等腰三角形典型例题练习含答案.docx

1、等腰三角形典型例题练习含答案等腰三角形典型例题练习一.选择题（共2小题）AD平分/ BAC交BC于D,若BC=5cm , BD=3cm，则点 D到AB的距离为（A. 5 cmB. 3 cmC. 2cmD.不能确定2.如图，已知 C是线段AB上的任意一点（端点除外），分别以AC、BC为边并且在 AB的同一侧作等边 ACD 和等边 BCE,连接AE交CD于M，连接BD交CE于N .给出以下三个结论：1AE=BD2CN=CM3MN / AB 其中正确结论的个数是（A. 0C. 2D. 3二.填空题（共1小题）D, E, F 分别是 BC, AC, AB 上的点，DE 丄 AC, EF 丄 AB ,

2、FD 丄 BC ,则 DEF3.如图，在正三角形 ABC中， 的面积与 ABC的面积之比等于的平分线，E、F分别为AB、AC上的点，且/ EDF+ / EAF=180 求证DE=DF .5.在 ABC中，/ ABC、/ ACB的平分线相交于点 O,过点O作DE / BC,分别交 AB、AC于点D、E.请说明DE=BD+EC .6. 已知：如图，D是ABC的BC边上的中点，DE丄AB , DF丄AC ,垂足分别为 E, F,且DE=DF .请判断 ABC 是什么三角形？并说明理由.7如图， ABC是等边三角形，BD是AC边上的高，延长 BC至E,使CE=CD 连接DE .(1)/ E等于多少度？

3、(2) DBE是什么三角形？为什么？&如图，在 ABC 中，/ ACB=90 CD 是 AB 边上的高，/ A=30 求证：AB=4BD .9如图,DF=EF . ABC中，AB=AC，点D、E分别在AB、AC的延长线上，且 BD=CE , DE与BC相交于点F.求证:10 .已知等腰直角三角形 ABC , BC是斜边./ B的角平分线交 AC于D，过C作CE与BD垂直且交BD延长线 于E,求证：BD=2CE .11. (2012?牡丹江)如图 ， ABC中.AB=AC , P为底边BC上一点，PE丄AB , PF丄AC , CH丄AB，垂足分 别为E、F、H.易证PE+ PF=CH .证明过

4、程如下：如图，连接AP./ PE丄 AB , PF丄 AC , CH 丄 AB ,二 Saabp=AB?PE, acpAC?PF, SaabcAB?CH .2 2 2又SAABP+SaACP=SaABC， 2ab ?p e+丄 AC ?PF=3ab ?CH .2 2 2/ ab=ac , Pe+pf=ch .(1) 如图，P为BC延长线上的点时，其它条件不变， PE、PF、CH又有怎样的数量关系？请写出你的猜想， 并加以证明：(2)填空：若/ A=30 ABC的面积为49,点P在直线BC上，且P到直线AC.点P到AB边的距离PE=ab边上的高的长(请你直接写出结果)点D在AF上，ED=EA，点

5、P在CF上，连接PB交AF于点13.已知：如图， AF平分/ BAC , BC丄AF于点E,M .若/ BAC=2 / MPC,请你判断/ F与/ MCD的数量关系，并说明理由.已知 ABC是等边三角形，点 D、E分别在BC、AC边上，且 AE=CD , AD与BE相交于点 AD与BE有什么关系？试证明你的结论.BFD的度数.AE、EF15.如图，在 ABC中，AB=BC , / ABC=90 F为AB延长线上一点，点 E在BC上，BE=BF，连接 和CF,求证：AE=CF .BF.问线16.已知：如图，在 OAB 中，/ AOB=90 OA=OB，在 EOF 中，/ EOF=90 OE=OF

6、，连接 AE、 段AE与BF之间有什么关系？请说明理由.DE , DF , CG的长之间存在着怎样的等量关系？并加以证明；若D在底边的延长线上，（1）中的结论还成立吗？若不成立，又存在怎样的关系？请说明理由.17. （2006?郴州）如图，在 ABC中，AB=AC , D是BC上任意一点，过 D分别向AB , AC引垂线，垂足分别为 E, F, CG是AB边上的高.（1）（2）18.如图甲所示，在 ABC中，AB=AC，在底边BC上有任意一点 P,贝U P点到两腰的距离之和等于定长（腰上 的高），即PD+ PE=CF，若P点在BC的延长线上，那么请你猜想 PD、PE和CF之间存在怎样的等式关系

7、？写出你 的猜想并加以证明.等腰三角形典型例题练习参考答案与试题解析2.如图，和等边 BCE,连接AE交CD于M，连接BD交CE于N .给出以下三个结论:AE=BDCN=CMMN / AB其中正确结论的个数是（ ）考点： 分析：解答:平行线分线段成比例；全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质.由 ACD和 BCE是等边三角形，根据 SAS易证得 ACE DCB，即可得 正确；由ACE DCB，可得/ EAC= / NDC，又由/ ACD= / MCN=60 利用 ASA，可证得ACM DCN，即可得 正确；又可证得 CMN是等边三角形，即可证得 正确.解： ACD 和BCE 是等边三角形，/

8、 ACD= / BCE=60 AC=DC , EC=BC ,/ ACD+ / DCE= / DCE+ / ECB，即/ ACE= / DCB , ACE DCB ( SAS), AE=BD，故正确；/ EAC= / NDC ,/ ACD= / BCE=60 DCE=60 ACD= / MCN=60 / AC=DC , ACM DCN (ASA) , CM=CN，故 正确；又/ MCN=180 -/ MCA -/ NCB=180 - 60。- 60=60 CMN是等边三角形，/ NMC= / ACD=60 MN / AB，故正确.故选 D .（共 1小题）二.填空题3.如图，在正三角形 ABC中

9、，D, E, F分别是BC, AC , AB上的点，DE丄AC , EF丄AB , FD丄BC ,则 DEF 的面积与 ABC的面积之比等于 1: 3 .考点 :V 八、 分析：解答:相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质.首先根据题意求得： / DFE= / FED= / EDF=60 即可证得 DEF是正三角形，又由直角三角形中，30。所对的直角边是斜边的一半，得到边的关系，即可求得 DF : AB=1 3，又由相似三角形的面积比等于相似比的平方，即可求得结果.解： ABC 是正三角形，/ B= / C= / A=60 / DE 丄 AC , EF丄 AB , F

10、D 丄 BC， / AFE= / CED= / BDF=90 / BFD= / CDE= / AEF=30 DFE= / FED= / EDF=60 匹丄BF2 DEF 是正三角形， BD : DF=1 : V5,BD: AB=1 : 3, DEFABC ,十，器血, DF : AB=1 : DEF的面积与 ABC的面积之比等于1: 3.Dr三.解答题（共15小题）4.在 ABC中，AD是/ BAC的平分线，E、F分别为AB、AC上的点，且/ EDF+ / EAF=180 求证考占:V 八、分析：解答:全等三角形的判定与性质；角平分线的定义.过D作DM丄AB，于M , DN丄AC于N，根据角平

11、分线性质求出 DN=DM，根据四边形的内角和定 理和平角定义求出/ AED= / CFD，根据全等三角形的判定 AAS推出 EMD FND即可.证明：过D作DM丄AB，于M , DN丄AC于N ,即/ EMD= / FND=90 / AD 平分/ BAC , DM/ EAF+ / EDF=180 丄 AB , DN 丄 AC , DM=DN （角平分线性质），/ DME= / DNF=90 / MED+ / AFD=360。 180=180/ AFD+ / NFD=180 , MED= / NFD ,DE=DF .在 EMD和 FND中Zmed=Zdfn.ZDME=ZDHF， EMD FND

12、, DE=DF . .DH=DN中，/ ABC、/ ACB的平分线相交于点 0,过点0作DE / BC,分别交 AB、AC于点D、E.请说明6. 已知：是什么三角形？并说明理由.等腰三角形的判定与性质；平行线的性质.根据0B和0C分别平分/ ABC和/ ACB ,和DE / BC ,利用两直线平行，内错角相等和等量代换, 求证出DB=D0 , 0E=EC .然后即可得出答案.解：在 ABC中，0B和0C分别平分/ ABC和/ACB ,/ DB0= / 0BC，/ EC0= / 0CB ,/ DE / BC , / D0B= / 0BC= / DB0 , / E0C= / 0CB= / EC0

13、, DB=D0 , 0E=EC , DE=D0+0E , DE=BD+EC .如图，D是ABC的BC边上的中点，DE丄AB , DF丄AC ,垂足分别为 E, F,且DE=DF .请判断 ABC考点：分析：解答:等腰三角形的判定；全等三角形的判定与性质.用(HL )证明 EBD FCD ,从而得出/ EBD= / FCD ,即可证明 ABC是等腰三角形. ABC是等腰三角形.证明：连接 AD , / DE 丄 AB , DF 丄 AC , BED= / CFD=90 且 DE=DF ,/ D是 ABC的BC边上的中点， BD=DC , Rt EBD 也 Rt FCD (HL ) , EBD=

14、/ FCD, ABC 是等腰三角形.7如图, ABC是等边三角形，BD是AC边上的高，延长 BC至E ,使CE=CD .连接DE .学习必备 _欢迎下载 (1)/ E等于多少度？ ( 2) DBE是什么三角形?为什么？考点： 分析：解答:全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质.过D点作DG / AE交BC于G点，由平行线的性质得/1 = / 2,/ 4= / 3，再根据等腰三角形的性 质可得/ B= / 2，则/ B= / 1，于是有DB=DG，根据全等三角形的判定易得 DFG EFC，即可 得到结论.证明：过D点作DG / AE交BC于G点，如图，/ 1 = / 2，/ 4= / 3,/

15、AB=AC，/ B= / 2，/ B= / 1,.DB=DG，而 BD=CE , DG=CE ,在adfGWKefC中 厶Z3* ZDFG=ZEFC， DFG EFC , DF=EF . .DG=CE考点： 分析：10 .已知等腰直角三角形 ABC , BC是斜边./ B的角平分线交 AC于D，过C作CE与BD垂直且交BD延长线 于E,求证：BD=2CE .全等三角形的判定与性质.延长CE, BA交于一点F,由已知条件可证得 BFE全也 BEC，所以FE=EC，即CF=2CE，再通 过证明 ADB FAC 可得 FC=BD，所以 BD=2CE .解答:证明：如图，分别延长 CE, BA交于一点

16、F./ BE 丄 EC, / FEB= / CEB=90 / BE 平分/ ABC , / FBE= / CBE ,又 BE=BE , BFE BCE (ASA ) . FE=CE . CF=2CE ./ AB=AC , / BAC=90 / ABD+ / ADB=90 / ADB= / EDC , / ABD+ / EDC=90 又/ DEC=90 / EDC+ / ECD=90 , FCA= / DBC= / ABD . ADB AFC . FC=DB , BD=2EC .F11. （2012?牡丹江）如图 ， ABC中.AB=AC , P为底边BC上一点，PE丄AB , PF丄AC ,

17、CH丄AB，垂足分 别为E、F、H.易证PE+ PF=CH .证明过程如下：如图，连接AP. PE丄AB , PF丄 AC , CH 丄 AB , SabpAB ?PE, SscP冷AC?PF, Saabc誌AB ?CH . b b又 saabp+Saacp=SaABC，AB ?PE+AC?pF=ab?cH ./ AB=AC , PE+PF=CH . PE丄AB , PF丄 AC , CH 丄 AB , a SabpAB ?PE, SacpAC?PF, SabcAB?CH , / Saabp=Sacp+S ABC，亠AB?PEAC?PF+1aB ?CH，又t AB=AC , a PE=PF+C

18、H ;2 2 2(2)在 ACH 中，/ A=30 a AC=2CH .t Saabc=2aB?CH , AB=AC , 2CH?CH=49 , CH=7 . 乙分两种情况：1P为底边BC上一点，如图./ PE+PF=CH , PE=CH - PF=7 - 3=4;2P为BC延长线上的点时，如图. PE=PF+CH , PE=3+7=10 .故答案为 7; 4 或 10.A12.数学课上，李老师出示了如下的题目：在等边三角形 ABC中，点E在AB上，点D在CB的延长线上，且 ED=EC，如图，试确定线段 AE与DB的大小 关系，并说明理由”.小敏与同桌小聪讨论后，进行了如下解答：(1)特殊情况

19、，探索结论的长(请你直接写出结果)考占:V 八、分析?等边三角形的判定与性质；三角形的外角性质；全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质.(1) 根据等边三角形性质和等腰三角形的性质求出/ D= / ECB=30 求出/ DEB=30 求出BD=BE 即可；(2)过E作EF/ BC交AC于F,求出等边三角形 AEF，证 DEB和 ECF全等，求出BD=EF即 可;(3) 当D在CB的延长线上，E在AB的延长线式时， 由(2)求出CD=3 ,当E在BA的延长线上， D在BC的延长线上时，求出 CD=1 .(2 )过 E 作 EF/ BC 交 AC 于 F，等边三角形 ABC，/ ABC= / A

20、CB= / A=60 AB=AC=BC，/ AEF= / ABC=60 / AFE= / ACB=60 即/ AEF= / AFE= / A=60 AEF 是等边三角形， AE=EF=AF，/ D+ / BED= / FCE+ / ECD=60 ,/ ABC= / ACB= / AFE=60 DBE= / EFC=120/ DE=EC，/ D= / ECD，/ BED= / ECF，在 DEB和 ECF中Zdeb=Zecf即AE=BD，故答案为:-ZDBE=ZEFC， DEB BA ECF， BD=EF=AE，.DE=CE (3)解：CD=1 或 3,过A作AM丄BC于M，过E作EN丄BC于N

21、，贝U AM / EM , ABC 是等边三角形， AB=BC=AC=1 ,/ AM 丄 BC , BM=CM= rBC=r, v DE=CE , EN 丄 BC , CD=2CN , 2 2/ AM / EN , AMB eNB，如型】 / ,BE BW 2-1 BKAM EN，堆-珊考点： 分析：13.已知：如图，AF平分/ BAC , M .若/ BAC=2 / MPC,请你判断/解答:-ABC , DE=CE , EN 丄 BC , CD=2CN ,2 2.D MN=1 , CN=1 -丄 J , CD=2CN=12 MN 2 2BC丄AF于点E,点D在AF上，ED=EA，点P在CF上

22、，连接PB交AF于点F与/ MCD的数量关系，并说明理由.全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质.根据全等三角形的性质和判定和线段垂直平分线性质求出 AB=AC=CD，推出/ CDA= / CAD= / CPM ,求出/ MPF= / CDM，/ PMF= / BMA= / CMD，在 DCM 和 PMF 中 根据三角形的内角和定理求出即可.解：/ F= / MCD ,理由是： AF 平分/ BAC , BC 丄 AF , a / CAE= / BAE , / AEC= / AEB=90 在 ACE和 ABE中” ZAEC 二 Z* 馳二址 , ACE BA ABE (ASA ) AB=AC

23、 , ZCAE二ZEAE/ CAE= / CDE AM 是 BC 的垂直平分线，二 CM=BM , CE=BE , / CMA= / BMA , / AE=ED , CE 丄 AD , AC=CD , / CAD= / CDA ,/BAC=2 / MPC ,又/ BAC=2 / CAD ,MPC= / CAD , / MPC= / CDA , / MPF= / CDM ,MPF= / CDM (等角的补角相等)，DCM+ / CMD+ / CDM=180 / F+/ MPF+ / PMF=180 又/ PMF= / BMA= / CMD , / MCD= / F.已知 ABC是等边三角形，点

24、D、E分别在BC、AC边上，且 AE=CD , AD与BE相交于点F. AD与BE有什么关系？试证明你的结论.BFD的度数.考点：分析：14.如图,(1)线段(2)求/解答:等边三角形的性质；全等三角形的判定与性质.(1) 根据等边三角形的性质可知/ BAC= / C=60 AB=CA ,结合AE=CD ,可证明 ABE CAD , 从而证得结论；(2)根据/ BFD= / ABE+ / BAD , / ABE= / CAD，可知/ BFD= / CAD+ / BAD=(1)证明： ABC 为等边三角形，/ BAC= / C=60 AB=CA . 在 ABE和 CAD中，AB 二 ACZBAE

25、=ZC ABE CAD AD=BE .AE=CD/ BAC=60(2)解：/ BFD= / ABE+ / BAD ,又 ABE BA CAD , / ABE= / CAD . / BFD= / CAD+ / BAD= / BAC=60 .在 ABC 中，AB=BC , / ABC=90 F 为 AB 延长线上一点，点 E 在 BC 上，BE=BF ,连接AE、EF考点：分析：解答:15.如图， 和CF, 求证：AE=CF .全等三角形的判定与性质.根据已知利用SAS即可判定 ABE CBF，根据全等三角形的对应边相等即可得到 证明：/ ABC=90 , / ABE= / CBF=90 又 AB

26、=BC , BE=BF , ABE CBF ( SAS). AE=CF .AE=CF .16.已知：如图，在 OAB 中，/ AOB=90 OA=OB，在 EOF 中，/ EOF=90 OE=OF，连接 AE、BF .问线 段AE与BF之间有什么关系？请说明理由.考点：分析：全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形.可以把要证明相等的线段AE，CF放到 AEO， BFO中考虑全等的条件，由两个等腰直角三角形 得AO=BO，OE=OF，再找夹角相等，这两个夹角都是直角减去/ BOE的结果，当然相等了，由此可以证明 AEO BFO ;延长BF交AE于D，交OA于C,可证明/ BDA= / AOB=9

27、0。，则AE丄BF.解答:解：AE与BF相等且垂直，理由：在 AEO与 BFO中，/ Rt OAB 与 Rt OEF 等腰直角三角形，二 AO=OB，OE=OF，/ AOE=90。-/ BOE= / BOF， AEO BFO，二 AE=BF .延长BF交AE于D，交OA于C，则/ ACD= / BCO，由(1)知/ OAE= / OBF，/ BDA= / AOB=90 AE 丄 BF .DE , DF , CG的长之间存在着怎样的等量关系？并加以证明；若D在底边的延长线上，(1)中的结论还成立吗？若不成立，又存在怎样的关系？请说明理由.17. (2006?郴州)如图，在 ABC中，AB=AC，

28、D是BC上任意一点，过 D分别向AB，AC引垂线，垂足分别为 E，F，CG是AB边上的高.(1)(2)考点： 分析：等腰三角形的性质.(1)连接AD ,根据三角形ABC的面积=三角形ABD的面积+三角形ACD的面积，进行分析证明；(2) 类似(1)的思路，仍然用计算面积的方法来确定线段之间的关系即三角形 ABC的面积=三 角形ABD的面积-三角形 ACD的面积.解答解: (1) DE+DF=CG .证明：连接AD ,贝 Saabc=SAabd+SAacd，即丄AB?CG=J：AB?DE+J；AC?DF, v AB=AC , a CG=DE+DF . 2 2 2(2)当点D在BC延长线上时，(1)中的结论不成立，但有 DE - DF=CG .理由：连接 AD，贝U 汇ABD =Saabc+Saacd，即丄AB ?DE=2aB ?CG+丄AC ?DF2 2 2v AB=AC , a DE=CG+DF，即 DE - DF=CG .司理当D点在CB的延长线上时，则有 DE - DF=CG，说明方法同上.A18.如图甲所示，在 ABC中，AB=AC，在底边BC上有任意一点P,贝U P点到两腰的距离之和等于定长(腰上 的高)，即PD+ PE=CF，若P点在BC的延长线上，那么请你猜想 PD、PE和C