小波去噪.docx

1、小波去噪LJUOOUPOPMMM数字图像阈值去噪算法研究与实现摘 要我们在现实生活中得到的图像都存在噪声，所以需要图像的去噪。图像去噪 的目的是在满足最小均方误差准则的条件下，将原始图像从观测到的含噪图像中 还原出来。近年来，在小波变换域实现信号的滤波引起了人们的极大重视，一些 滤波方法也相继被提出。传统的小波阈值去噪可分为硬阈值去噪和软阈值去噪， 而在其去噪过程中，硬阈值函数在一些不连续点处有时会产生伪吉布斯现象；软 阈值函数中估计的小波系数与信号的小波信号之间存在恒定偏差。为了去除这些 现象，采用最佳软阈值进行图像处理。实验结果表明，虽然硬阈值去噪方法的性 噪比和均方差也比较小，但是对图像

2、的细节方便保护的不好。而最佳软阈值函数 消噪后的视觉特性较好，并且信噪比提高，均方根误差有所降低。总体而言，最 佳软阈值去噪方法结合了硬阈值和软阈值的优点。关键词小波变换；阈值消噪；门限规则STUDY AND IMPLEMENTATION OF DIGITAL IMAGE THRESHOLD DENOISING ALGORITHMABSTRACTWe have inages with the image noise in real life, so it is necessary to image denoising. The aim of image denoising is to reco

3、ver the original uncorrupted images from noisy ones based on MMSE. In recent years, filtering in wavelet domain became an important research field. Also，some new methods were developed. The traditional method of threshold in denoising has two kinds of ways, one of them is hard thresholding and the o

4、ther is soft thresholding. In some cases, such as on the discontinuities points, the Gibbs phenomenon will exhibit when we use hard thresholding function to remove noise of signals and soft thresholding method also has disadvantages. In order to remove the shortings, we use the best soft thresholdin

5、g function(the best soft thresholding method ). The experimental results show that, although psnr and mse of the hard thresholding denoising are relatively small，but the protection of the details of the image is poor.The vision of denoising is better and the RMSE of sign al has been decreased a lot

6、while the SNR has been increased.Overall, the best soft thresholding denoising method combines hard threshold and soft threshold advantages.Key words wavelet transform； thresholding denoising； method of threshold由荀 IABSTRACT II目丨J 11.图像去噪背 景 21.1图像噪声 21.2国内外发展现状 31.3系统实现概述 31.3. 1读取图像模块 41.3. 2加噪模块

7、41.3.4图像重构 52.小波去噪理 论 52.1小波去噪特点 52.2小波变换原理 62. 3小波去噪原理 72. 4阈值函数 82.4. 1 阈值函数(hard-thresholding) 82. 4. 2 软阈值函数(soft-thresholding) 82. 4. 3 最佳软阈值（best soft-thresholding) 92.5阈值的选择 112. 5. 1全局阈值 112. 5. 2局部阈值 123.图像去噪的实 现 123.1小波分解 123. 2硬阈值去噪 133. 3软阈值去噪 133. 4最佳软阈值去噪 133. 5三种去噪算法的比较 13参考文献 17縣 18U

8、UOOUPOPMMMoz繼近年来，小波理论得到了迅速发展，而且由于小波具有低熵性、多分辨特性、 去相关性和选基灵活性等特点，所以它在处理非平稳信号、去除图像信号噪声方 面表现出了强有力的优越性。由于测量获得的信号总是不可避免地含有噪声.在 对信号使用前，有必要进行去噪处理，提高信噪比。传统的去噪方法主要是采用 频谱分析技术，其等价于信号通过一个低通或带通滤波器。在工程应用中，环境 激励下的固有振动信号其包络是随机信号，也就是说固有振动频率有随机的边 带，多个不同固有振动频率的边带可能相互叠加，所以，传统线性滤波器不能解 决问题。而且所分析的信号可能包含许多尖峰或突变部分，并且噪声也不是平稳 的

9、白噪声。对这种非平稳信号的降噪处理，用传统的方法显得无能为力.因为它 不能给出信号在某个时间点上的变化情况。小波(Wavelet)分析方法的特点是在低 频部分具有较高的频率分辨率和较低的时间分辨率.在高频部分具有较高的时间 分辨率和较低的频率分辨率.很适于探测正常信号中夹带的瞬态反常现象并展示 其成分。小波分析属于时频分析的一种，能够同时在时频域中对信号进行分析所 以它能有效区分信号的突变部分和噪声，从而实现信号的降噪。1.图像去噪背景1.1图像噪声图像信号在其形成、传输、变换以及终端处理中，经常会受到各种噪声的干 扰而降质。例如，图像传输过程中，受到强干扰时会产生脉冲噪声，在激光和超 声波图

10、像中常存在乘性盐椒噪声，而照明的不稳定、镜头灰尘以及非线性信道传 输引起的图像退化等都将产生不同种类的噪n】。噪声会对图像产生许多破坏效果，主要有以下两方面的影响：(1)影响主观视觉效果。受噪声污染的图像往往会变得视觉效果很差，严重 时甚至使得人眼难以辨别某些细节。人眼对图像噪声，尤其是图像平坦区的噪 声非常敏感。(2)使图像的中层(信息层)与高层(知识层)处理无法继续进行。噪声会降低图 像低层(数据层)处理的质量和精度。对有些处理过程来说，噪声往往会产生某种 局部二义性(localam biguities)。比如许多边缘检测算法在有噪声干扰的情况下会 出现大量的虚检和漏检，而使后续的目标提取

11、和识别无法进行。根据不同分类方 式可将噪声进行不同的分类。从噪声的概率分布情况来看，可分为短拖尾噪声、 中拖尾噪声和长拖尾噪声。下面给出几种常见的噪声分布形式的概率密度函数 f(n)。典型的短拖尾噪声-均匀分布噪声：| | 0 (1-1-3)/() =expf) 2A X根据对图像信号的污染方式可分为加性噪声、脉冲噪声和乘性噪声受加性噪声污 染图像的退化模型为：= x(i9j)+ n(i,j) (1-1-4)受脉冲噪声污染图像的退化模型为：n(i，j)概率为 P x(i，j)概率为1-尸受乘性噪声污染图像的退化模型为：(h j) = x(i9j)+ f(x(i9j)x n(i9j) (1-1-

12、6)其中xn(i，j)为噪声污染图像信号，x(i，j)为图像原始信号，n(为噪声，P为脉冲 噪声的概率。对于同时受高斯噪声和脉冲噪声污染的图像的退化模型可由下式表示：尸 概率为xn(i9j)= rmin 概率为 Pl (1-1-7)x(iyj)+ n(i9j)概率为 i - p - p2其中，x(ij)为原始图像，n(i，j)为高斯噪声，rmax和rmin为图像动态范围的最大和最 小灰度值，分别表示正、负脉冲，其出现的概率分别为Pi和P2。1.2国内外发展现状小波变换的概念是由法国从事石油信号处理的工程师J.Morlet在1974年首先 提出的，通过物理的直观和信号处理的实际需要经验的建立了反

13、演公式，当时未 能得到数学家的认可。幸运的是，早在七十年代，A.Caldemn表示定理的发现、 Hardy空间的原子分解和无条件基的深入研究为小波变换的诞生做了理论上的准 备，而且J.O.Stmmberg还构造了历史上非常类似于现在的小波基;1986年著名数学 家Y.Meyer偶然构造出一个真正的小波基，并与S.Mailat合作建立了构造小波基 的同样方法及其多尺度分析之后，小波分析才开始蓬勃发展起来，其中比利时女 数学家I.Daubechies撰写的小波十讲(Ten Lectures on Wavelets)对小波的普及 起了重要的推动作用。它与Fourier变换、窗口Fourier变换相比

14、，这是一个时间和 频率的局域变换，因而能有效的从信号中提取信息，通过伸缩和平移等运算功能 对函数或信号进行多尺度细化分(Multiscale-Analysis)，解决了Fourier变换不能解 决的许多困难问题，从而小波变换被誉为“数学显微镜”，它是调和分析发展史 上里程碑式的进展。1.3系统实现概述本系统主要实现利用小波对数字图像进行去除噪声。首先导入原始图片，然 后利用加噪算法为初始图像加入随机噪声，最后利用本系统的核心算法小波去噪算法实现图像噪声的去除。本系统的实现分为读取图像，加入图像噪声，去 除噪声等部分。系统流程如图1所示丌始1f唉入待处理的BMP 位阁文件1f加入随机噪声1f估算

15、阈值i1r小波变换Yes图1-1系统流程图1.3.1读取图像模块读写BMP图像文件可以用MATLAB中imreadCleim512.bmp指令来实现，并且把 图片放入matlab里面的work文件夹中，但是其得到的数据不便于后面小波去噪的 相关处理，所以本系统重新用double来转换。这样就易于后面小波去噪的处理。 在这里我们采用lena512.Bmp。1.3.2加噪模块从内存中取得lena512.BMP图像的各点像素值，然后利用随机函数（mndn) 产生随机数,为各点的像素值加上加入一个随机数，最后将改动后的数据复制内。1.3.3去噪模块这里我们采用了3种去噪方法，对噪声图像进行硬阈值去噪，

16、软阈值去噪和 最佳软阈值去噪。对原始图像用这三种去噪方法的主程序都一样，但去噪算法模 块各不相同，效果也各不相同。1.3.4图像重构我们把在小波域中去噪后的数据，用MATLAB中idwt2函数进行重构，最后 用imshow函数显示图像。最后在读出psnr, mse值进行比较。2.小波去噪理论2.1小波去噪特点小波具有低熵性、多分辨特性、去相关性和选基灵活性等特点，所以它在处 理非平稳信号、去除图像信号噪声方面表现出了强有力的优越性。由于测量获得 的信号总是不可避免地含有噪声，在对信号使用前，有必要进行去噪处理，提高 信噪比。传统的去噪方法主要是釆用频谱分析技术，其等价于信号通过一个低通 或带通

17、滤波器。在实际的工程应用中，环境激励下的固有振动信号其包络是随机 信号，也就是说固有振动频率有随机的边带，多个不同固有振动频率的边带可能 相互叠加，所以，传统线性滤波器不能解决问题。而且所分析的信号可能包含许 多尖峰或突变部分，并且噪声也不是平稳的白噪声。对这种非平稳信号的降噪处 理，用传统的方法显得无能为力.因为它不能给出信号在某个时间点上的变化情 况。小波(Wavelet)分析方法的特点是在低频部分具有较高的频率分辨率和较低的 时间分辨率。在高频部分具有较高的时间分辨率和较低的频率分辨率。很适于探 测正常信号中夹带的瞬态反常现象并展示其成分。小波分析属于时频分析的一 种，能够同时在时频域中

18、对信号进行分析所以它能有效区分信号的突变部分和噪 声。从而实现信号的降噪。小波分析方法的特点是在低频部分具有较高的频率分 辨率和较低的时间分辨率.在高频部分具有较高的时间分辨率和较低的频率分辨 率.很适于探测正常信号中夹带的瞬态反常现象并展示其成分。小波分析（属于 时频分析的一种）能够同时在时频域中对信号进行分析所以它能有效区分信号的 突变部分和噪声。从而实现信号的降噪，本文系统介绍了小波阈值去噪的三种阈 值处理函数。并在MATLAB7.1环境下进行仿真研究。将去噪后的图像进行比较, 得出阈值去噪方法的一些结论。小波变换将信号与一个在时域和频域均有良好局部化性质的展缩小波函数 进行卷积,是一种

19、线性变换，它把信号分解为位于不同频带和时段内的各个成分。 基于小波理论的时频表示的基本思想是:认为自然界各种信号中频率高低不同的分量具有不同的时变特性，通常是较低频率成分的频谱特征随时间的变化比较缓 慢，而较高频率成分的频谱特征则变化比较迅速。因此，按这样的规律非均匀地 划分时间和频率轴，就可以在服从测不准原理的前提下，在不同的时频区域都能 获得比较合适的时间分辨率和频率分辨率。在小波变换中，变换核是既能提供频 域投影，又能提供窗口作用的一类函数。2.2小波变换原理小波变换将信号与一个在时域和频域均有良好局部化性质的展缩小波函数 进行卷积。是一种线性变换,它把信号分解为位于不同频带和时段内的各

20、个成分。 基于小波理论的时频表示的基本思想是:认为自然界各种信号中频率高低不同的 分量具有不同的时变特性，通常是较低频率成分的频谱特征随时间的变化比较缓 慢，而较高频率成分的频谱特征则变化比较迅速。因此，按这样的规律非均匀地 划分时间和频率轴，就可以在服从测不准原理的前提下，在不同的时频区域都能 获得比较合适的时间分辨率和频率分辨率。在小波变换中，变换核是既能提供频域投影，又能提供窗口作用的一类函数。 根据要求，生成小波基的函数应该满足以下条件：(1)本身是紧支撑的，即只有小的局部非零定义域，在窗口之外函数为零。(2)本身是振荡的，具有波的性质，并且完全不含直流趋势成分，即：A 八j/ (w

21、)= J F ( )i w=0 vj/ (0) = 0 (2-2-1)-oo式中vp (w)是函数l|J的傅里叶变换，该条件对于逆变换成立是必要的，所以 称为容许条件。包含尺度(伸缩)参数a(a0)以及平移参数b。1 t - b 、xp ah(t )= -j=W f，(a0，bER) (2-2-2)yja a此式即为小波函数的时间窗形式，其傅里叶变换X/ (W)为频率窗。小波变换和 逆变换的公式如下：w f、a,b) = /(OP (2-2-3)/(0 = J 2W Jj、dadb (2-2-4)上式中，b为平移因子，决定了小波变换的时空域信息。a为尺度因子，a 增大时，表示以伸展了的y (t

22、)波形去观察整个办)；当a减小时，表示以压缩的 波形去衡量局部f(t)。F (t)为基本小波，作为基本小波，v (t )必须是在时域上以t=0为中心的实 的或复的带通函数，也就是随时间振荡的一段小波，小波名称也由此而来。 可以被看作是变带宽的带通滤波器，根据小波变换的性质可得，带通滤波器的带 宽厶f正比于中心频率f，SP-Ac因此通过小波变换，我们就可以在分析信号 的低频成分时，使用较低的频率分辨率；而在分析信号的高频成分时，使用较高 的频率分辨率.从而弥补了傅里叶变换和短时傅里叶变换的不足。小波函数的离 散形式如下：= （2-2-6) 上式中，1人0, nyiEZ常取=2, bo=l,称为二

23、进制小波函数。离散小 波变换公式是：w (m,w) = a0m 2 fm n(t) (a0mt - nb Q) (2-2-7)J J00 92.3小波去噪原理一般地，有用信号通常表现为低频信号或是一些比较平稳的信号，而噪声信 号则通常表现为高频信号。所以降噪过程主要进行以下处理：首先对原始信号进 行小波分解，则噪声部分通常包含在高频系数中；然后对小波分解的高频系数以 门限阈值等形式进行量化处理：最后再对信号重构即可达到降噪的目的。设一个含噪声的信号的模型可以表示成如下形式【6】：，* = xj,k + 几 zi (W，1，n-1) (2-3-1)其中，&是一个标准的高斯白噪声，A是噪声级，n是

24、信号长度。若要从被噪声 污染的信号，,中恢复出原始信号,则基于小波分析的去噪方法分为以下3个 步骤：(1)计算含噪声信号的正交小波变换。选择合适的小波和小波分解层数，将 含噪信号进行小波分解，得到相应的小波分解系数，包括低频系数和高频系数。(2)对分解得到的小波系数进行阈值处理。选择适当的阈值对每一层小波系 数进行量处理。(3)进行小波逆变换。将经阈值处理过的小波系数重构，得到恢复的原始信号 估计值。在这3个步骤中，最关键的就是如何选取阈值和如何进行阈值的量化处理。 从某种程度上说，它直接关系到信号的质量。2.4阈值函数阈值函数法(又称小波阈值去噪法)是目前研究和应用比较广泛的去噪方法之 一。

25、Dcmoho等，己经证明:小波阈值去噪法的效果明显优于其它经典的去噪方法。阈值函数法主要是基于在小波高频子空间中，比较大的小波系数一般都是以 实际信号为主，而比较小的小波系数则很大程度上都是由噪声产生，因此可通过 设定合适的阈值，首先将小于阈值的系数置为零，而保留大于阈值的小波系数， 再通过一个阈值函数映射，得到估计系数，最后对估计系数进行逆小波变换，就 可以得到去噪后的信号重建。但噪声水平比较高时，容易将原信号的高频部分模 糊掉.在这里如何对小波系数进行筛选是阈值函数法的关键步骤.小波系数的筛选 又主要依赖于阈值函数和阈值的选择。下面的几种阈值函数体现了对小波系数处理的几种不同方式。Wy为含

26、噪信 号小波变换后的小波系数，A为阈值，二m为经阈值函数处理后的小波系数估计2.4.1阈值函数(hard-thresholding)此仅保留绝对值大于阈值x的小波系数，并且保留的小波系数与原始系数相 同.用式子表示为2.4.2软阈值函数(sofl-thresholding)绝对值小于阈值A的小波系数用0代替;绝对值大于阈值A的小波系数用;I来 缩减.用式子表示为以上两种阈值函数在实际中得到广泛应用，也取得了良好的效果，但它们也 存在固有的缺点。比如：在硬阈值函数中”在;I处是不连续的，利用吣，,重 构的信号可能会产生一些震荡。而由软阈值函数得到的估计值；M的整体连续性好，但是当|wp|u时，二

27、4和总存在恒定的偏差，直接影响重构信号与真实信号的逼近程度.基于以上考虑，有学者对以上阈值函数作了改进，提出了几 种介于硬阈值函数与软阈值函数之间的阈值函数.2.4.3 最佳软阈值（best soft-thresholding)其定义为(2-3-4)sgn(0这里OSaSl,是一待定参数，显然，当a=0或a=l时，由式(4)给出的一般化 软门限去噪就分别变成了通常的硬门限和软门限去噪。下一步，就是要根据最小 均方误差准则确定a的值，以便得到信号的最佳估计【2】。利用式(2-3-1),我们可以把式(2-3-4)重新写成：一 Azf-Sg_M)fl，|w A= I I , (2-3-5)由此得到A

28、E0M -，*)2 =：xLMh A+42哪（wm)= sgn()，|wM| A+A2(|zJ+a)2sgn( wJJc) sgn( z.), A (2-3-5)为了求出a的最佳值，可以令呵(U，人o可以推出8Aa= (：|z.|sgn( wj k) = sgn( )，|wy)| A -卜sgn( wJk) sgn()，|wM| /I )/(P+ P_)(2-3-6)其中P+ = Prsgn( wJ k) = sgn( ), |wy X) (2-3-7)P- = Prsgn( wJ k)本 sgn( )，|w; t| A (2-3-8)因此，当概率分布z,.和为己知时，通过以上公式及数值计算的

29、方法，就可以 求出最佳的a值。在实际应用中，为了给出a的一个近似结果，我们可以假设E|sgn( wj k)本 sgn( zf)，|wM| /I 五#:1/_ (2-3-9)f|sgn( wJfk) = sgn( zf)，|wM| A IzJ/ (2-3-10)这样，就得到了a的一个近似表达式a Ez. P+P (2-3-11) +尸_下面就讨论在不同的噪声情况下，a的具体取，情形1噪声分布 = 1 &Pr=l=Pr=-l=l/2,即噪声以等概率取1和-1 两个值，此时:E|z,|=l故由式(2-3-8)可以得到 (2-3-12)尸+ + P-情形2噪声项为区间-1，1上的均匀分布，此时E|z,

30、.| =1/2由式(2-3-8)可以得到 = (2-3-13)2p+ + p_情形3噪声项&为均值是零，方差是1的正态分布，此时E|z卜0.6774，利用 式(3-2-8),我们有 a3 = 0.6774 一=-尸+ + P_(2-3-14)为了对式(2-3-9)进一步简化，我们讨论的取值，实际上，由式(2-3-1) 可以得到sgrHsgnh),且的必要条件为|xM| /I ,它表明P_ = Prsgn( sgn( )，|wy 41 A A (2-3-14)考虑到信号边缘处的能量比较集中，故仅仅有极少的小波系数的幅度超过门限 A，故Pr|：cJ5 = lo从而根据上式可以假定p0,把该值代入式

31、(2-3-12), (2-3-13)和(2-3-14)就得到fll=l，fl2 =1/2 及=0.6774。这一结果表明软门限方法只是在噪声为二值分布时，可以给出最好的结果，而对Gauss白噪声，当 式(2-3-4)中的a=0.6774时，才会给出信号的最佳估计。2.5阈值的选择阈值的选择在阈值滤波中是最关键的，目前使用的闭值可以分为全局阈值和 局部阈值两种，其中全局阈值对各层所有的小波系数或同一层内的小波系数都是 统一的而局部阈值是根据当前系数周围的局部情况来确定阈值。2.5.1全局阈值目前提出的全局阈值主要有以下几种：Donoho和Johnstone统一阈值：s 扣n(N)其中为噪声标准方差，N为信号的尺寸或