典型的中拖尾噪声一高斯分布噪声：
1n2
f（n）=i——expf-）
cj2a
典型的长拖尾噪声一双指数分布噪声：
1|«|
>0（1-1-3）
/（«）=——expf^）^
2AX
根据对图像信号的污染方式可分为加性噪声、脉冲噪声和乘性噪声受加性噪声污染图像的退化模型为：
=x（i9j）+n（i,j）（1-1-4）
受脉冲噪声污染图像的退化模型为：
n（i，j）概率为Px（i，j）概率为1-尸
受乘性噪声污染图像的退化模型为：
（hj）=x（i9j）+f（x（i9j））xn（i9j）（1-1-6）
其中xn（i，j）为噪声污染图像信号，x（i，j）为图像原始信号，n（⑶为噪声，P为脉冲噪声的概率。
对于同时受高斯噪声和脉冲噪声污染的图像的退化模型可由下式表示：
尸…概率为
xn（i9j）={rmin概率为Pl（1-1-7）
x（iyj）+n（i9j）概率为i-p'-p2
其中，x（ij）为原始图像，n（i，j）为高斯噪声，rmax和rmin为图像动态范围的最大和最小灰度值，分别表示正、负脉冲，其出现的概率分别为Pi和P2。
1.2国内外发展现状
小波变换的概念是由法国从事石油信号处理的工程师J.Morlet在1974年首先提出的，通过物理的直观和信号处理的实际需要经验的建立了反演公式，当时未能得到数学家的认可。
幸运的是，早在七十年代，A.Caldemn表示定理的发现、Hardy空间的原子分解和无条件基的深入研究为小波变换的诞生做了理论上的准备，而且J.O.Stmmberg还构造了历史上非常类似于现在的小波基;1986年著名数学家Y.Meyer偶然构造出一个真正的小波基，并与S.Mailat合作建立了构造小波基的同样方法及其多尺度分析之后，小波分析才开始蓬勃发展起来，其中比利时女数学家I.Daubechies撰写的《小波十讲（TenLecturesonWavelets）》对小波的普及起了重要的推动作用。
它与Fourier变换、窗口Fourier变换相比，这是一个时间和频率的局域变换，因而能有效的从信号中提取信息，通过伸缩和平移等运算功能对函数或信号进行多尺度细化分（Multiscale-Analysis），解决了Fourier变换不能解决的许多困难问题，从而小波变换被誉为“数学显微镜”，它是调和分析发展史上里程碑式的进展。
1.3系统实现概述
本系统主要实现利用小波对数字图像进行去除噪声。
首先导入原始图片，然后利用加噪算法为初始图像加入随机噪声，最后利用本系统的核心算法——小波
去噪算法实现图像噪声的去除。
本系统的实现分为读取图像，加入图像噪声，去除噪声等部分。
系统流程如图1所示
丌始
1
f
唉入待处理的BMP位阁文件
1
f
加入随机噪声
1
f
估算阈值
i
1
r
小波变换
Yes
图1-1系统流程图
1.3.1读取图像模块
读写BMP图像文件可以用MATLAB中imreadCleim512.bmp》指令来实现，并且把图片放入matlab里面的work文件夹中，但是其得到的数据不便于后面小波去噪的相关处理，所以本系统重新用double来转换。
这样就易于后面小波去噪的处理。
在这里我们采用lena512.Bmp。
1.3.2加噪模块
从内存中取得lena512.BMP图像的各点像素值，然后利用随机函数（mndn）产生随机数,为各点的像素值加上加入一个随机数，最后将改动后的数据复制内。
1.3.3去噪模块
这里我们采用了3种去噪方法，对噪声图像进行硬阈值去噪，软阈值去噪和最佳软阈值去噪。
对原始图像用这三种去噪方法的主程序都一样，但去噪算法模块各不相同，效果也各不相同。
1.3.4图像重构
我们把在小波域中去噪后的数据，用MATLAB中idwt2函数进行重构，最后用imshow函数显示图像。
最后在读出psnr,mse值进行比较。
2.小波去噪理论
2.1小波去噪特点
小波具有低熵性、多分辨特性、去相关性和选基灵活性等特点，所以它在处理非平稳信号、去除图像信号噪声方面表现出了强有力的优越性。
由于测量获得的信号总是不可避免地含有噪声，在对信号使用前，有必要进行去噪处理，提高信噪比。
传统的去噪方法主要是釆用频谱分析技术，其等价于信号通过一个低通或带通滤波器。
在实际的工程应用中，环境激励下的固有振动信号其包络是随机信号，也就是说固有振动频率有随机的边带，多个不同固有振动频率的边带可能相互叠加，所以，传统线性滤波器不能解决问题。
而且所分析的信号可能包含许多尖峰或突变部分，并且噪声也不是平稳的白噪声。
对这种非平稳信号的降噪处理，用传统的方法显得无能为力.因为它不能给出信号在某个时间点上的变化情况。
小波（Wavelet）分析方法的特点是在低频部分具有较高的频率分辨率和较低的时间分辨率。
在高频部分具有较高的时间分辨率和较低的频率分辨率。
很适于探测正常信号中夹带的瞬态反常现象并展示其成分。
小波分析属于时频分析的一种，能够同时在时频域中对信号进行分析所以它能有效区分信号的突变部分和噪声。
从而实现信号的降噪。
小波分析方法的特点是在低频部分具有较高的频率分辨率和较低的时间分辨率.在高频部分具有较高的时间分辨率和较低的频率分辨率.很适于探测正常信号中夹带的瞬态反常现象并展示其成分。
小波分析（属于时频分析的一种）能够同时在时频域中对信号进行分析所以它能有效区分信号的突变部分和噪声。
从而实现信号的降噪，本文系统介绍了小波阈值去噪的三种阈值处理函数。
并在MATLAB7.1环境下进行仿真研究。
将去噪后的图像进行比较,得出阈值去噪方法的一些结论。
小波变换将信号与一个在时域和频域均有良好局部化性质的展缩小波函数进行卷积,是一种线性变换，它把信号分解为位于不同频带和时段内的各个成分。
基于小波理论的时频表示的基本思想是:
认为自然界各种信号中频率高低不同的
分量具有不同的时变特性，通常是较低频率成分的频谱特征随时间的变化比较缓慢，而较高频率成分的频谱特征则变化比较迅速。
因此，按这样的规律非均匀地划分时间和频率轴，就可以在服从测不准原理的前提下，在不同的时频区域都能获得比较合适的时间分辨率和频率分辨率。
在小波变换中，变换核是既能提供频域投影，又能提供窗口作用的一类函数。
2.2小波变换原理
小波变换将信号与一个在时域和频域均有良好局部化性质的展缩小波函数进行卷积。
是一种线性变换,它把信号分解为位于不同频带和时段内的各个成分。
基于小波理论的时频表示的基本思想是:
认为自然界各种信号中频率高低不同的分量具有不同的时变特性，通常是较低频率成分的频谱特征随时间的变化比较缓慢，而较高频率成分的频谱特征则变化比较迅速。
因此，按这样的规律非均匀地划分时间和频率轴，就可以在服从测不准原理的前提下，在不同的时频区域都能获得比较合适的时间分辨率和频率分辨率。
在小波变换中，变换核是既能提供频域投影，又能提供窗口作用的一类函数。
根据要求，生成小波基的函数应该满足以下条件：
（1）本身是紧支撑的，即只有小的局部非零定义域，在窗口之外函数为零。
（2）本身是振荡的，具有波的性质，并且完全不含直流趋势成分，即：
A^八
\j/（w）=J'F（（）iw=0vj/（0）=0（2-2-1）
-oo
式中vp（w）是函数l|J⑴的傅里叶变换，该条件对于逆变换成立是必要的，所以称为容许条件。
⑶包含尺度（伸缩）参数a（a>0）以及平移参数b。
1t-b^、
xpah（t）=-j=Wf——，（a>0，bER）（2-2-2）
yjaa
此式即为小波函数的时间窗形式，其傅里叶变换X}/（W）为频率窗。
小波变换和逆变换的公式如下：
wf、a,b）=/（O'P（2-2-3）
/（0=\J~2WJj、dadb（2-2-4）
上式中，b为平移因子，决定了小波变换的时空域信息。
a为尺度因子，a增大时，表示以伸展了的y（t）波形去观察整个办）；当a减小时，表示以压缩的^⑴波形去衡量局部f（t）。
'F（t）为基本小波，作为基本小波，v（t）必须是在时域上以t=0为中心的实的或复的带通函数，也就是随时间振荡的一段小波，小波名称也由此而来。
可以被看作是变带宽的带通滤波器，根据小波变换的性质可得，带通滤波器的带宽厶f正比于中心频率f，SP-A^c因此通过小波变换，我们就可以在分析信号的低频成分时，使用较低的频率分辨率；而在分析信号的高频成分时，使用较高的频率分辨率.从而弥补了傅里叶变换和短时傅里叶变换的不足。
小波函数的离散形式如下：
=（2-2-6）上式中，％>1人>0,nyiEZ常取％=2,bo=l,称为二进制小波函数。
离散小波变换公式是：
w（m,w）=a0'm2{fmn（t）^（a0~mt-nbQ）（2-2-7）
JJ—009
2.3小波去噪原理
一般地，有用信号通常表现为低频信号或是一些比较平稳的信号，而噪声信号则通常表现为高频信号。
所以降噪过程主要进行以下处理：
首先对原始信号进行小波分解，则噪声部分通常包含在高频系数中；然后对小波分解的高频系数以门限阈值等形式进行量化处理：
最后再对信号重构即可达到降噪的目的。
设一个含噪声的信号的模型可以表示成如下形式【6】：
〜，*=xj,k+几zi（W，1，……n-1）（2-3-1）
其中，&是一个标准的高斯白噪声，A是噪声级，n是信号长度。
若要从被噪声污染的信号〜，,中恢复出原始信号,则基于小波分析的去噪方法分为以下3个步骤：
（1）计算含噪声信号的正交小波变换。
选择合适的小波和小波分解层数，将含噪信号进行小波分解，得到相应的小波分解系数，包括低频系数和高频系数。
（2）对分解得到的小波系数进行阈值处理。
选择适当的阈值对每一层小波系数进行量处理。
（3）进行小波逆变换。
将经阈值处理过的小波系数重构，得到恢复的原始信号估计值。
在这3个步骤中，最关键的就是如何选取阈值和如何进行阈值的量化处理。
从某种程度上说，它直接关系到信号的质量。
2.4阈值函数
阈值函数法（又称小波阈值去噪法）是目前研究和应用比较广泛的去噪方法之一。
Dcmoho等，己经证明:
小波阈值去噪法的效果明显优于其它经典的去噪方法。
阈值函数法主要是基于在小波高频子空间中，比较大的小波系数一般都是以实际信号为主，而比较小的小波系数则很大程度上都是由噪声产生，因此可通过设定合适的阈值，首先将小于阈值的系数置为零，而保留大于阈值的小波系数，再通过一个阈值函数映射，得到估计系数，最后对估计系数进行逆小波变换，就可以得到去噪后的信号重建。
但噪声水平比较高时，容易将原信号的高频部分模糊掉.在这里如何对小波系数进行筛选是阈值函数法的关键步骤.小波系数的筛选又主要依赖于阈值函数和阈值的选择。
下面的几种阈值函数体现了对小波系数处理的几种不同方式。
Wy为含噪信号小波变换后的小波系数，A为阈值，二m为经阈值函数处理后的小波系数估计
2.4.1阈值函数（hard-thresholding）
此仅保留绝对值大于阈值x的小波系数，并且保留的小波系数与原始系数相同.用式子表示为
2.4.2软阈值函数（sofl-thresholding）
绝对值小于阈值A的小波系数用0代替;绝对值大于阈值A的小波系数用;I来缩减.用式子表示为
以上两种阈值函数在实际中得到广泛应用，也取得了良好的效果，但它们也存在固有的缺点。
比如：
在硬阈值函数中^”在;I处是不连续的，利用吣，,重构的信号可能会产生一些震荡。
而由软阈值函数得到的估计值；M的整体连续性
好，但是当|wp|u时，二4和〜总存在恒定的偏差，直接影响重构信号与真
实信号的逼近程度.基于以上考虑，有学者对以上阈值函数作了改进，提出了几种介于硬阈值函数与软阈值函数之间的阈值函数.
2.4.3最佳软阈值（bestsoft-thresholding）
其定义为
（2-3-4）
{sgn（
0
这里OSaSl,是一待定参数，显然，当a=0或a=l时，由式（4）给出的一般化软门限去噪就分别变成了通常的硬门限和软门限去噪。
下一步，就是要根据最小均方误差准则确定a的值，以便得到信号的最佳估计【2】。
利用式（2-3-1）,我们可以把式（2-3-4）重新写成：
一A[zf-Sg_M）fl]，|w」>A
={II,（2-3-5）
由此得到
A
E[0M-…，*）2]
=£：
[xLMhA]+42]哪（wm）
=sgn（〜），[|wM|>A]+A2£[（|zJ+a）2]sgn（wJJc）^sgn（z.）,>A]（2-3-5）
为了求出a的最佳值，可以令
呵（U，人o可以推出
8A
a=（£：
[|z.|sgn（wjk）=sgn（），|wy）|>A]-[[卜」sgn（wJk）^sgn（〜），|wM|>/I]）/（P++P_）
（2-3-6）
其中
P+=Pr{sgn（wJk）=sgn（^）,|wy>X）（2-3-7）
P-=Pr{sgn（wJk）本sgn（\），|w;t|>A}（2-3-8）
因此，当概率分布z,.和〜为己知时，通过以上公式及数值计算的方法，就可以求出最佳的a值。
在实际应用中，为了给出a的一个近似结果，我们可以假设
E[|〜|sgn（wjk）本sgn（zf），|wM|>/I]«五#:
—1]/>_（2-3-9）
f[|\|sgn（wJfk）=sgn（zf），|wM|>A]«^[IzJ]/^（2-3-10）
这样，就得到了a的一个近似表达式
a«E[\z.\]P+~P~（2-3-11）
'+尸_
下面就讨论在不同的噪声情况下，a的具体取，
情形1噪声分布\=±1&Pr{\=l}=Pr{^=-l}=l/2,即噪声以等概率取1和-1两个值，此时:
E[|z,|]=l〈故由式（2-3-8）可以得到\（2-3-12）
尸++P-
情形2噪声项〜为区间[-1，1]上的均匀分布，此时E[|z,.|]=1/2〈由式（2-3-8）可以得
到=（2-3-13）
2p++p_
情形3噪声项&为均值是零，方差是1的正态分布，此时E[|z」卜0.6774，利用式（3-2-8）,我们有a3=0.6774一^=-
尸++P_
（2-3-14）为了对式（2-3-9）进一步简化，我们讨论'的取值，实际上，由式（2-3-1）可以得到sgr^H^^sgnh）,且的必要条件为|xM|>/I,它表明
P_=Pr{sgn（sgn（'），|wy41>A}A}（2-3-14）
考虑到信号边缘处的能量比较集中，故仅仅有极少的小波系数的幅度超过门限A，故Pr{|：
c^J>5}=£«lo从而根据上式可以假定p~0,把该值代入式
（2-3-12）,（2-3-13）和（2-3-14）就得到fll=l，fl2=1/2及^=0.6774。
这一结果表明软门
限方法只是在噪声为二值分布时，可以给出最好的结果，而对Gauss白噪声，当式（2-3-4）中的a=0.6774时，才会给出信号的最佳估计。
2.5阈值的选择
阈值的选择在阈值滤波中是最关键的，目前使用的闭值可以分为全局阈值和局部阈值两种，其中全局阈值对各层所有的小波系数或同一层内的小波系数都是统一的而局部阈值是根据当前系数周围的局部情况来确定阈值⑴。
2.5.1全局阈值
目前提出的全局阈值主要有以下几种：
⑴Donoho和Johnstone统一阈值：
s扣n（N）其中^为噪声标准方差，N为
信号的尺寸或
升级会员 