两个变量就是线性相关的,注意不要受个别点的位置的影响.

【习练·破】

1.对变量x,y有观测数据（xi,yi）（i=1,2,…,10）,得散点图①;对变量u,v有观测数据（ui,vi）（i=1,2,…,10）,得散点图②.由这两个散点图可以判断（　　）

A.变量x与y正相关,u与v正相关

B.变量x与y正相关,u与v负相关

C.变量x与y负相关,u与v正相关

D.变量x与y负相关,u与v负相关

【解析】选C.由题图象知,变量x与y呈负相关关系;u与v呈正相关关系.

2.下列两个变量间的关系不是函数关系的是（　　）

A.圆的半径与周长

B.角的度数与它的正切值

C.单产为常数时,土地面积与粮食总产量

D.日照时间与水稻的单位产量

【解析】选D.函数关系与相关关系都是指两个变量之间的关系,但是这两种关系是不同的,函数关系是指当自变量一定时,函数值是确定的,是一种确定性的关系.因为A项C=2πr,B项y=tanα,C项y=ax（a>0,且a为常数）,所以这三项均是函数关系.D项是相关关系.

【加练·固】

　　某个男孩的年龄与身高的统计数据如表所示.

年龄x（岁）

身高y（cm）

108

115

120

（1）画出散点图;

（2）判断y与x是否具有线性相关关系.

【解析】

（1）散点图如图所示.

（2）由散点图知,所有数据点分布在一条直线附近,因此,认为y与x具有线性相关关系.

类型二　相关系数与相关程度的判断

角度1　相关系数的概念

【典例】下面的各图中,散点图与相关系数r不符合的是（　　）

【思维·引】根据相关系数与散点图的关系解答.

【解析】选B.A、B选项中散点全部集中在一条直线上,且分别呈负、正相关,故相关系数r的值应分别为-1,1;C选项变量呈负相关,故-1

角度2　相关程度的判断

【典例】一般来说,一个人的身高越高,他的手就越大,为调查这一问题,对某校10名高一男生的身高与右手长度进行测量得到如下数据（单位:

cm）:

身高

168

170

171

172

174

176

178

180

181

右手长度

19.0

20.0

21.0

21.5

21.0

22.0

24.0

23.0

22.5

23.0

（1）判断两者有无线性相关关系;

（2）如果具有线性相关关系,判断相关性的强弱.

【思维·引】画散点图判断是否线性相关,求相关系数刻画相关程度.

【解析】

（1）散点图如图所示.

可见,身高与右手长度之间的总体趋势为一条直线,即它们线性相关.

（2）根据以上数据可由计算器计算得

=174.8,

=21.7,

=305730,

4729.5,

xiyi=37986.

≈0.9.

故两者有很强的线性相关关系.

【类题·通】