高三数学试题精选届高三理科数学二模试题北京市西城区含答案.docx
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高三数学试题精选届高三理科数学二模试题北京市西城区含答案
2018届高三理科数学二模试题（北京市西城区含答案）
5
西城区高三模拟测试
高三数学（理科）20185
第Ⅰ卷（选择题共40分）
一、选择题本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．
1．在复平面内，复数对应的点是，则复数的共轭复数
（A）
（B）
（c）
（D）
2．下列函数中，值域为的是
（A）
（B）
（c）
（D）
3．在极坐标系中，圆的圆心的极坐标是
（A）
（B）
（c）
（D）
4．在平面直角坐标系中，不等式组表示的平面区域的面积是
（A）
（B）
（c）
（D）
5．设双曲线的离心率是，则其渐近线的方程为
（A）
（B）
（c）
（D）
6．设，是平面上的两个单位向量，．若，则的最小值是
（A）
（B）
（c）
（D）
7．函数．若存在，使得，则的取值范围是
（A）
（B）
（c）
（D）
8．有三支股票A，B，c，28位股民的持有情况如下每位股民至少持有其中一支股票．
在不持有A股票的人中，持有B股票的人数是持有c股票的人数的2倍．在持有A股票的人中，只持有A股票的人数比除了持有A股票外，同时还持有其它股票的人数多1．在只持有一支股票的人中，有一半持有A股票．则只持有B股票的股民人数是
（A）
（B）
（c）
（D）
第Ⅱ卷（非选择题共110分）
二、填空题本大题共6小题，每小题5分，共30分．
9．执行如图所示的程序框图,输出的值为____．
10．已知等差数列的差为，且成等比数列，
则____；数列的前项和____．
11．在中，角，，的对边分别是，，．若，，，则____．
12．函数则____；方程的解是____．
13．大厦一层有A，B，c，D四部电梯，人在一层乘坐电梯上楼，其中人恰好乘坐同一部电梯，则不同的乘坐方式有____种．（用数字作答）
14．在空间直角坐标系中，四面体在坐标平面上的一组正
投影图形如图所示（坐标轴用细虚线表示）．该四面体的体积是____．
三、解答题本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的字说明、证明过程或演算步骤．
15．（本小题满分13分）
已知函数．
（Ⅰ）求的定义域；
（Ⅱ）设，且，求的值．
16．（本小题满分14分）
如图，在几何体中，底面为矩形，，．点在棱上，平面与棱交于点．
（Ⅰ）求证；
（Ⅱ）求证平面平面；
（Ⅲ）若，，，平面平面，求二面角的大小．
17．（本小题满分13分）
某大学为调研学生在A，B两家餐厅用餐的满意度，从在A，B两家餐厅都用过餐的学生中随机抽取了100人，每人分别对这两家餐厅进行评分，满分均为60分．
整理评分数据，将分数以为组距分成组，，，，，，得到A餐厅分数的频率分布直方图，和B餐厅分数的频数分布表
B餐厅分数频数分布表
分数区间频数
定义学生对餐厅评价的“满意度指数”如下
分数
（Ⅰ）在抽样的100人中，求对A餐厅评价“满意度指数”为的人数；
（Ⅱ）从该校在A，B两家餐厅都用过餐的学生中随机抽取1人进行调查，试估计其对A餐厅评价的“满意度指数”比对B餐厅评价的“满意度指数”高的概率；
（Ⅲ）如果从A，B两家餐厅中选择一家用餐，你会选择哪一家？
说明理由．
18．（本小题满分14分）
在平面直角坐标系中，抛物线的顶点是原点，以轴为对称轴，且经过点．
（Ⅰ）求抛物线的方程；
（Ⅱ）设点在抛物线上，直线分别与轴交于点，．
求直线的斜率．
19．（本小题满分13分）
已知函数，其中．
（Ⅰ）求函数的零点个数；
（Ⅱ）证明是函数存在最小值的充分而不必要条．
20．（本小题满分13分）
设集合．如果对于的每一个含有个元素的子集，中必有个元素的和等于，称正整数为集合的一个“相关数”．
（Ⅰ）当时，判断5和6是否为集合的“相关数”，说明理由；
（Ⅱ）若为集合的“相关数”，证明；
（Ⅲ）给定正整数．求集合的“相关数”的最小值．
西城区高三模拟测试
高三数学（理科）参考答案及评分标准
20185
一、选择题本大题共8小题，每小题5分，共40分
1．A2．D3．c4．B
5．A6．c7．D8．A
二、填空题本大题共6小题，每小题5分，共30分
9．10．，11．
12．；或13．14．
注第10，12题第一空2分，第二空3分
三、解答题本大题共6小题，共80分其他正确解答过程，请参照评分标准给分
15．（本小题满分13分）
解（Ⅰ）由，得，．[3分]
所以函数的定义域是．[4分]
（Ⅱ）依题意，得．[5分]
所以，[7分]
整理得，[8分]
所以，或．[10分]
因为，所以，[11分]
由，得，；[12分]
由，得，．
所以，或．[13分]
16．（本小题满分14分）
解（Ⅰ）因为为矩形，所以，[1分]
所以平面．[3分]
又因为平面平面，
所以．[4分]
（Ⅱ）因为为矩形，所以．[5分]
因为，[6分]
所以平面．[7分]
所以平面平面．[8分]
（Ⅲ）因为，，
所以平面，
所以．
由（Ⅱ）得平面，
所以．
所以，，两两互相垂直．[9分]
建立空间直角坐标系．[10分]
不妨设，则，设．
由题意得，，，，，，．
所以，．
设平面的法向量为，则
即令，则．
所以．[12分]
又平面的法向量为，所以
．
因为二面角的平面角是锐角，
所以二面角的大小．[14分]
17．（本小题满分13分）
解（Ⅰ）由对A餐厅评分的频率分布直方图，得
对A餐厅“满意度指数”为的频率为，[2分]
所以，对A餐厅评价“满意度指数”为的人数为．[3分]
（Ⅱ）设“对A餐厅评价‘满意度指数’比对B餐厅评价‘满意度指数’高”为事c．
记“对A餐厅评价‘满意度指数’为”为事；“对A餐厅评价‘满意度指数’为”为事；“对B餐厅评价‘满意度指数’为”为事；“对B餐厅评价‘满意度指数’为”为事．
所以，，[5分]
由用频率估计概率得，．[7分]
因为事与相互独立，其中，．
所以
．[10分]
所以该学生对A餐厅评价的“满意度指数”比对B餐厅评价的“满意度指数”高
的概率为．
（Ⅲ）如果从学生对A，B两家餐厅评价的“满意度指数”的期望角度看
A餐厅“满意度指数”X的分布列为
B餐厅“满意度指数”的分布列为
因为；
，
所以，会选择B餐厅用餐．[13分]
注本题答案不唯一．只要考生言之合理即可．
18．（本小题满分14分）
解（Ⅰ）依题意，设抛物线的方程为．[1分]
由抛物线且经过点，
得，[3分]
所以抛物线的方程为．[4分]
（Ⅱ）因为，
所以，
所以，
所以直线与的倾斜角互补，
所以．[6分]
依题意，直线的斜率存在，设直线的方程为，
将其代入抛物线的方程，整理得
．[8分]
设，则，，[10分]
所以．[11分]
以替换点坐标中的，得．[12分]
所以．
所以直线的斜率为．[14分]
19．（本小题满分13分）
解（Ⅰ）由，
得
．[2分]
令，得，或．
所以当时，函数有且只有一个零点；当时，函数有两个相异的零点，．[4分]
（Ⅱ）①当时，恒成立，此时函数在上单调递减，
所以，函数无极值．[5分]
②当时，，的变化情况如下表
↘极小值↗极大值↘
所以，时，的极小值为．[7分]
又时，，
所以，当时，恒成立．[8分]
所以，为的最小值．[9分]
故是函数存在最小值的充分条．[10分]
③当时，，的变化情况如下表
↘极小值↗极大值↘
因为当时，，
又，
所以，当时，函数也存在最小值．[12分]
所以，不是函数存在最小值的必要条．
综上，是函数存在最小值的充分而不必要条．[13分]
20．（本小题满分13分）
解（Ⅰ）当时，，．[1分]
①对于的含有个元素的子集，
因为，
所以不是集合的“相关数”．[2分]
②的含有个元素的子集只有，
因为，
所以是集合的“相关数”．[3分]
（Ⅱ）考察集合的含有个元素的子集．[4分]
中任意个元素之和一定不小于．
所以一定不是集合的“相关数”．[6分]
所以当时，一定不是集合的“相关数”．[7分]
因此若为集合的“相关数”，必有．
即若为集合的“相关数”，必有．[8分]
（Ⅲ）由（Ⅱ）得．
先将集合的元素分成如下组
．
对的任意一个含有个元素的子集，必有三组同属于集合．
[10分]
再将集合的元素剔除和后，分成如下组
．
对于的任意一个含有个元素的子集，必有一组属于集合．[11分]
这一组与上述三组中至少一组无相同元素，
不妨设与无相同元素．
此时这个元素之和为．[12分]
所以集合的“相关数”的最小值为．[13分]
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