昆明理工大学线性代数考试试题集及答案.docx
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昆明理工大学线性代数考试试题集及答案
《线性代数B》2010～2011学年第
一学期课程试卷A
一、填空
1
1
1
1
2
3
4
5
12
.
1.
=
4
9
16
25
8
27
64
125
2．设A、B为4阶方阵，且|A
1
3B
81，则|AB|
1/2
.
|2,
3.
给定矩阵A，且A
E可逆,
满足AB
E
A2
B,则B
A
E
.
1
0
0
1
0
0
4．设A
011
，则
A
1
0
2
1
.
0
1
2
0
1
1
5．已知
1,
2,
3线性相关,
3
不能由
1,
2
线性表示，则
1,
2线性
相关
．
1
1
0
6．设1
2
2
t,
3
2，且
1,
2,
3线性相关，
则t
8
．
3
6
1
1
2
3
7.设A是4
3
矩阵,且R（A）
2，B
0
1
0
则R（AB）
__2___
3
1
2
．设三阶方阵
A
的每行元素之和均为零，
又
R（A）
2
，则齐次线性方程组
Ax
O的通解为
8
1
k
1（k
R）
.
1
1
3
0
1
9.
向量组
0
1
1
0
的一个最大线性无关组为
1
2
2
3
1
4
1
1
1
0
3
0
1,2,
4.
10.
设A为n阶方阵,
Ax
0
有非零解,则A必有一个特征值为
0.
二、单项选择
《线性代数B》课程试卷A解答第1页共9页
x
3
1
x
2
y
4z
2
1..若y
0
2
1,则
3
0
2
（A）
z
2
1
1
2
1
（A）1
；
（B）
2；
（C）
1；
（D）0.
2．设A,B,C均为二阶方阵，
AB
AC
，则当（C）时，可以推出B
C．
1
0
1
1
0
1
1
1
（A）A
;（B）A
0
;
（C）A
;
（D）A
.
1
0
0
1
0
1
1
3.下列结论正确的是（A）．
（A）
1,
2,
s线性无关的充要条件是其中任意一个向量都不是其余向量的线性组合
;
（B）
若向量
1,
2,
3线性相关，则
1,2线性相关；
（C）
若n阶方阵A与对角阵相似，则
A有n个不同的特征值;
（D）
若方程组Ax
O有非零解，则
Ax
b有无穷多解.
1
4
4.已知
3是四元方程组Ax
2
，2
4
1,2
b的三个解，其中
R（A）
3,
1
3
3
，
4
4
4
则以下不是方程组
Ax
b的通解为（D）.
2
1
1
1
1
2
3
1
0
2
;
0
2
0
2
;
（D）k
2
2
（A）k
2
3
（B）k
;
（C）k
2
1
.
1
3
1
3
4
4
2
4
2
2
0
4
5.设向量组
1,
2,
3线性无关，则下列向量组中线性无关的是（
B
）
（A）
1
2,
2
3,31;
（B）
1,
2,3
1
;
（C）
1,
2,21
32;
（D）
2,
3,22
3.
．若n阶矩阵
A,B
有共同的特征值，且各有
n个线性无关的特征向量，则（
A
）
6
（A）
A与B相似;
（B）AB，但|AB|0;
（C）
A
B;
（D）A与B不一定相似，但|A||B|.
《线性代数B》课程试卷A解答第2页共9页
7.设Ap11p1,Ap2
2p2,且1
2,则以下结论正确的是（
B）.
（A）p1
p2不一定是A的一个特征向量
;
（B）
p1
p2一定不是A的一个特征向量;
（C）p1
p2一定是A的一个特征向量;
（D）
p1
p2为零向量.
x1
x2
x4
1,
三、k为何值时,线性方程组
x1
2x2
x3
2x4
3,
有解，并在有解时求通解.
x1
x2
x3
x4
6,
x2
x4
k
1
1
0
1
1
1
1
0
1
1
解:
1
2
1
2
3
0
1
1
1
2
A
1
1
1
6
0
0
1
0
5
1
0
1
0
1
k
0
1
0
1
k
1
1
0
1
1
1
1
0
1
1
0
1
1
1
2
0
1
1
1
2
0
0
1
0
5
0
0
1
0
5
0
0
1
0
k2
000
0
k3
当k3
时，方程组有解，
1
0
0
0
4
0
1
0
1
3
A
0
1
0
，
0
5
0
0
0
0
0
x1
4
4
0
x2
3x4
，
（12分）
通解为X
3
k
1
x3
5
5
0
x4
x4
0
1
a
0
b
四、已知矩阵A0
1
0
的特征值之和为
1，特征值之积为
1．
b
0
0
（1）求a,b（b
0）的值；
（2）
求可逆矩阵P和对角阵
，使得P
1
.
AP
《线性代数B》课程试卷A解答第3页共9页
a
1
0
1
0
0
1
解
a
0,b
1.
A
0
1
0
2
1
b
1
0
0
0
1
E
A
0
1
0
（
2
1）
1,3
1.
1）（
1
2
1
0
1
0
1
1
0
1
0
1
当1
2
1时，E
A
0
0
0
0
0
0
p1
1
p2
0
1
0
1
0
0
0
0
1
1
0
1
1
0
1
1
当3
1时，EA
0
2
0
0
1
0
p3
0
1
0
1
0
0
0
1
0
1
1
1
取P1
0
0
1
1
有PAP
0
1
1
1
a1
1
a1
a1
五、计算
Dn
a2
a2
1
a2
.
an
an
an
1
1
1
1
n
a2
a2
1
a2
解D
r1
rn
ai
（
1）
i
1
an
an
an
1
c2
c1
1
0
0
n
a2
1
0
（
ai
1）
cn
i
1
c1
an
0
1
n
（
ai
1）（
1）n1
i
1
六、设
A为3阶矩阵，
1,
2为A的分别属于特征值
1,1
特征向量，向量
3满足
A32
3，
证明
（1）
1,
2,
3
线性无关；（）令
P
1,2,
3
，求
1
.
2
PAP
《线性代数B》课程试卷A解答第4页共9页
证明
k1
1
k22
k3
3
O
（1），
A（k11k2
2
k3
3）
O
即
k11
k2
2
k3（
2
3）
O
（2）
（2）-
（1）
2k1
1
k32
O
因为
1,
2线性无关，
k1
k3
0
代入
（1），得k2
2
O,
2
O,k20
1,2,
3线性无关
100
（2）P1AP011
001
《线性代数B》2010～2011学年第一学期课程试卷B
一、填空
1236
1.
设
2
2
2
2
又
是a
ij
的代数余子式
则
A42
A43A44=0
|A||（aij）44|
1
0
7
Aij
A41
2
3
4
1
8
2设A、B为3阶方阵，且|A|
2,
3B
1
81
，则|A
1B
|
1/6
.
3.设A为方阵,满足A
2
0,则A
1
A
E
.
A2E
2
1
1
0
1
3
1
0
4．设A
130，则A1
1
1
0
.
0
0
2
2
0
0
1
5．向量组
1,
2,
3,
1线性
相
关．
6．设A是m
n矩阵,R（A）
r
则齐次线性方程组
Ax
O有非零解的充分必要条件是
rn
1
2
3
7.设A是4
3
矩阵,且R（A）
2
，B
0
1
0
则R（AB）
__2___
3
1
2
8．设三阶方阵A的每行元素之和均为
3，则A有特征值
3
.
《线性代数B》课程试卷A解答第5页共9页
131
9.向量组
1
1
3
的一个最大线性无关组为
1,2
.
1
2
3
5
8
9
1
1
7
10．属于方阵A的不同特征值的特征向量一定
线性无关.
二、单项选择
a11
a12
a13
a11
a12
a21a22
1..若a
21
a22
a23
1,则
a13
a23
a
31
a32
a33
a12
a22
（A）1
；
（B）
2；
（C）1；
2．设A为m
n矩阵，且m
n，则一定有（D）．
（A）RA
m;
（B）RA
n;
（C）mRA
n;
（D）RA
m.
3.下列结论错误的是（D）．
a31
a32
a33
（A）.
a32
（D）0.
（A）
1,
2,
s线性无关的充要条件是其中任意一个向量都不是其余向量的线性组合
;
（B）
若向量
1,
2,
3线性无关，则
1,
2线性无关；
（C）
n阶方阵
A与对角阵相似是
A有n个不同的特征值的必要条件
;
（D）
若方程组
Ax
O有非零解，则
Ax
b有无穷多解.
4.设矩阵Am
n的秩R（A）
m
n，下述结论中正确的是
D.
（A）
A的任意m个列向量必线性无关；
（B）A的任意一个m阶子式不等于零；
（C）齐次线性方程组
Ax
0
只有零解；
（D）非齐次线性方程组
Ax
b必有无穷多解.
5.n阶矩阵A,B,C
满足ABC
E,则下列各式中成立的是
D
.
（A）
ACB
E;
（B）CBA
E;
（C）BACE;
（D）BCA
E
1
．设矩阵
A
ab
4
2
的秩为
2，则C
6
2
4
a
2
（A）a
0,b
0；（B）a
0,b0；（C）a
0,b
0；（D）a
0,b0.
7.A,B均为n阶方阵，则下列结论中
B
成立．
（）
AB
0,
则
AO,
或B
O；
（）
0,
则
A
0,
或
B
0
；
A
B
AB
《线性代数B》课程试卷A解答第6页共9页
（C）AB
O,则A
O,或B
O；
（D）AB
O,则A
0,或B0．
三、k为何值时，线性方程组有解．并在有解时求通解．
x1
x2
x3
x4
x5
1,
3x1
2x2
x3
x4
3x5
0,
x2
2x3
2x4
6x5
k.
1
1
1
1
1
1
解A
3
2
1
1
3
0
0
1
2
2
6
k
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
0
1
2
2
6
3
0
1
2
2
6
3
0
1
2
2
6
k
0
0
0
0
0
k3
当k
3时，R（A）
R（B）
2
5,所以有依赖于
3个独立参数的无穷多解．
1
0
1
1
5
2
0
1
2
2
6
3
0
0
0
0
0
k
3
x1
x3
x4
5x5
2
x2
2x3
2x4
6x5
3
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