（8）已知两条直线
，其中a为实数。
当这两条直线的夹角在
内变动时，a的取值范围是
（A）（0，1） （B）
（C）
（D）
（9）一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，这个圆柱的全面积与侧面积的比是
（A）
（B）
（C）
（D）
（10）过原点的直线与圆
相切，若切点在第三象限，则该直线的方程是
（A）
（B）
（C）
（D）
（11）过抛物线
（a>0）的焦点F作一直线交抛物线于P、Q两点，若线段PF与FQ的长分别是p、q，则
等于
（A）2a （B）
（C）4a （D）
（12）如图，OA是圆锥底面中心O到母线的垂线，OA绕轴旋转一周所得曲面将圆锥分成体积相等的两部分，则母线与轴的夹角为
（A）
（B）
（C）
（D）
2000年普通高等学校招生全国统一考试
数学（文史类）
第II卷（非选择题共90分）
注意事项：
1．第II卷共6页，用钢笔或圆珠笔直接答在试题卷中。
2．答卷前将密封线内的项目填写清楚。
题号
二
三
总分
17
18
19
20
21
22
分数
二、填空题：
本大题共4小题，每小题4分，共16分。
把答案填在题中横线上。
（13）乒乓球队的10名队员中有3名主力队员，派5名参加比赛，3名主力队员要安排在第一、第三、五位置，其余7名队员选2名安排在第二、四位置，那么不同的出场安排共有_________种（用数字作答）
（14）椭圆
的焦点为
，点P为其上的动点。
当
为钝角时，点P横坐标的取值范围是__________________。
（15）设
是首项为1的正项数列，且
（n=1，2，3…），则它的通项公式是
=_________。
（16）如图，E、F分别为正方体的面
、面
的中心，则四边形
在该正方体的面上的射影可能是__________________。
（要求：
把可能的图的序号
填上）
三、解答题：
本大题共16小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17（本小题满分12分）
已知函数
（I）当函数y取得最大值时，求自变量x的集合；
（II）该函数的图象可由y=sinx（x∈R）的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到？
（18）（本小题满分12分）
设
为等差数列，
为数列
的前n项和，已知
，
为数列
的前n项和，求
。
（19）（本小题满分12分）
如图，已知平行六面体
的底面ABCD是菱形，且
（I）证明：
；
（II）当
的值为多少时，能使
？
请给出证明。
（20）（本小题满分12分）
设函数
，其中a>0。
（I）解不等式f（x）≤1；
（II）证明：
当a≥0时，函数f（x）在区间[0，+∞）上是单调函数。
（21）（本小题满分12分）
某蔬菜基地种植西红柿，由历年市场行情得知，从二月一日起的300天内，西红柿市场售价与上市时间的关系用图一的一条折线表示；西红柿的种植成本与上市时间的关系用图二的抛物线段表示。
（I）写出图一表示的市场售价与时间的函数关系P=f（t）；
写出图二表求援种植成本与时间的函数关系式Q=g（t）；
（II）认定市场售价减去种植成本为纯收益，问何时上市的西红柿纯收益最大？
（注：
市场售价和种植成本的单位：
，时间单位：
天）
（22）（本小题满分14分）
如图，已知梯形ABCD中|AB|=2|CD|，点E分有向线段
所成的比为
，双曲线过C、D、E三点，且以A、B为焦点。
求双曲线的离心率。
2000年普通高等学校招生全国统一考试
数学试题（文史类）参考解答及评分标准
说明：
一、本解答指出了每题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则。
二、对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分。
三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数。
四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分。
一、选择题：
本题考查基本知识和基本运算，每小题5分，满分60分。
（1）C
（2）B （3）D （4）D （5）D （6）C
（7）B （8）C （9）A （10）C （11）C （12）D
二、填空题：
本题考查基本知识和基本运算，每小题4分，满分60分。
（13）252 （14）
（15）
（16）②③
三、解答题
（17）本小题主要考查三角函数的图象和性质，考查利用三角公式进行恒等变形的技能以及运算能力。
满分12分。
解：
（I）
……………………3分
y取得最大值必须且只需
即
所以，当函数y取得最大值时，自变量x的集合为
……………………6分
（II）变换的步骤是：
（1）把函数y=sinx的图象向左平移
，得到函数
的图象；…………9分
（2）令所得到的图象上各点横坐标不变，把纵坐标伸长到原来的2倍，得到函数
的图象；
经过这样的变换就得到函数
的图象。
……………12分
（18）本小题主要考查等差数列的基础知识和基本技能，运算能力，满分12分。
解：
设等差数列
的公差为d，则
……………………6分
即
解得
，d=1 ………………………8分
∴数列
是等差数列，其首项为-2，公差为
……………………12分
（19）本小题主要考查直线与直线、直线与平面的关系，逻辑推理能力，满分12分。
（I）证明：
连结
、AC，AC和BD交于O，连结
∵四边形ABCD是菱形
∴AC⊥BD，BC=CD
又
∵DO=OB
…………………3分
但AC⊥BD，
又
……………………6分
（II）当
时，能使
证明一：
∵
又
由此可推得
∴三棱锥
是正三棱锥。
……………………9分
设
相交于G.
又
是正三角形
的BD边上的高和中线,
∴点G是正三角形
的中心。
即
。
……………………12分
证明二：
由（I）知，
。
……………………9分
当
时，平行六面体的六个面是全等的菱形。
同
的证法可得
又
……………………12分
（20）本小题主要考查不等式的解法、函数的单调性等基本知识，分数计论的数学思想方法和运算、推理能力。
满分12分。
解：
（I）不等式f（x）≤1即
，
由此得1≤1+ax，即ax≥0，其中常数a>0
所以，原不等式等价于
即
……………………3分
所以，当0；
当a≥1时，所给不等式的解集为{x|x≥0} ……………………6分
（II）证明：
在区间[0，+∞）上任取
，使得
……………………9分
，且a≥1
又
即
所以，当a≥1时，函数f（x）在区间[0，+∞）上是单调递减函数。
……………………12分
（21）本小题主要考查由函数图象建立函数关系式和求函数最大值的问题，考查运用所学知识解决实际问题的能力，满分12分。
解：
（I）由图一可得市场售价与时间的函数关系为
……………………2分
由图二可得种植成本与时间的函数关系为
……………………4分
（II）设t时刻的纯收益为h（t），则由题意得
h（t）=f（t）-g（t）
即
……………………6分
当0≤t≤200时，配方整理得
所以，当t=50时，h（t）取得区间[0，200]上的最大值100；
当200
所以，当t=300时，h（t）取得区间[200，300]上的最大值87.5。
……………………10分
综上，由100>87.5可知，h（t）在区间[0，300]上可以取得最大值100，此时t=50，即从二月一日开始的第50天时，上市的西红柿纯收益最大。
……………………12分
（22）本小题主要考查坐标法、定比分点坐标公式、双曲线的概念和性质，推理、运算能力和综合应用数学知识解决问题的能力，满分14分。
解：
如图，以AB的垂直平分线为y轴，直线AB为x轴，建立直角坐标系xOy，则CD⊥y轴。
因为双曲线经过点C、D，且以A、B为焦点，由双曲线的对称性知C、D关于x轴对称。
………………2分
依题意，记A（-c，0），
，B（c,0），其中c为双曲线的半焦距，
，h是梯形的高。
由定比分点坐标公式，得点E的坐标为
。
设双曲线的方程为
，则离心率
。
由点C、E在双曲线上，得
……………………10分
由①式得
代入②式得
所以，离心率
……………………14分
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