《122组合》教案新部编本设计.docx
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《122组合》教案新部编本设计
教师学科教案
[20-20学年度第—学期]
任教学科：
任教年级：
任教老师：
xx市实验学校
r\・
•-二〕r——
1.2.2组合
教学目标:
知识与技能：
理解组合的意义，能写出一些简单冋题的所有组合。
明确组合与排列的联系与
区别，能判断一个问题是排列问题还是组合问题。
过程与方法：
了解组合数的意义，理解排列数m与组合数cm之间的联系，掌握组合数公
式，能运用组合数公式进行计算。
情感、态度与价值观：
能运用组合要领分析简单的实际问题，提高分析问题的能力。
教学重点：
组合的概念和组合数公式.
教学难点：
组合的概念和组合数公式.
授课类型：
新授课.
课时安排：
2课时.
教具：
多媒体、实物投影仪内容分析：
排列与组合都是研究从一些不同元素中任取元素，或排成一排或并成一组，并求有多少
种不同方法的问题.排列与组合的区别在于问题是否与顺序有关.与顺序有关的是排列问题，与顺序无关是组合问题，顺序对排列、组合问题的求解特别重要.排列与组合的区别，从定
义上来说是简单的，但在具体求解过程中学生往往感到困惑，分不清到底与顺序有无关系
指导学生根据生活经验和问题的内涵领悟其中体现出来的顺序.教的秘诀在于度，学的
真谛在于悟，只有学生真正理解了，才能举一反三、融会贯通
能列举出某种方法时，让学生通过交换元素位置的办法加以鉴别
学生易于辨别组合、全排列问题，而排列问题就是先组合后全排列.在求解排列、组合
问题时，可引导学生找出两定义的关系后，按以下两步思考：
首先要考虑如何选出符合题意要求的元素来，选出元素后再去考虑是否要对元素进行排队，即第一步仅从组合的角度考虑，第二步则考虑元素是否需全排列，如果不需要，是组合问题；否则是排列问题
排列、组合问题大都来源于同学们生活和学习中所熟悉的情景，解题思路通常是依据具体做事的过程，用数学的原理和语言加以表述.也可以说解排列、组合题就是从生活经验、知识经验、具体情景的出发，正确领会问题的实质，抽象出“按部就班”的处理问题的过程
学生的逻辑思维能力将会大大提高教学过程：
一、复习引入:
1分类加法计数原理：
做一件事情，完成它可以有n类办法，在第一类办法中有种
不同的方法，在第二类办法中有m2种不同的方法，……，在第n类办法中有mn种不同的
方法+那么完成这件事共有
Nmim2Lm.种不同的方法•
2.分步乘法计数原理：
做一件事情，完成它需要分成n个步骤，做第一步有mj种不冋
的方法，做第二步有m2种不同的方法，……，做第n步有mn种不同的方法，那么完成这
件事有Nmnm2Lm.种不同的方法•
3•排列的概念：
从n个不同元素中，任取m（mn）个元素（这里的被取元素各不相同）按照一定的顺序.排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列*
4.排列数的定义：
从n个不同元素中，任取m（mn）个元素的所有排列的个数叫做从n个元素中取出m元素的排列数，用符号Am表示.
5.排列数公式：
Amn（n1）（n2）L（nm1）（m,nN,mn）
6.阶乘：
n!
表示正整数1到n的连乘积，叫做n的阶乘，规定0!
1.
7.排列数的另一个计算公式：
Am=』一
（nm）!
8.提出问题：
示例1:
从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参加某天的一项活动，其中1名同学参加
上午的活动，1名同学参加下午的活动，有多少种不同的选法？
示例2:
从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参加一项活动，有多少种不同的选法？
引导观察：
示例1中不但要求选出2名同学，而且还要按照一定的顺序“排列”，而示例
2只要求选出2名同学，是与顺序无关的.引出课题：
组合..*
二、讲解新课：
1组合的概念：
一般地，从n个不同元素中取出mmn个元素并成一组，叫做从n个不
同元素中取出m个元素的一个组合.
说明：
⑴不同元素；⑵“只取不排”一一无序性；⑶相同组合：
元素相同
例1.判断下列问题是组合还是排列
（1）在北京、上海、广州三个民航站之间的直达航线上，有多少种不同的飞机票？
有多少种不同的飞机票价？
（2）高中部11个班进行篮球单循环比赛，需要进行多少场比赛？
（3）从全班23人中选出3人分别担任班长、副班长、学习委员三个职务，有多少种不同的选法？
选出三人参加某项劳动，有多少种不同的选法？
（4）10个人互相通信一次，共写了多少封信？
（5）10个人互通电话一次，共多少个电话？
问题：
（1）1、2、3和3、1、2是相同的组合吗？
（2）什么样的两个组合就叫相同的组合
2.组合数的概念：
从n个不同元素中取出mmn个元素的所有组合的个数，叫做从n个
不同元素中取出m个元素的组合数.用符号cm表示.
3.组合数公式的推导：
（1）从4个不同元素a,b,c,d中取出3个元素的组合数C：
是多少呢？
（2）
启发：
由于排列是先组合再排列，而从4个不同元素中取出3个元素的排列数A3可以
1先求从n个不同元素中取出m个元素的组合数cn°；
2求每一个组合中m个元素全排列数A；m，根据分步计数原理得：
Am=cmAm.
（3）组合数的公式:
规定:
三、讲解范例:
例2•用计算器计算C17.
解：
由计算器可得
10nCr7=120.
cm
m1n!
nm（m1）!
（nm1）!
m1n!
（m1）!
（nm）（nm1）!
n!
m!
（nm）!
•qm
••Cn
m1m1
Cnnm
例5.设xN,求Cj；C；：
3的值+
txN,x2或x3或x4,
当x2时原式值为7；当x3时原式值为7；当x4时原式值为11.
•••所求值为4或7或11.
例6.一位教练的足球队共有17名初级学员，他们中以前没有一人参加过比赛•按
照足球比赛规则，比赛时一个足球队的上场队员是11人•问：
（1）这位教练从这17名学员中可以形成多少种学员上场方案？
（2）如果在选出11名上场队员时，还要确定其中的守门员，那么教练员有多少种方式做这件事情？
分析：
对于
（1），根据题意，17名学员没有角色差异，地位完全一样，因此这是一个从17个不同元素中选出11个元素的组合问题；对于
（2）,守门员的位置是特殊的，其余上场学员的地位没有差异，因此这是一个分步完成的组合问题.
解：
（1）由于上场学员没有角色差异，所以可以形成的学员上场方案有C｝手=12376
（种）.
（2）教练员可以分两步完成这件事情：
第1步，从17名学员中选出n人组成上场小组，共有C；7种选法；
1
第2步，从选出的n人中选出1名守门员，共有Cn种选法.所以教练员做这件事情的方法数有
111
C17C11=136136（种）.
例7.
（1）平面内有10个点，以其中每2个点为端点的线段共有多少条？
（2）平面内有10个点，以其中每2个点为端点的有向线段共有多少条？
解：
（1）以平面内10个点中每2个点为端点的线段的条数，就是从10个不同的元素
中取出2个元素的组合数，即线段共有
（2）由于有向线段的两个端点中一个是起点、另一个是终点，以平面内10个点中每2个
点为端点的有向线段的条数，就是从10个不同元素中取出2个元素的排列数，即有向线段
共有
2
A1010990（条）
例8.在100件产品中，有98件合格品，2件次品.从这100件产品中任意抽出3件•
（1）有多少种不同的抽法？
（2）抽出的3件中恰好有1件是次品的抽法有多少种？
（3）抽出的3件中至少有1件是次品的抽法有多少种？
解：
（1）所求的不同抽法的种数，就是从100件产品中取出3件的组合数，所以共有
C1001009998=161700（种）.
123
（2）从2件次品中抽出1件次品的抽法有C2种，从98件合格品中抽出2件合格
品的抽法有C98种，因此抽出的3件中恰好有1件次品的抽法有
12
C2C98=9506（种）.
（3）解法1从100件产品抽出的3件中至少有1件是次品，包括有1件次品和有2件次品两种情况.在第
（2）小题中已求得其中1件是次品的抽法有c2C98种，因此根据分类加法计数原理，抽出的3件中至少有一件是次品的抽法有
1221
C2C98+C2C98=9604（种）
解法2抽出的3件产品中至少有1件是次品的抽法的种数，也就是从100件中抽出3
件的抽法种数减去3件中都是合格品的抽法的种数，即
33
C100C98=161700-152096=9604（种）.
说明：
“至少”“至多”的问题，通常用分类法或间接法求解。
变式：
按下列条件，从12人中选出5人，有多少种不同选法？
（1）甲、乙、丙三人必须当选；
（2）甲、乙、丙三人不能当选；
（3）甲必须当选，乙、丙不能当选；（4）甲、乙、丙三人只有一人当选；
（5）甲、乙、丙三人至多2人当选；（6）甲、乙、丙三人至少1人当选；
例9.
（1）6本不同的书分给甲、乙、丙3同学，每人各得2本，有多少种不同的分法？
解：
C2C：
C；90.
（2）从5个男生和4个女生中选出4名学生参加一次会议，要求至少有2名男生和1
名女生参加，有多少种选法？
解：
问题可以分成2类：
第一类2名男生和2名女生参加，有Cfc460中选法；
第二类3名男生和1名女生参加，有C；C：
40中选法.
依据分类计数原理，共有100种选法+
错解：
C；C：
C6240种选法*引导学生用直接法检验，可知重复的很多.
例10.4名男生和6名女生组成至少有1个男生参加的三人社会实践活动小组，问组成方法共有多少种？
解法一：
（直接法）小组构成有三种情形：
3男，2男1女，1男2女，分别有c43,c：
c6,
C1c2
C4C6,
所以，一共有c：
+c：
c6+c4c；=100种方法.
解法二：
（间接法）C3）C63100+
组合数的性质1:
cmc；m.
一般地，从n个不同元素中取出m个元素后，剩下nm个元素•因为从n个不同元
素中取出m个元素的每一个组合，与剩下的nm个元素的每一个组合对应，所以从n
个不同元素中取出m个元素的组合数，等于从这n个元素中取出nm个元素的组合数，即:
CTC；m.在这里，主要体现：
“取法”与“剩法”是“一一对应”的思想-
说明：
①规定：
C°1；
2等式特点：
等式两边下标同，上标之和等于下标；
3此性质作用：
当m-时，计算cm可变为计算C；m，能够使运算简化
2
2001200220011例如C2002=C2002=C2002=2002；
④c：
Cnyxy或xyn.
2.组合数的性质2：
c；1=cm+cm1
般地，从31,32,,an1这n+1个不同元素中取出m个元素的组合数是cn^，这些
组合可以分为两类：
一类含有元素a1，一类不含有a1.含有a1的组合是从a2,a3,,an1
这n个元素中取出m1个元素与ai组成的，共有C：
1个；不含有ai的组合是从32,33,,an1这n个元素中取出m个元素组成的，共有C；个.根据
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