《解三角形》章末检测.docx

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《解三角形》章末检测

《解三角形》章末检测（A）

2018年（）月（）日班级姓名

有大目标，须有大动作;有大追求，须有大改变。

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）

1．△ABC的三内角A、B、C的对边边长分别为a、b、c.若a＝

b，A＝2B，则cosB等于（　　）

A.

B.

C.

D.

2.在△ABC中，AB=3，AC=2，BC=

，则

·

等于（　　）

A．－

B．－

C.

D.

3．在△ABC中，已知a＝

，b＝

，A＝30°，则c等于（　　）

A．2

B.

C．2

或

D．以上都不对

4．根据下列情况，判断三角形解的情况，其中正确的是（　　）

A．a＝8，b＝16，A＝30°，有两解

B．b＝18，c＝20，B＝60°，有一解

C．a＝5，c＝2，A＝90°，无解

D．a＝30，b＝25，A＝150°，有一解

5．△ABC的两边长分别为2,3，其夹角的余弦值为

，则其外接圆的半径为（　　）

A.

B.

C.

D．9

6．在△ABC中，cos2

＝

（a、b、c分别为角A、B、C的对边），则△ABC的形状为（　　）

A．直角三角形B．等腰三角形或直角三角形

C．等腰直角三角形D．正三角形

7．已知△ABC中，A、B、C的对边分别为a、b、c.若a＝c＝

＋

，且A＝75°，则b等于（　　）

A．2B.

－

C．4－2

D．4＋2

8．在△ABC中，已知b2－bc－2c2＝0，a＝

，cosA＝

，则△ABC的面积S为（　　）

A.

B.

C.

D．6

9．在△ABC中，AB＝7，AC＝6，M是BC的中点，AM＝4，则BC等于（　　）

A.

B.

C.

D.

10．若

＝

＝

，则△ABC是（　　）

A．等边三角形B．有一内角是30°的直角三角形

C．等腰直角三角形D．有一内角是30°的等腰三角形

11．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若（a2＋c2－b2）tanB＝

ac，则角B的值为（　　）

A.

B.

C.

或

D.

或

12．△ABC中，A＝

，BC＝3，则△ABC的周长为（　　）

A．4

sin

＋3B．4

sin

＋3

C．6sin

＋3D．6sin

＋3

二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）

13．在△ABC中，

－

－

＝________.

14．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a2＋c2－b2＝

ac，则角B

的值为________．

15．已知a，b，c分别是△ABC的三个内角A，B，C所对的边．若a＝1，b＝

，

A＋C＝2B，则sinC＝________.

16．钝角三角形的三边为a，a＋1，a＋2，其最大角不超过120°，则a的取值范围是________．

三、解答题（本大题共6小题，共74分）

17．（10分）如图所示，我艇在A处发现一走私船在方位角45°且距离为12海里的B处正以每小时10海里的速度向方位角105°的方向逃窜，我艇立即以14海里/小时的速度追击，求我艇追上走私船所需要的时间．

18．（12分）在△ABC中，角A、B、C所对的边长分别是a、b、c，且cosA＝

.

（1）求sin2

＋cos2A的值；

（2）若b＝2，△ABC的面积S＝3，求a.

19．（12分）如图所示，△ACD是等边三角形，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，BD交AC于E，AB＝2.

（1）求cos∠CBE的值；

（2）求AE.

20．（12分）已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且

a＝2，cosB＝

.

（1）若b＝4，求sinA的值；

（2）若△ABC的面积S△ABC＝4，求b，c的值．

21．（12分）（2010·辽宁）在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且2asinA＝（2b＋c）sinB＋（2c＋b）sinC.

（1）求A的大小；

（2）若sinB＋sinC＝1，试判断△ABC的形状．

22．（14分）已知△ABC的角A、B、C所对的边分别是a、b、c，设向量m＝（a，b），

n＝（sinB，sinA），p＝（b－2，a－2）．

（1）若m∥n，求证：

△ABC为等腰三角形；

（2）若m⊥p，边长c＝2，角C＝

，求△ABC的面积．

第一章章末检测（A）

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）

1．△ABC的三内角A、B、C的对边边长分别为a、b、c.若a＝

b，A＝2B，则cosB等于（　　）

A.

B.

C.

D.

答案　B

解析　由正弦定理得

＝

，

∴a＝

b可化为

＝

.

又A＝2B，∴

＝

，∴cosB＝

.

2.在△ABC中，AB=3，AC=2，BC=

，则

·

等于（　　）

A．－

B．－

C.

D.

答案　A

解析　由余弦定理得

cosA＝

＝

＝

.

∴

·

＝|

|·|

|·cosA＝3×2×

＝

.

∴

·

＝－

·

＝－

.

3．在△ABC中，已知a＝

，b＝

，A＝30°，则c等于（　　）

A．2

B.

C．2

或

D．以上都不对

答案　C

解析　∵a2＝b2＋c2－2bccosA，

∴5＝15＋c2－2

×c×

.

化简得：

c2－3

c＋10＝0，即（c－2

）（c－

）＝0，

∴c＝2

或c＝

.

4．根据下列情况，判断三角形解的情况，其中正确的是（　　）

A．a＝8，b＝16，A＝30°，有两解

B．b＝18，c＝20，B＝60°，有一解

C．a＝5，c＝2，A＝90°，无解

D．a＝30，b＝25，A＝150°，有一解

答案　D

解析　A中，因

＝

，

所以sinB＝

＝1，∴B＝90°，即只有一解；

B中，sinC＝

＝

，

且c>b，∴C>B，故有两解；C中，

∵A＝90°，a＝5，c＝2，

∴b＝

＝

＝

，

即有解，故A、B、C都不正确．

5．△ABC的两边长分别为2,3，其夹角的余弦值为

，则其外接圆的半径为（　　）

A.

B.

C.

D．9

答案　C

解析　设另一条边为x，

则x2＝22＋32－2×2×3×

，

∴x2＝9，∴x＝3.设cosθ＝

，则sinθ＝

.

∴2R＝

＝

＝

，R＝

.

6．在△ABC中，cos2

＝

（a、b、c分别为角A、B、C的对边），则△ABC的形状为（　　）

A．直角三角形

B．等腰三角形或直角三角形

C．等腰直角三角形

D．正三角形

答案　A

解析　由cos2

＝

⇒cosA＝

，

又cosA＝

，

∴b2＋c2－a2＝2b2⇒a2＋b2＝c2，故选A.

7．已知△ABC中，A、B、C的对边分别为a、b、c.若a＝c＝

＋

，且A＝75°，则b等于（　　）

A．2B.

－

C．4－2

D．4＋2

答案　A

解析　sinA＝sin75°＝sin（30°＋45°）＝

，

由a＝c知，C＝75°，B＝30°.sinB＝

.

由正弦定理：

＝

＝

＝4.

∴b＝4sinB＝2.

8．在△ABC中，已知b2－bc－2c2＝0，a＝

，cosA＝

，则△ABC的面积S为（　　）

A.

B.

C.

D．6

答案　A

解析　由b2－bc－2c2＝0可得（b＋c）（b－2c）＝0.

∴b＝2c，在△ABC中，a2＝b2＋c2－2bccosA，

即6＝4c2＋c2－4c2·

.

∴c＝2，从而b＝4.∴S△ABC＝

bcsinA＝

×2×4×

＝

.

9．在△ABC中，AB＝7，AC＝6，M是BC的中点，AM＝4，则BC等于（　　）

A.

B.

C.

D.

答案　B

解析　设BC＝a，则BM＝MC＝

.

在△ABM中，AB2＝BM2＋AM2－2BM·AM·cos∠AMB，

即72＝

a2＋42－2×

×4·cos∠AMB①

在△ACM中，AC2＝AM2＋CM2－2AM·CM·cos∠AMC

即62＝42＋

a2＋2×4×

·cos∠AMB②

①＋②得：

72＋62＝42＋42＋

a2，∴a＝

.

10．若

＝

＝

，则△ABC是（　　）

A．等边三角形

B．有一内角是30°的直角三角形

C．等腰直角三角形

D．有一内角是30°的等腰三角形

答案　C

解析　∵

＝

，∴acosB＝bsinA，

∴2RsinAcosB＝2RsinBsinA,2RsinA≠0.

∴cosB＝sinB，∴B＝45°.同理C＝45°，故A＝90°.

11．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若（a2＋c2－b2）tanB＝

ac，则角B的值为（　　）

A.

B.

C.

或

D.

或

答案　D

解析　∵（a2＋c2－b2）tanB＝

ac，

∴

·tanB＝

，

即cosB·tanB＝sinB＝

.

∵0

或

.

12．△ABC中，A＝

，BC＝3，则△ABC的周长为（　　）

A．4

sin

＋3B．4

sin

＋3

C．6sin

＋3D．6sin

＋3

答案　D

解析　A＝

，BC＝3，设周长为x，由正弦定理知

＝

＝

＝2R，

由合分比定理知

＝

，

即

＝

.

∴2

＝x，

即x＝3＋2

＝3＋2

＝3＋2

＝3＋2

＝3＋6

＝3＋6sin

.

二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）

13．在△ABC中，

－

－

＝________.

答案　0

14．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a2＋c2－b2＝

ac，则角B

的值为________．

答案　

解析　∵a2＋c2－b2＝

ac，

∴cosB＝

＝

＝

，∴B＝

.

15．已知a，b，c分别是△ABC的三个内角A，B，C所对的边．若a＝1，b＝

，

A＋C＝2B，则sinC＝________.

答案　1

解析　在△ABC中，A＋B＋C＝π，A＋C＝2B.

∴B＝

.

由正弦定理知，sinA＝

＝

.

又a

∴A＝

，C＝

.

∴sinC＝1.

16．钝角三角形的三边为a，a＋1，a＋2，其最大角不超过120°，则a的取值范围是________．

答案　

≤a<3

解析　由

.

解得

≤a<3.

三、解答题（本大题共6小题，共74分）

17．（10分）如图所示，我艇在A处发现一走私船在方位角45°且距离为12海里的B处正以每小时10海里的速度向方位角105°的方向逃窜，我艇立即以14海里/小时的速度追击，求我艇追上走私船所需要的时间．

解　设我艇追上走私船所需时间为t小时，则

BC＝10t，AC＝14t，在△ABC中，

由∠ABC＝180°＋45°－105°＝120°，

根据余弦定理知：

（14t）2＝（10t）2＋122－2·12·10tcos120°，

∴t＝2.

答　我艇追上走私船所需的时间为2小时．

18．（12分）在△ABC中，角A、B、C所对的边长分