初中数学八年级上册教案人教版.docx

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初中数学八年级上册教案人教版

初中数学八年级上册教案（人教版）

第十一章全等三角形

11．1全等三角形

教学目标：

1了解全等形与全等三角形的的概念；

2理解全等三角形的性质；

3在图形变换以与实际操作的过程中发展学生的空间观念，培养学生的几何直觉；

教学重点：

探究全等三角形的性质

教学难点：

掌握两个全等三角形的对应边，对应角

教学过程：

观察下列图案，指出这些图案中中形状与大小相同的图形

问题：

你还能举出生活中一些实际例子吗？

这些形状、大小相同的图形放在一起能够完全重合。

能够完全重合的两个图形叫做全等形

能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形

引导学生完成课本P3思考：

归纳:

一个图形经过平移、翻折、旋转后，位置变化了，但形状、大小都没有改变，即平移、翻折、旋转前后的图形全等。

“全等”用“≌”表示，读作“全等于”

两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上，如⊿ABC和⊿DEF全等时，点A和点D，点B和点E，点C和点F是对应顶点，记作⊿ABC≌⊿DEF。

把两个全等的三角形重合到一起，重合的顶点叫做对应顶点，重合的边叫做对应边，重合的角叫做对应角

思考：

如课本P3思考图11.1-1中，⊿ABC≌⊿DEF，对应边有什么关系？

对应角呢？

归纳:

全等三角形性质：

全等三角形的对应边相等；

全等三角形的对应角相等。

思考：

（1）下面是两个全等的三角形，按下列图形的位置摆放，指出它们的对应顶点、对应边、对应角

（2）将⊿ABC沿直线BC平移，得到⊿DEF，说出你得到的结论，说明理由？

（3）如图，⊿ABE≌⊿ACD,AB与AC，AD与AE是对应边，已知：

∠A=43°，∠B=30°，求∠ADC的大小。

作业：

P4习题11.1第1，2，3题。

11．2三角形全等的判定

（1）

教学目标：

①经历探索三角形全等条件的过程，体会利用操作、归纳获得数学结论的过程．

②掌握三角形全等的“边边边”条件，了解三角形的稳定性．

③通过对问题的共同探讨，培养学生的协作精神．

教学难点：

三角形全等的条件；三角形全等条件的探索过程．

教学过程：

一、复习过程，引入新知

多媒体显示，带领学生复习全等三角形的定义与其性质，从而得出结论：

全等三角形三条边对应相等，三个角分别对应相等．反之，这六个元素分别相等，这样的两个三角形一定全等．

二、创设情境，提出问题

根据上面的结论，提出问题：

两个三角形全等，是否一定需要六个条件呢?

如果只满足上述六个条件中的一部分，是否也能保证两个三角形全等呢?

组织学生进行讨论交流，经过学生逐步分析，各种情况逐渐明朗，进行交流予以汇总归纳．

三、建立模型，探索发现

出示探究1，先任意画一个△ABC，再画一个△A'B'C'，使△ABC与△A'B'C'，满足上述条件中的一个或两个．你画出的△A'B'C'与△ABC一定全等吗?

让学生按照下面给出的条件作出三角形．

（1）三角形的两个角分别是30°、50°．

（2）三角形的两条边分别是4cm，6cm．

（3）三角形的一个角为30°，—条边为3cm．

再通过画一画，剪一剪，比一比的方式，得出结论：

只给出一个或两个条件时，都不能保证所画出的三角形一定全等．

出示探究2，先任意画出一个△A'B'C'，使A'B'＝AB，B'C'＝BC，C'A'＝CA，把画好的△A'B'C'剪下，放到△ABC上，它们全等吗?

让学生充分交流后，在教师的引导下作出△A'B'C'，并通过比较得出结论：

三边对应相等的两个三角形全等．

四、应用新知，体验成功

实物演示：

由三根木条钉成的一个三角形的框架，它的大小和形状是固定不变的．

鼓励学生举出生活中的实例．

给出例l，如下图△ABC是一个钢架，AB＝AC，AD是连接点A与BC中点D的支架，求证△ABD≌△ACD．

让学生独立思考后口头表达理由，由教师板演推理过程．

例2、如图是用圆规和直尺画已知角的平分线的示意图，作法如下：

①以A为圆心画弧，分别交角的两边于点B和点C；

②分别以点B、C为圆心，相同长度为半径画两条弧，两弧交于点D；

③画射线AD．

AD就是∠BAC的平分线．你能说明该画法正确的理由吗?

例3如图四边形ABCD中，AB＝CD，AD＝BC，你能把四边形ABCD分成两个相互全等的三角形吗?

你有几种方法?

你能证明你的方法吗?

试一试．

五、巩固练习：

课本P8页的练习．

六、反思小结：

回顾反思本节课对知识的研究探索过程、小结方法与结论，提炼数学思想，掌握数学规律．

七、布置作业

课本P15习题11．2第1、2题．

．

11.2三角形全等的判定

（2）

教学目标：

①经历探索三角形全等条件的过程，培养学生观察分析图形能力、动手能力．

②在探索三角形全等条件与其运用的过程中，能够进行有条理的思考并进行简单的推理．

③通过对问题的共同探讨，培养学生的协作精神．

教学难点：

指导学生分析问题，寻找判定三角形全等的条件．

教学重点：

应用“边角边”证明两个三角形全等，进而得出线段或角相等．

教学过程（师生活动）:

一、情境，引入课题

多媒体出示探究3：

已知任意△ABC，画△A'B'C'，使A'B'＝AB，A'C'＝AC，∠A'＝∠A．

教帅点拨，学生边学边画图，再让学生把画好的△A'B'C'，剪下放在△ABC上，观察这两个三角形是否全等．

二、交流对话，探求新知

根据前面的操作，鼓励学生用自己的语言来总结规律：

两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等．（SAS）

补充强调：

角必须是两条相等的对应边的夹角，边必须是夹相等角的两对边．

三、应用新知，体验成功

出示例2，如图，有—池塘，要测池塘两端A、B的距离，可先在平地上取一个可以直接到达A和B的点C，连接AC并延长到D，使CD＝CA，连接BC并延长到E，使CE＝CB．连接DE，那么量出DE的长就是A、B的距离，为什么?

让学生充分思考后，书写推理过程，并说明每一步的依据．

（若学生不能顺利得到证明思路，教师也可作如下分析：

要想证AB＝DE，

只需证△ABC≌△DEC

△ABC与△DEC全等的条件现有……还需要……）

明确证明分别属于两个三角形的线段相等或者角相等的问题，常常通过证明这两个三角形全等来解决．

补充例题：

1、已知：

如图AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE

求证：

△ABD≌△ACE

证明:

∵∠BAC=∠DAE（已知）

∠BAC+∠CAD=∠DAE+∠CAD

∴∠BAD=∠CAE

在△ABD与△ACE

AB=AC（已知）

∠BAD=∠CAE（已证）

AD=AE（已知）

∴△ABD≌△ACE（SAS）

思考：

求证：

1.BD=CE2.∠B=∠C3.∠ADB=∠AEC

变式1：

已知：

如图，AB⊥AC,AD⊥AE,AB=AC,AD=AE.

求证：

△DAC≌△EAB

BE=DC∠B=∠C∠D=∠EBE⊥CD

四、再次探究，释解疑惑

出示探究4，我们知道，两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等．由“两边与其中一边的对角对应相等”的条件能判定两个三角形全等吗?

为什么?

让学生模仿前面的探究方法，得出结论：

两边与其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等．

教师演示：

方法

（一）教科书10页图11.2-7．

方法

（二）通过画图，让学生更直观地获得结论．

五、巩固练习

课本P10页，练习1、2．

六、小结提高

1．判定三角形全等的方法；

2．证明线段、角相等常见的方法有哪些?

让学生自由表述，其他学生补充，让学生自己将知识系统化，以自己的方式进行建构．

七、布置作业

1．课本P15页，习题11．2第3、4题．

2．选作题：

（1）小明做了一个如图所示的风筝，测得DE＝DF，EH＝FH，你能发现哪些结沦?

并说明理由．

（2）如图，∠1＝∠2，AB＝AD，AE＝AC，求证BC＝DE．

11.2三角形全等的判定（3）

教学目标；

①探索并掌握两个三角形全等的条件：

“ASA”“AAS”，并能应用它们判别两个三角形是否全等．

②敢于面对教学活动中的困难，能通过合作交流解决遇到的困难．

教学重点：

理解，掌握三角形全等的条件：

“ASA”“AAS”．

教学难点：

探究出“ASA”“AAS”以与它们的应用．

教学过程（师生活动）：

创设情境：

师：

我们已经知道，三角形全等的判定条件有哪些?

生：

“SSS”“SAS”

师：

那除了这两个条件，满足另一些条件的两个三角形是否

也可能全等呢?

今天我们就来探究三角形全等的另一些条件。

探究新知：

一张教学用的三角形硬纸板不小心被撕坏了，如图，你能制作一张与原来同样大小的新教具？

能恢复原来三角形的原貌吗？

1．师：

我们先来探究第一种情况．（课件出示“探究5……”）

（1）探究5

先任意画出一个△ABC，再画一个△A'B'C'，使A'B'＝AB，∠A'＝∠A，∠B'＝∠B（即使两角和它们的夹边对应相等）．把画好的△A'B'C'剪下，放到△ABC上，它们全等吗?

师：

怎样画出△A'B'C'?

先自己独立思考，动手画一画。

在画的过程中若遇到不能解决的问题．可小组合作交流解决．

生：

独立探究，试着画△A'B'C'，（有问题的，可以小组内交流解决……）……

（2）全班讨论交流

我们又增加了—种判别三角形全等的方法．特别应注意，“边”必须是“两角的夹边”．

练习：

已知如图，AB=A’C，∠A=∠A’，∠B=∠C

求证：

△ABE≌△A’CD

例、已知：

点D在AB上，点E在AC上，BE和CD相交于点O，

AB=AC，∠B=∠C。

求证：

BD=CE

2．探究6

师：

我们再看看下面的条件：

在△ABC和△DEF中，∠A＝∠D，∠B＝∠E，BC＝EF，△ABC与△DEF全等吗?

能利用角边角条件证明你的结论吗?

师：

看已知条什，能否用“角边角”条件证明．

师：

你是怎么证明的?

（根据学生的不同探究结果，进行不同的引导）

师：

从这可以看出，从这些已知条件中能得出两个三角形全等．这又反映了一个什么规律?

师：

生1很好，这条件我们可以简写成“角角边”或“AAS”，又增加了判定两个三角形全等的一个条件．强调“AAS”中的边是“其中一个角的对边”．

多让几个学生描述，进一步培养归纳、表达的能力．

例2．课本P12页例3。

师：

从这道例题中，我们又得出了证明线段相等的又一方法，先证两线段所在的三角形全等，这样，对应边也就相等了．

探究7：

（1）三角对应相等的两个三角形全等吗?

师：

想想，怎样来探究这个问题?

引导学生通过“画两个三角对应相等的三角形”，看是否一定全等，或“用两个同一形状但大小不同的三角板”等等方法来探究说明．

师：

这一规律我们可以怎样表达?

（2）师：

说得非常好．现在我们来小结一下；判定两个三角形全等我们已有了哪些方法?

SSSSASASAAAS

小结提高：

师：

这节课通过对两个三角形全等条件的进一步探究，你有什么收获?

巩固练习

课本P13页，练习1、2．

布置作业

1.课本P15页习题11.2第6、11题

2．如图，小明不慎将一块三角形模具打碎为两块，他是否可以只带其中的一块碎片到商店去，就能配一块与原来一样的三角形模具呢?

如果可以，带哪块去合适?

为什么?

11.2三角形全等的判定（4）

教学目标：

①探索并掌握两个直角三角形全等的条件：

HL，并能应用它判别两个直角三角形是否全等．

②提高应用数学的意识．

教学重点：

理解，掌握三角形全等的条件：

HL．

教学难点：

理解，掌握三角形全等的条件：

HL．

教学过程:

提问：

1、判定两个三角形全等方法有：

，，，。

创设情境：

（显示图片），舞台背景的形状是两个直角三角形，工作人员想知道这两个直角三角形是否全等，但每个三角形都有一条直角边被花盆遮住无法测量.

（1）你能帮他想个办法吗？

方法一：

测量斜边和一个对应的锐角.（AAS）

方法二：

测量没遮住的一条直角边和一个对应的锐角.（ASA）或（AAS）

⑵如果他只带了一个卷尺，能完成这个任务吗？

工作人员测量了每个三角形没有被遮住的直角边和斜边，发现它们分别对应相等，于是他就肯定“两个直角三角形是全等的”.你相信他的结论吗？

下面让我们一起来验证这个结论。

新课：

已知线段a、c（a﹤c）和一个直角α，利用尺规作一个Rt△ABC,使∠C=∠α，CB=a，AB=c.

想一想，怎样画呢？

按照下面的步骤做一做：

⑴作∠MCN=∠α=90°;

⑵在射线CM上截取线段CB=a

⑶以B为圆心,C为半径画弧，交射线CN于点A;

⑷连接AB.

⑴△ABC就是所求作的三角形吗？

⑵剪下这个三角形，和其他同学所作的三角形进行比较，它们能重合吗？

直角三角形全等的条件

斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等；简写成“斜边、直角边”或“HL”.

想一想

你能够用几种方法说明两个直角三角形全等？

直角三角形是特殊的三角形，所以不仅有一般三角形判定全等的方法:

SAS、ASA、AAS、SSS，

还有直角三角形特殊的判定方法——“HL”.

练一练：

（3）如图，两根长度为12米的绳子，一端系在旗杆上，另一端分别固定在地面两个木桩上，两个木桩离旗

杆底部的距离相等吗？

请说明你的理由。

2.如图，有两个长度相同的滑梯，左边滑梯的高度AC与右边滑梯水平方向的长度DF相等，两个滑梯的倾

斜角∠ABC和∠DFE的大小有什么关系？

解：

∠ABC+∠DFE=90°.理由如下：

在Rt△ABC和Rt△DEF中,

则BC=EF,AC=DF.

∴Rt△ABC≌Rt△DEF（HL）.

∴∠ABC=∠DEF（全等三角形对应角相等）.

又∠DEF+∠DFE=90°,

∴∠ABC+∠DFE=90°.

小结：

这节课你有什么收获呢？

与你的同伴进行交流

作业：

课本P16页第7、8题。

11．3．1角的平分线的性质

（一）

教学目标：

1．应用三角形全等的知识，解释角平分线的原理．

2．会用尺规作一个已知角的平分线．

教学重点：

利用尺规作已知角的平分线．

教学难点：

角的平分线的作图方法的提炼．

教学过程：

一．提出问题，创设情境

问题1：

三角形中有哪些重要线段．

问题2：

你能作出这些线段吗？

如果老师手里只有直尺和圆规，你能帮我设计一个作角的平分线的操作方案吗？

二．导入新课

议一议：

下图是一个平分角的仪器，其中AB=AD，BC=DC．将点A放在角的顶点，AB和AD沿着角的两边放下，沿AC画一条射线AE，AE就是角平分线．你能说明它的道理吗？

教师活动：

演示角平分仪器的操作过程，使学生直观了解得到射线AC的方法．

AB=AD；BC=DC；AC=AC

所以△ABC≌△ADC（SSS）．

所以∠CAD=∠CAB．

即射线AC就是∠DAB的平分线．

老师再提出问题：

通过上述探究，能否总结出尺规作已知角的平分线的一般方法．自己动手做做看．然后与同伴交流操作心得．

（分小组完成这项活动，教师可参与到学生活动中，与时发现问题，给予启发和指导，使讲评更具有针对性）

讨论结果展示：

作已知角的平分线的方法：

已知：

∠AOB．求作：

∠AOB的平分线．

作法：

（1）以O为圆心，适当长为半径作弧，分别交OA、OB于M、N．

（2）分别以M、N为圆心，大于

MN的长为半径作弧．两弧在∠AOB内部交于点C．

（3）作射线OC，射线OC即为所求．

（教师根据学生的叙述，作多媒体课件演示，使学生能更直观地理解画法，提高学习数学的兴趣）．

议一议：

1．在上面作法的第二步中，去掉“大于

MN的长”这个条件行吗？

2．第二步中所作的两弧交点一定在∠AOB的内部吗？

（设计这两个问题的目的在于加深对角的平分线的作法的理解，培养数学严密性的良好学习习惯）

学生讨论结果总结：

1．去掉“大于

MN的长”这个条件，所作的两弧可能没有交点，所以就找不到角的平分线．

2．若分别以M、N为圆心，大于

MN的长为半径画两弧，两弧的交点可能在∠AOB的内部，也可能在∠AOB的外部，而我们要找的是∠AOB内部的交点，否则两弧交点与顶点连线得到的射线就不是∠AOB的平分线了．

3．角的平分线是一条射线．它不是线段，也不是直线，所以第二步中的两个限制缺一不可．

4．这种作法的可行性可以通过全等三角形来证明．

练一练：

任意画一角∠AOB，作它的平分线．

三．随堂练习：

课本P19练习．

练后总结：

平角∠AOB的平分线OC与直线AB垂直．将OC反向延长得到直线CD，直线CD与AB也垂直．

四．课时小结

本节课中我们利用已学过的三角形全等的知识，探究得到了角平分线仪器的操作原理，由此归纳出角的平分线的尺规画法，进一步体会温故而知新是一种很好的学习方法．

五．课后作业

课本P22习题11．2第1、2题．

11．3．2角的平分线的性质

（二）

教学目标：

1．会叙述角的平分线的性质与“到角两边距离相等的点在角的平分线上”．

2．能应用这两个性质解决一些简单的实际问题．培养学生的联想、探索、概括归纳的能力，激发学生学习数学的兴趣．

教学重点：

角平分线的性质与其应用．

教学难点：

灵活应用两个性质解决问题．

教学方法：

探索、归纳的方法．

教学过程：

一．创设情境，引入新课

[师]请同学们拿出准备好的折纸与剪刀，自己动手，剪一个角，把剪好的角对折，使角的两边叠合在一起，再把纸片展开，你看到了什么？

把对折的纸片再任意折一次，然后把纸片展开，又看到了什么？

二．导入新课

角平分线的性质即已知角的平分线，能推出什么样的结论．操作：

1．折出如图所示的折痕PD、PE．

2．你与同伴用三角板检测你们所折的折痕是否符合图示要求．

画一画：

按照折纸的顺序画出一个角的三条折痕，并度量所画PD、PE是否等长？

拿出两名同学的画图，放在投影下，请大家评一评，以达明确概念的目的．

问题1：

你能用文字语言叙述所画图形的性质吗？

问题2：

（出示投影片）

能否用符号语言来翻译“角平分线上的点到角的两边的距离相等”这句话．请填下表：

学生通过讨论作出下列概括：

已知事项：

OC平分∠AOB，PD⊥OA，PE⊥OB，D、E为垂足．

由已知事项推出的事项：

PD=PE．

于是我们得角的平分线的性质：

在角的平分线上的点到角的两边的距离相等．

[师]那么到角的两边距离相等的点是否在角的平分线上呢？

（出示投影）

问题3：

根据下表中的图形和已知事项，猜想由已知事项可推出的事项，并用符号语言填写下表：

下面请同学们思考一个问题．

思考：

如图所示，要在S区建一个集贸市场，使它到公路、铁路距离相等，离公路与铁路交叉处500m，这个集贸市场应建于何处（在图上标出它的位置，比例尺为1：

20000）？

1．集贸市场建于何处，和本节学的角平分线性质有关吗？

用哪一个性质可以解决这个问题？

2．比例尺为1：

20000是什么意思？

讨论结果展示：

1．应该是用第二个性质．这个集贸市场应该建在公路与铁路形成的角的平分线上，并且要求离角的顶点500米处．

2．在纸上画图时，我们经常在厘米为单位，而题中距离又是以米为单位，这就涉与一个单位换算问题了．1m=100cm，所以比例尺为1：

20000，其实就是图中1cm表示实际距离200m的意思．作图如下：

第一步：

尺规作图法作出∠AOB的平分线OP．

第二步：

在射线OP上截取OC=2.5cm，确定C点，C点就是集贸市场所建地了．

总结：

应用角平分线的性质，就可以省去证明三角形全等的步骤，使问题简单化．所以若遇到有关角平分线，又要证线段相等的问题，我们可以直接利用性质解决问题．

[例]如图，△ABC的角平分线BM、CN相交于点P．

求证：

点P到三边AB、BC、CA的距离相等．

[师生共析]点P到AB、BC、CA的垂线段PD、PE、PF的长就是P点到三边的距离，也就是说要证：

PD=PE=PF．而BM、CN分别是∠B、∠C的平分线，根据角平分线性质和等式的传递性可以解决这个问题．

证明：

过点P作PD⊥AB，PE⊥BC，PF⊥AC，垂足为D、E、F．

因为BM是△ABC的角平分线，点P在BM上．

所以PD=PE．

同理PE=PF．

所以PD=PE=PF．

即点P到三边AB、BC、CA的距离相等．

三．随堂练习：

1．课本P22练习．

2．课本P22习题11．3第3题．

在这里要提醒学生直接利用角平分线的性质，无须再证三角形全等．

四．课时小结：

今天，我们学习了关于角平分线的两个性质：

①角平分线上的点到角的两边的距离相等；②到角的两边距离相等的点在角的平分线上．它们具有互逆性，可以看出，随着研究的深入，解决问题越来越简便了．像与角平分线有关的求证线段相等、角相等问题，我们可以直接利用角平分线的性质，而不必再去证明三角形全等而得出线段相等．

五．课后作业：

课本P22页习题11．3第4、5、6题．

第十二章轴对称

12．1轴对称

（一）

教学目标：

1．在生活实例中认识轴对称图．

2．分析轴对称图形，理解轴对称的概念．

教学重点：

轴对称图形的概念．

教学难点：

能够识别轴对称图形并找出它的对称轴．

教学过程：

Ⅰ．创设情境，引入新课

我们生活在一个充满对称的世界中，许多建筑物都设计成对称形，艺术作品的创作往往也从对称角度考虑，自然界的许多动植物也按对称形生长，中国的方块字中些也具有对称性……对称给我们带来多少美的感受！

初步掌握对称的奥秒，不仅可以帮助我们发现一些图形的特征，还可以使我们感受到自然界的美与和谐．

轴对称是对称中重要的一种，从这节课开始，我们来学习第十二章：

轴对称．今天我们来研究第一节，认识什么是轴对称图形，什么是对称轴．

Ⅱ．导入新课

出示课本的图片，观察它们都有些什么共同特征．

这些图形都是对称的．这些图形从中间分开后，左右两部分能够完全重合．

小结：

对称现象无处不在，从自然景观到分子结构，从建筑物到艺术作品，甚至日常生活用品，人们都可以找到对称的例子．现在同学们就从我们生活周围的事物中来找一些具有对称特征的例子．

结论：

如果一个图形沿一直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴．这时，我们也说这个图形关于这条直线（成轴）对称．

了解了轴对称图形与其对称轴的概念后，我们来做一做．

取一张质地较硬的纸，将纸对折，并用小刀在纸的中央随意刻出一个图案，将纸打开后铺平，你得到两个成轴对称的图案了吗？

与同伴进行交流．

结论：

位于折痕两侧的图案是对称的，它们可以互相重合．

由此可以得到轴对称图形的特征：

一个图形沿一条直线折叠后，折痕两侧的图形完全重合．

接下来我们来探讨一个有关对称轴的问题．有些轴对称图形的对称轴只有一条，但有的轴对称图形的对称轴却不止一条，有的轴对称图形的对称轴甚至有无数条。

下列各图，你能找出它们的对称轴吗？

结果：

图

（1）有四条对称轴；图

（2）有四条对称轴；图（3）有无数条对称轴；图（4）有两条对称轴；图（5）有七条对称轴．

（1）

（2）（3）（4）（5）

展示挂图，大家想一想，你发现了什么？

像这样，把一个图形沿着某一条直线折叠，