第2章 乘法公式与因式分解.docx

第2章 乘法公式与因式分解.docx

《第2章 乘法公式与因式分解.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《第2章 乘法公式与因式分解.docx（14页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

第2章乘法公式与因式分解

§2、1平方差公式

教学目标

（一）知识与技能

1．经历探索平方差公式的过程．

2．会推导平方差公式，并能运用公式进行简单的运算．

（二）过程与方法

1．在探索平方差公式的过程中，培养符号感和推理能力．

2．培养学生观察、归纳、概括的能力．

（三）情感态度与价值观

在计算过程中发现规律总结规律，并能用符号表示，从而体会数学的简捷美．

教学重点

平方差公式的推导和应用．

教学难点

理解平方差公式的结构特征，灵活应用平方差公式．

教学过程:

一、提出问题，创设情境

思考：

你能用简便方法计算下列各题吗？

（1）2001×1999

（2）998×1002

二、导入新课

计算下列多项式的积．

（1）（x+1）（x-1）

（2）（m+2）（m-2）

（3）（2x+1）（2x-1）

（4）（x+5y）（x-5y）

观察上述算式，你发现什么规律？

运算出结果后，你又发现什么规律？

再举两例验证你的发现．（学生通过自学探究合作学习后解决）

三、学习过程

例1：

运用平方差公式计算：

（1）（3x+2）（3x-2）

（2）（b+2a）（2a-b）

（3）（-x+2y）（-x-2y）

例2：

计算：

（1）102×98

（2）（y+2）（y-2）-（y-1）（y+5）

[师生共析]运用平方差公式时要注意公式的结构特征，学会对号入座．

在例1的

（1）中可以把3x看作a，2看作b．

即：

（3x+2）（3x-2）=（3x）2-22

（a+b）（a-b）=a2-b2

同样的方法可以完成

（2）、（3）．如果形式上不符合公式特征，可以做一些简单的转化工作，使它符合平方差公式的特征．比如

（2）应先作如下转化：

（b+2a）（2a-b）=（2a+b）（2a-b）．

如果转化后还不能符合公式特征，则应考虑多项式的乘法法则．

（作如上分析后，学生可以自己完成两个例题．也可以通过学生的板演进行评析达到巩固和深化的目的）

[师]我们能不能总结一下利用平方差公式应注意什么？

[生]（进行合作交流后由各小组轮流发言）

我觉得应注意以下几点：

（1）公式中的字母a、b可以表示数，也可以是表示数的单项式、多项式即整式．

（2）要符合公式的结构特征才能运用平方差公式．

（3）有些多项式与多项式的乘法表面上不能应用公式，但通过加法或乘法的交换律、结合律适当变形实质上能应用公式．

（4）运算的最后结果应该是最简才行．

[师]同学们总结得很好．下面请同学们完成下面小测．优胜组选派一名代表做总结发言．

四、课堂小测

出示投影片：

计算：

（1）（a+b）（-b+a）

（2）（-a-b）（a-b）

（3）（3a+2b）（3a-2b）

（4）（a5-b2）（a5+b2）

（5）（a+2b+2c）（a+2b-2c）

（6）（a-b）（a+b）（a2+b2）

五、反馈纠正

找出错误原因，自行重新做一遍，组长提供变式训练

六、小结（学生总结，教师点评）

通过本节学习我们掌握了如下知识．

（1）平方差公式

两个数的和与这两个数的差的积等于这两个数的平方差．这个公式叫做乘法的平方差公式．即（a+b）（a-b）=a2-b2．

（2）公式的结构特征

①公式的字母a、b可以表示数，也可以表示单项式、多项式；

②要符合公式的结构特征才能运用平方差公式；

③有些式子表面上不能应用公式，但通过适当变形实质上能应用公式．如：

（x+y-z）（x-y-z）=[（x-z）+y][（x-z）-y]=（x-z）2-y2．

2.2完全平方公式

教学目标：

1.经历探索完全平方公式的过程，进一步培养符号感和推理能力。

2.会推导完全平方公式，并能运用公式进行简单计算。

教学重点与难点：

重点：

完全平方公式的推导过程与结构特点。

难点：

完全平方公式的灵活应用.

学习过程：

一．读一读：

课本第36页：

1.利用多项式的乘法进行公式推导；

（a+b）2=a2+2ab+b2

1）.公式特点：

左边是两数和的平方的，右边是一个二次三项式。

2）.文字描述：

两数和的平方等于这两个数的平方和加上它们乘积的2倍。

即首平方，尾平方，积的2倍在中央。

3）.公式中的a,b可以表示任意的代数式。

2.几何解释：

如图

（1），可以看出大正方形的边长是a+b，它是由两个小正方形和两个长方形组成，所以大正方形的面积等于这四个图形的面积之和．

3．小组讨论交流公式的特点，结合例题进行分析应用。

1）找出公式中a,b所代表的代数式。

2）对照公式进行计算。

二．查一查：

做课本第38页练习1题2题3题。

学生先自己做，小组代表板演，然后小组交流。

注意：

1.开始练习时，步骤要求写全。

2.纠正学生运算中出现的添括号与去括号的错误。

强调括号的重要性。

三.议一议：

1.完全平方公式的推导过程是怎样的？

2.完全平方公式的特点是什么？

3.你在利用完全平方公式计算是易出现哪些错误？

四．练一练：

课本第40页习题A组第1题第3题。

先由学生独立完成，部分小组代表板演，然后小组交流。

教师点拨总结。

五．比一比.

1.

＝______________

2.

=_________________

3.

）2=

4.

=___________________

5.

=________________

6.

=__________________

六．谈一谈：

本节课你有哪些收获？

1.完全平方公式的代数推导与几何解释；

2.熟悉完全平方公式的特点。

3.比较完全平方公式与平方差公式的异同。

七、评一评

以小组为单位汇总学生参与学习的情况、小组达标检测成绩，进行量化，记录在案并评出优胜小组。

2.3用提取公因式法进行因式分解

教学目标

1．理解因式分解的概念，明确因式分解与整式乘法的区别与联系。

2．知道什么是公因式，能确定一个多项式各项的公因式。

3．知道什么是提公因式法，会用提公因式法把多项式进行因式分解。

重点难点.

因式分解：

把一个多项式化为几个整式的积的形式。

提公因式法：

如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提到括号外面，将多项式写成积的形式。

过程与方法目标：

通过了解因式分解的意义及其与整式的乘法之间的关系，从中体事物之间可以相互转化的辩证思想。

情感与态度目标：

培养学生接受矛盾的对立统一观点，独立思考，勇于探索的精神和实事求是的科学态度。

学习过程

一、想一想：

1m（a+b+c）=------------------

（a+b）（a-b）=-----------------

（a+b）2=----------------------

2ma+mb+mc=------------

a2-b2=-------------

a2+2ab+b2=---------------

观察你能发现它们之间的联系与区别吗？

学生反复仔细观察、对比，找出其中的联系与区别。

二谈一谈：

1、与小学学过的因数分解与乘法之间的联系，概括，归纳得出什么是因式分解？

2因式分解与整式乘法有什么关系？

结论：

因式分解与整式乘法正好相反。

问题：

你能利用因式分解与整式乘法正好相反这一关系。

举出几个因式分解的例子吗？

3多项式ma+mb+mc中的每一项都含有一个相同的因式？

你知道这个相同的因式怎样称呼吗？

把公因式提出来，多项式ma+mb+mc就可以分解成两个因式m和（a+b+c）的乘积了，像这种因式分解的方法叫----------------------

三做一做：

例1对下列多项式进行因式分解：

（1）－5a2＋25a；

（2）3a2－9ab；

（3）25x2－16y2；（4）x2＋4xy＋4y2.

例2分解因式：

2x4y2－4x3y2＋10xy4。

四比一比

1．选择题

（1）以下由左到右的变形是因式分解的是（）

A．（a＋3）（a－3）＝a2－9

B．y2－9＋2y＝（y＋3）（y－3）＋2y

C．b2－16＝（b＋4）（b－4）

D．4x＋5y＋25y2＝4x＋5y（1＋5y）

（2）下列提公因式法因式分解错误的是（）

A．8x2y－24xy2＝8xy（x－3y）

B．ax＋bx＋ay＋by＝x（a＋b）＋y（a＋b）

C．

gt12＋

gt22＝

g（t12＋t22）

D．15a2＋25ab2＝5a（3a＋5b2）

2．填空题

（1）15a3－5a2的公因式是。

（2）4a3b－6a2b2＋2a2b的公因式是。

（3）分解因式：

3x2y3－9x3y2＝3x2y2（）。

（4）分解因式：

a9＋a7－2a6－3a5＝（a4＋a2－2a－3）。

（5）分解因式：

x2－xy＝。

（6）分解因式：

6a2b－15ab2＋30a2b2＝。

3．把下列各式分解因式

（1）ma－mb＋mc

（2）8a3－12a2

（3）7x2y2－21y2z（4）15xyz－5yz2

（5）3m2x－3mx－6x（6）9a6x2－18a5x3－36a4x4

五创新能力应用

1．用提公因式分解因式

（1）3am+2－12am+1（m为自然数）

（2）xm+1y2＋3xmy＋2xm—1

2．利用因式分解计算

（1）21.93×1.6＋18.4×21.93－20×21.93

（2）3.14×17.7－3.14×3.5－3.14×2.5

3．求证：

3200－4×3199＋10×3199是7的倍数吗？

（提示：

先因式分解、提公因式3199）

六谈一谈

本节课的收获

2.4用公式法进行因式分解

学习目标：

1．会用公式法进行因式分解。

2．了解因式分解的步骤。

学习重难点：

1、重点：

会用公式法进行因式分解。

2、难点：

熟练应用公式法进行因式分解。

。

突破措施:

1、措施：

加强学生对要分解的多项式结构特征的认识，分析各项与公式中字母的对应关系，在反复练习中掌握用公式法进行分解因式．

学法指导:

1．教学方法：

讲练结合法、小组探究合作．

2．学生学习本节时，要注意：

（1）进一步弄清因式分解与整式乘法的区别和联系。

（2）分解因式时，要先观察题目的结构特征，看使用哪个公式，同时要养成及时检验的学习习惯。

教材简析：

课本介绍了两个公式，这两个公式都是由前面学过的公式变形得到的，学生好掌握，关键是学生对要分解的多项式结构特征的认识，能分析各项与公式中字母的对应关系，课本给出了两个例题，要重视例题步骤的书写，“挑战自我”能够加深学生对完全公式的理解，对今后学习一元二次方程等内容做好铺垫。

学习过程：

一、探讨新知：

1、（a+b）（a-b）=用语言叙述为

2、（a+b）2=用语言叙述为

把这两个公式反过来，就得到

（1）

（2）

把它们当做公式，就可以把某些多项式进行因式分解，这种因式分解的方法叫做公式法。

二、典例探讨

例1：

把下列各式进行因式分解:

（1）4x2-25

（2）16a2-1/9b2

　解：

（1）4x2-25

=（2x）2-52

=（2x+5）（2x-5）

（2）16a2-1/9b2

=

=

要求：

完成填空，你能用乘法检验做的对错吗？

试试看。

思考：

（1）遇到例1题型时，使用哪个公式，注意什么事项?

例2：

把下列各式进行因式分解:

（1）25x2+20x+4

（2）9m2-3mn+1/4n2

解：

（1）25x2+20x+4

=（5x）2+2ⅹ5xⅹ2+22（为什么这样变形？

）

=（5x+2）2

[教学要点]引导学生观察原式,启发他们发现第一步,可以用公式法分解因式了。

学生自己完成

（2），然后总结一下学例题的收获。

（2）9m2-3mn+1/4n2

=

=

三、巩固练习

[课堂练习一]课本44页练习1、2

[课堂练习二]用公式法进行因式分解：

（1）-16+9x2

（2）x2-6x+9

（3）m2+2/3mn+1/9n2

[课堂练习三]下列各式是不是完全平方式？

四、挑战自我

1、多项式4x2-x加上一个怎样的单项式，就成为一个完全平方式？

多项式0.25x2+1呢？

五、课堂小结

谈谈你学到的知识。

六、自我检测

用公式法分解因式：

（1）64m2-25n2

（2）a2b2-0.25c2（3）-x2+81y2

（4）（x+y）2-6（x+y）+9

七、布置作业：

课本46页第1题。

2.4用公式法进行因式分解

（2）

教学目标 

1、会用公式法进行因式分解；

2、了解因式分解的一般步骤。

重点难点：

综合运用平方差公式、完全平方公式分解因式。

 学会根据题目的结构特点，灵活选择公式。

课时：

两课时

教学过程：

活动一：

做一做

例3:

分解因式：

（1）（x+2y）2－（x－2y）2

（2）9（a－b）2+6（a－b）+1

分析：

（1）题的两项式符合平方差公式，x+2y和x－2y分别为公式中的a和b。

解：

（1）（x+2y）2－（x－2y）2

＝[（x+2y）+（x－2y）][（x+2y）－（x－2y）]

＝（x+2y+x－2y）（x+2y－x+2y）

＝（2x）（4y）＝8xy

注：

此例可以用乘法公式展开，再经过合并同类项得到8xy，由本例的分解过程可知，因式分解在某些情况下可以简化乘法与加减法的混合运算。

分析：

（2）题9（a－b）2+1可写成平方和[3（a－b）]2+12，就找到公式中的a和b项为3（a－b）和1，6（a－b）正好是2×3（a－b）×1为公式中的2ab项，符合完全平方公式。

解：

（2）9（a－b）2+6（a－b）+1

＝[3（a－b）]2+2×3（a－b）×1+12

＝[3（a－b）+1]2

＝（3a－3b+1）2

练习：

运用公式法因式分解

（1）（3a+2b）2－（2a+3b）2

（2）（m2+n2+1）2－4m2n2

（3）（x2+4x）2+8（x2+4x）+16

（4）

（x2－2y2）2－2（x2－2y2）y2+2y4

解：

（1）（3a+2b）2－（2a+3b）2

＝[（3a+2b）+（2a+3b）][（3a+2b）－（2a+3b）]

＝（3a+2b+2a+3b）（3a+2b－2a－3b）

＝（5a+5b）（a－b）

＝5（a+b）（a－b）

注：

（5a+5b）这个因式里还有5可以再提取，应该再提取出来。

分析：

（2）题是一个二项式，符合平方差公式。

用平方差公式分解后的两个多项式的因式都可再用平方差公式。

解：

（2）（m2+n2－1）2－4m2n2

＝（m2+n2－1+2mn）（m2+n2－1－2mn）

＝[（m2+2mn+n2）－1][（m2－2mn+n2）－1]

＝[（m+n）2－12][（m－n）2－12]

＝（m+n+1）（m+n－1）（m－n+1）（m－n－1）

分析：

（3）的题公式中的a和b为x2+4x和4，分解为（x2+4x+4）2后再将x2+4x+4再用一次完全平方公式分解，分解到不能分解为止。

解：

（x2+4x）2+8（x2+4x）+16

＝（x2+4x）2+2（x2+4x）×4+42

＝（x2+4x+4）2

＝[（x+2）2]2＝（x+2）4

分析：

（4）题把x2－2y2和y2看作为一个整体，那么这个多项式就是关于x2－2y2和y2的二次三项式，但首末两项不是有理数范围内的完全平方项，不能直接应用完全平方公式，但注意把首项系数

提出后，括号里边实际上就是一个完全平方公式。

注意分解到不能分解为止。

解：

（x2－2y2）2－2（x2－2y2）y2+2y4

＝

[（x2－2y2）2－4（x2－2y2）y2+4y4]

＝

[（x2－2y2）2－2（x2－2y2）（2y2）+（2y2）2]

＝

（x2－2y2－2y2）2

＝

（x2－4y2）2

＝

[（x+2y）（x－2y）]2

＝

（x+2y）2（x－2y）2

作业 

课本习题2.4P46  A3、4.