等腰三角形典型例题练习含答案.docx
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等腰三角形典型例题练习含答案
等腰三角形典型例题练习
一.选择题（共2小题）
AD平分/BAC交BC于D,若BC=5cm,BD=3cm，则点D到AB的距离为（
A.5cm
B.3cm
C.2cm
D.不能确定
2.如图，已知C是线段AB上的任意一点（端点除外），分别以AC、BC为边并且在AB的同一侧作等边△ACD和等边△BCE,连接AE交CD于M，连接BD交CE于N.给出以下三个结论：
1AE=BD
2CN=CM
3MN//AB其中正确结论的个数是（
A.0
C.2
D.3
二.填空题（共1小题）
D,E,F分别是BC,AC,AB上的点，DE丄AC,EF丄AB,FD丄BC,则△DEF
3.如图，在正三角形ABC中，的面积与△ABC的面积之比等于
的平分线，E、F分别为AB、AC上的点，且/EDF+/EAF=180°求证
DE=DF.
5.在△ABC中，/ABC、/ACB的平分线相交于点O,过点O作DE//BC,分别交AB、AC于点D、E.请说明
DE=BD+EC.
6.＞已知：
如图，D是^ABC的BC边上的中点，DE丄AB,DF丄AC,垂足分别为E,F,且DE=DF.请判断△ABC是什么三角形？
并说明理由.
7•如图，△ABC是等边三角形，BD是AC边上的高，延长BC至E,使CE=CD•连接DE.
（1）/E等于多少度？
（2）△DBE是什么三角形？
为什么？
&如图，在△ABC中，/ACB=90°CD是AB边上的高，/A=30°求证：
AB=4BD.
9•如图,
DF=EF.
△ABC中，AB=AC，点D、E分别在AB、AC的延长线上，且BD=CE,DE与BC相交于点F.求证:
10.已知等腰直角三角形ABC,BC是斜边./B的角平分线交AC于D，过C作CE与BD垂直且交BD延长线于E,
求证：
BD=2CE.
11.（2012?
牡丹江）如图①，△ABC中.AB=AC,P为底边BC上一点，PE丄AB,PF丄AC,CH丄AB，垂足分别为E、F、H.易证PE+PF=CH.证明过程如下：
如图①，连接AP.
•/PE丄AB,PF丄AC,CH丄AB,
二Saabp=」AB?
PE,acp^AC?
PF,Saabc^AB?
CH.
222
又SAABP+SaACP=SaABC，
•••2ab?
pe+丄AC?
PF=3ab?
CH.
222
•/ab=ac,
•••Pe+pf=ch.
（1）
如图②，P为BC延长线上的点时，其它条件不变，PE、PF、CH又有怎样的数量关系？
请写出你的猜想，并加以证明：
（2）填空：
若/A=30°△ABC的面积为49,点P在直线BC上，且P到直线AC
.点P到AB边的距离PE=
ab边上的高
的长（请你直接写出结果）
点D在AF上，ED=EA，点P在CF上，连接PB交AF于点
13.已知：
如图，AF平分/BAC,BC丄AF于点E,
M.若/BAC=2/MPC,请你判断/F与/MCD的数量关系，并说明理由.
已知△ABC是等边三角形，点D、E分别在BC、AC边上，且AE=CD,AD与BE相交于点AD与BE有什么关系？
试证明你的结论.
BFD的度数.
AE、EF
15.如图，在△ABC中，AB=BC,/ABC=90°F为AB延长线上一点，点E在BC上，BE=BF，连接和CF,
求证：
AE=CF.
BF.问线
16.已知：
如图，在△OAB中，/AOB=90°OA=OB，在△EOF中，/EOF=90°OE=OF，连接AE、段AE与BF之间有什么关系？
请说明理由.
DE,DF,CG的长之间存在着怎样的等量关系？
并加以证明；
若D在底边的延长线上，
（1）中的结论还成立吗？
若不成立，又存在怎样的关系？
请说明理由.
17.（2006?
郴州）如图，在△ABC中，AB=AC,D是BC上任意一点，过D分别向AB,AC引垂线，垂足分别为E,F,CG是AB边上的高.
（1）
（2）
18.如图甲所示，在△ABC中，AB=AC，在底边BC上有任意一点P,贝UP点到两腰的距离之和等于定长（腰上的高），即PD+PE=CF，若P点在BC的延长线上，那么请你猜想PD、PE和CF之间存在怎样的等式关系？
写出你的猜想并加以证明.
等腰三角形典型例题练习
参考答案与试题解析
2.如图，
和等边△BCE,连接AE交CD于M，连接BD交CE于N.给出以下三个结论:
①AE=BD②CN=CM③MN//AB其中正确结论的个数是（）
考点：
分析：
解答:
平行线分线段成比例；全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质.
由^ACD和^BCE是等边三角形，根据SAS易证得△ACE◎△DCB，即可得①正确；由
△ACE◎△DCB，可得/EAC=/NDC，又由/ACD=/MCN=60°利用ASA，可证得
△ACM◎△DCN，即可得②正确；又可证得△CMN是等边三角形，即可证得③正确.
解：
•••△ACD和^BCE是等边三角形，•/ACD=/BCE=60°AC=DC,EC=BC,
•••/ACD+/DCE=/DCE+/ECB，即/ACE=/DCB,•△ACE◎△DCB（SAS）,
•••AE=BD，故①正确；
•••/EAC=/NDC,•••/ACD=/BCE=60°DCE=60°ACD=/MCN=60°
•/AC=DC,•••△ACM◎△DCN（ASA）,••CM=CN，故②正确；
又/MCN=180°-/MCA-/NCB=180°-60。
-60°=60°
•••△CMN是等边三角形，•/NMC=/ACD=60••MN//AB，故③正确.故选D.
（共1小题）
二.填空题
3.如图，在正三角形ABC中，D,E,F分别是BC,AC,AB上的点，DE丄AC,EF丄AB,FD丄BC,则△DEF的面积与△ABC的面积之比等于1:
3.
考点:
V八、、•分析：
解答:
相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质.
首先根据题意求得：
/DFE=/FED=/EDF=60°即可证得△DEF是正三角形，又由直角三角形中，
30。
所对的直角边是斜边的一半，得到边的关系，即可求得DF:
AB=1^3，又由相似三角形的面
积比等于相似比的平方，即可求得结果.
解：
•••△ABC是正三角形，•••/B=/C=/A=60°
•/DE丄AC,EF丄AB,FD丄BC，•/AFE=/CED=/BDF=90°
•••/BFD=/CDE=/AEF=30°DFE=/FED=/EDF=60°匹丄
BF"2
•••△DEF是正三角形，•••BD:
DF=1:
V5①,BD:
AB=1:
3②,△DEFABC,
①十②，器血,•DF:
AB=1:
DEF的面积与△ABC的面积之比等于1:
3.
Dr
三.解答题（共15小题）
4.在^ABC中，AD是/BAC的平分线，E、F分别为AB、AC上的点，且/EDF+/EAF=180°求证
考占:
V八、、•
分析：
解答:
全等三角形的判定与性质；角平分线的定义.
过D作DM丄AB，于M,DN丄AC于N，根据角平分线性质求出DN=DM，根据四边形的内角和定理和平角定义求出/AED=/CFD，根据全等三角形的判定AAS推出△EMD◎△FND即可.
证明：
过D作DM丄AB，于M,DN丄AC于N,
即/EMD=/FND=90°
•/AD平分/BAC,DM
•//EAF+/EDF=180°
丄AB,DN丄AC,•DM=DN（角平分线性质），/DME=/DNF=90°•••/MED+/AFD=360。
—180°=180°
•//AFD+/NFD=180°,MED=/NFD,
DE=DF.
在^EMD和^FND中
^Zmed=Zdfn
.ZDME=ZDHF，•△EMD◎△FND,•••DE=DF..DH=DN
中，/ABC、/ACB的平分线相交于点0,过点0作DE//BC,分别交AB、AC于点D、E.请说明
6.＞已知：
是什么三角形？
并说明理由.
等腰三角形的判定与性质；平行线的性质.
根据0B和0C分别平分/ABC和/ACB,和DE//BC,利用两直线平行，内错角相等和等量代换,求证出DB=D0,0E=EC.然后即可得出答案.
解：
•••在△ABC中，0B和0C分别平分/ABC和/ACB,
•••/DB0=/0BC，/EC0=/0CB,
•/DE//BC,•/D0B=/0BC=/DB0,/E0C=/0CB=/EC0,
•••DB=D0,0E=EC,•••DE=D0+0E,•DE=BD+EC.
如图，D是^ABC的BC边上的中点，DE丄AB,DF丄AC,垂足分别为E,F,且DE=DF.请判断△ABC
考点：
分析：
解答:
等腰三角形的判定；全等三角形的判定与性质.
用（HL）证明△EBD◎△FCD,从而得出/EBD=/FCD,即可证明△ABC是等腰三角形.
△ABC是等腰三角形.
证明：
连接AD,•/DE丄AB,DF丄AC,BED=/CFD=90°°且DE=DF,
•/D是^ABC的BC边上的中点，•••BD=DC,
•••Rt△EBD也Rt△FCD（HL）,EBD=/FCD,••△ABC是等腰三角形.
7•如图,
△ABC是等边三角形，BD是AC边上的高，延长BC至E,使CE=CD.连接DE.
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（1）/E等于多少度？
（2）△DBE是什么三角形?
为什么？
考点：
分析：
解答:
全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质.
•过D点作DG//AE交BC于G点，由平行线的性质得/1=/2,/4=/3，再根据等腰三角形的性质可得/B=/2，则/B=/1，于是有DB=DG，根据全等三角形的判定易得△DFG◎△EFC，即可得到结论.
证明：
过D点作DG//AE交BC于G点，如图，
•••/1=/2，/4=/3,
•/AB=AC，•/B=/2，•/B=/1,.・.DB=DG，而BD=CE,•DG=CE,
在adfGWKefC中厶Z3
*ZDFG=ZEFC，•△DFG◎△EFC,•DF=EF..DG=CE
考点：
分析：
10.已知等腰直角三角形ABC,BC是斜边./B的角平分线交AC于D，过C作CE与BD垂直且交BD延长线于E,
求证：
BD=2CE.
全等三角形的判定与性质.
延长CE,BA交于一点F,由已知条件可证得△BFE全也△BEC，所以FE=EC，即CF=2CE，再通过证明△ADBFAC可得FC=BD，所以BD=2CE.
解答:
证明：
如图，分别延长CE,BA交于一点F.
•/BE丄EC,•/FEB=/CEB=90°•/BE平分/ABC,•/FBE=/CBE,
又•••BE=BE,•••△BFE◎△BCE（ASA）.••FE=CE.•CF=2CE.
•/AB=AC,/BAC=90°/ABD+/ADB=90°/ADB=/EDC,•/ABD+/EDC=90°
又•••/DEC=90°/EDC+/ECD=90°,FCA=/DBC=/ABD.
•••△ADB◎△AFC.•FC=DB,••BD=2EC.
F
11.（2012?
牡丹江）如图①，△ABC中.AB=AC,P为底边BC上一点，PE丄AB,PF丄AC,CH丄AB，垂足分别为E、F、H.易证PE+PF=CH.证明过程如下：
如图①，连接AP.
•••PE丄AB,PF丄AC,CH丄AB,•S^abp^AB?
PE,SscP冷AC?
PF,Saabc誌AB?
CH.bb
又•••saabp+Saacp=SaABC，^^AB?
PE+^AC?
pF=£ab?
cH.
•/AB=AC,•••PE+PF=CH.
•••PE丄AB,PF丄AC,CH丄AB,aS^abp^AB?
PE,S^acp^AC?
PF,S^abc^AB?
CH,•/Saabp=S^acp+S△ABC，•亠AB?
PE^AC?
PF+1aB?
CH，又tAB=AC,aPE=PF+CH;
222
（2）•••在△ACH中，/A=30°aAC=2CH.
tSaabc=2aB?
CH,AB=AC,^>2CH?
CH=49,•CH=7.£乙
分两种情况：
1P为底边BC上一点，如图①.
•/PE+PF=CH,•PE=CH-PF=7-3=4;
2P为BC延长线上的点时，如图②.
•••PE=PF+CH,•••PE=3+7=10.故答案为7;4或10.
A
12.数学课上，李老师出示了如下的题目：
在等边三角形ABC中，点E在AB上，点D在CB的延长线上，且ED=EC，如图，试确定线段AE与DB的大小关系，并说明理由”.
小敏与同桌小聪讨论后，进行了如下解答：
（1）特殊情况，探索结论
的长（请你直接写出结果）
考占:
V八、、•
分析?
等边三角形的判定与性质；三角形的外角性质；全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质.
（1）根据等边三角形性质和等腰三角形的性质求出/D=/ECB=30°求出/DEB=30°求出BD=BE即可；
（2）过E作EF//BC交AC于F,求出等边三角形AEF，证△DEB和^ECF全等，求出BD=EF即可;
（3）
当D在CB的延长线上，E在AB的延长线式时，由
（2）求出CD=3,当E在BA的延长线上，D在BC的延长线上时，求出CD=1.
（2）过E作EF//BC交AC于F，
•••等边三角形ABC，•/ABC=/ACB=/A=60°AB=AC=BC，
•••/AEF=/ABC=60°/AFE=/ACB=60°即/AEF=/AFE=/A=60°°•••△AEF是等边三角形，•••AE=EF=AF，
，/D+/BED=/FCE+/ECD=60°,
•••/ABC=/ACB=/AFE=60°DBE=/EFC=120
•/DE=EC，•/D=/ECD，•/BED=/ECF，
在^DEB和^ECF中
'Zdeb=Zecf
即AE=BD，故答案为:
-ZDBE=ZEFC，•△DEBBAECF，•••BD=EF=AE，
.DE=CE
（3）解：
CD=1或3,
过A作AM丄BC于M，过E作EN丄BC于N，贝UAM//EM,
•••△ABC是等边三角形，•••AB=BC=AC=1,
•/AM丄BC,•BM=CM=rBC=r,vDE=CE,EN丄BC,•CD=2CN,22
•/AM//EN,•••△AMBeNB，•如型】/,
BEBW2-1BK
•••AM〃EN，•堆-珊
考点：
分析：
13.已知：
如图，AF平分/BAC,M.若/BAC=2/MPC,请你判断/
解答:
-ABC^,•••DE=CE,EN丄BC,•CD=2CN,
22
.DMN=1,•••CN=1-丄J,•••CD=2CN=1
2MN22
BC丄AF于点E,点D在AF上，ED=EA，点P在CF上，连接PB交AF于点
F与/MCD的数量关系，并说明理由.
全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质.
根据全等三角形的性质和判定和线段垂直平分线性质求出AB=AC=CD，推出
/CDA=/CAD=/CPM,求出/MPF=/CDM，/PMF=/BMA=/CMD，在△DCM和△PMF中根据三角形的内角和定理求出即可.
解：
/F=/MCD,
理由是：
•••AF平分/BAC,BC丄AF,a/CAE=/BAE,/AEC=/AEB=90°在^ACE和^ABE中
”ZAEC二Z
•••*馳二址,•△ACEBAABE（ASA）•AB=AC,
■ZCAE二ZEAE
•//CAE=/CDE•••AM是BC的垂直平分线，二CM=BM,CE=BE,•/CMA=/BMA,•/AE=ED,CE丄AD,•AC=CD,•/CAD=/CDA,
•••/
BAC=2/MPC,又•••/BAC=2/CAD,
MPC=/CAD,•/MPC=/CDA,•/MPF=/CDM,
MPF=/CDM（等角的补角相等），
DCM+/CMD+/CDM=180°/F+/MPF+/PMF=180°
又•••/PMF=/BMA=/CMD,•/MCD=/F.
已知△ABC是等边三角形，点D、E分别在BC、AC边上，且AE=CD,AD与BE相交于点F.AD与BE有什么关系？
试证明你的结论.
BFD的度数.
考点：
分析：
14.如图,
（1）线段
（2）求/
解答:
等边三角形的性质；全等三角形的判定与性质.
（1）根据等边三角形的性质可知/BAC=/C=60°AB=CA,结合AE=CD,可证明△ABE◎△CAD,从而证得结论；
（2）根据/BFD=/ABE+/BAD,/ABE=/CAD，可知/BFD=/CAD+/BAD=
（1）证明：
•••△ABC为等边三角形，•/BAC=/C=60°AB=CA.在^ABE和^CAD中，
'AB二AC
ZBAE=ZC•••△ABE◎△CAD•AD=BE.
AE=CD
/BAC=60
（2）解：
•••/BFD=/ABE+/BAD,
又•••△ABEBACAD,•/ABE=/CAD.•/BFD=/CAD+/BAD=/BAC=60°.
在△ABC中，AB=BC,/ABC=90°F为AB延长线上一点，点E在BC上，BE=BF,
连接AE、EF
考点：
分析：
解答:
15.如图，和CF,求证：
AE=CF.
全等三角形的判定与性质.
根据已知利用SAS即可判定△ABE◎△CBF，根据全等三角形的对应边相等即可得到证明：
•••/ABC=90°,•••/ABE=/CBF=90°
又•••AB=BC,BE=BF,•△ABE◎△CBF（SAS）.••AE=CF.
AE=CF.
16.已知：
如图，在△OAB中，/AOB=90°OA=OB，在△EOF中，/EOF=90°OE=OF，连接AE、BF.问线段AE与BF之间有什么关系？
请说明理由.
考点：
分析：
全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形.
可以把要证明相等的线段—AE，CF放到△AEO，△BFO中考虑全等的条件，由两个等腰直角三角形得AO=BO，OE=OF，再找夹角相等，这两个夹角都是直角减去/BOE的结果，当然相等了，由此
可以证明△AEOBFO;延长BF交AE于D，交OA于C,可证明/BDA=/AOB=90。
，则AE丄BF.
解答:
解：
AE与BF相等且垂直，
理由：
在△AEO与^BFO中，
•/Rt△OAB与Rt△OEF等腰直角三角形，二AO=OB，OE=OF，/AOE=90。
-/BOE=/BOF，
•••△AEO◎△BFO，二AE=BF.
延长BF交AE于D，交OA于C，则/ACD=/BCO，
由
（1）知/OAE=/OBF，•/BDA=/AOB=90°••AE丄BF.
DE,DF,CG的长之间存在着怎样的等量关系？
并加以证明；
若D在底边的延长线上，
（1）中的结论还成立吗？
若不成立，又存在怎样的关系？
请说明理由.
17.（2006?
郴州）如图，在△ABC中，AB=AC，D是BC上任意一点，过D分别向AB，AC引垂线，垂足分别为E，F，CG是AB边上的高.
（1）
（2）
考点：
分析：
等腰三角形的性质.
（1）连接AD,根据三角形ABC的面积=三角形ABD的面积+三角形ACD的面积，进行分析证明；
（2）类似
（1）的思路，仍然用计算面积的方法来确定线段之间的关系•即三角形ABC的面积=三角形ABD的面积-三角形ACD的面积.
解答
解:
（1）DE+DF=CG.
证明：
连接AD,
贝Saabc=SAabd+SAacd，即丄AB?
CG=J：
AB?
DE+J；AC?
DF,vAB=AC,aCG=DE+DF.222
（2）当点D在BC延长线上时，
（1）中的结论不成立，但有DE-DF=CG.
理由：
连接AD，贝U汇ABD=Saabc+Saacd，即丄AB?
DE=2aB?
CG+丄AC?
DF
222
vAB=AC,aDE=CG+DF，即DE-DF=CG.
司理当D点在CB的延长线上时，则有DE-DF=CG，说明方法同上.
A
18.如图甲所示，在△ABC中，AB=AC，在底边BC上有任意一点P,贝UP点到两腰的距离之和等于定长（腰上的高），即PD+PE=CF，若P点在BC的延长线上，那么请你猜想PD、PE和C
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