7•设随机变量X~F（n,n）,证明P（尤<1）=
9•设“氐是来自MO。
?
）的样本，试求丫=匸土服从分布.
1“-心丿
10.设总体为N（0,l）,习,勺为样本，试求常数k,使得
p（—（"W—>订=0.05.
1（坷一兀2广+3+兀2广丿
11•设X],…，心是来自7V（“io-2）的样本…，儿是来自”（“2。
丄）的样本,c、d
是任意两个不为0的常数，证明/=
y—V
常数c使得/=C心“服从t分布,并指出分布的自由度13•设从两个方差相等的正态总体中分别抽取容量为15,20的样本，其样本方差分别为s^s；,
试求p（|>2）.
14.某厂生产的灯泡使用寿命X~"（2250,2502）,现进行质量检査，方法如下：
随机抽取若干个灯泡，如果这些灯泡的平均寿命超过2200h.就认为该厂生产的灯泡质量合格，若要使检查能通过的概率不低于0.997,问至少应检查多少只灯泡？
15.设（羽…知）是来自正态分布NS，/）的一个样本丿与疋分别是样本均
值与样本方差。
求k,使得p{x>“+ks）=0.95.
21.设為,…，暫是来自正态分布总体N（/AO-2）的一个样本。
$；=丄£（兀-对是样本
1.设（X’，X’，…,XJ为来自正态总体"（，'）的样本，'未知，现要检验假
设H。
：
=o,则应选取的统计量是；当比成立时，该统计量服从
分布.
2.在显著性检验中，若要使犯两类错误的概率同时变小，则只有增加.
1.设总体X〜N（,'）,'已知，Xi,x:
…，Xn为取自X的样本观察值，现在显著水平=0.05下接受了Ho：
二。
.若将改为0.01时，下面结论中正确的是
（A）必拒绝H。
（B）必接受H。
（C）犯第一类错误概率变大（D）犯第一类错
误概率变小
2.在假设检验中，比表示原假设，乩为备选假设，则称为犯第二类错误的是
（A）Hi不真，接受比（B）H。
不真，接受乩
（C）比不真，接受H。
（D）H。
为真，接受乩
3.设（X“X：
・・・,XJ为来自正态总体N（,'）的样本，，'未知参数，且
_1川川_
X=_ZX「02=工（X,-X）2
n1-1/-I
则检验假设H。
：
二0时，应选取统计•量为
"y"y
（A）yjn（n-1）—（B）y/n（C）、fn_］仝（D）亦盲r
QQQ
4.对于单因素试验方差分析的数学模型，设»为总离差平方和，S,为误差平方
和，s“为效应平方和，则总有St77\
1、设来自总体X的样本值为（-32120）,则总体尤的经验分布函数4（x）在
x=0.8处的值为二
2、设来自总体B（W的一个样本为XPX2,-,Xn,乂为样本均值。
则Var（X）=
3、设X|,...,X,”，X“+，...,X2,“是来自总体MO,，）的简单随机样本，则统
lit
工X，
计量T=‘7—服从的分布为O
4、设xx”为来自总体u（o,e）的样本，&为未知参数，则&的矩法估计
量为>
5、设X\、X»…,X“为来指数分布Exp（A）的简单随机样本，兄为未知参数，则
2念X：
服从自由度为的卡方分布。
/-I
6、设X「X2,…,X“为来自正态分布"（“,□）的简单随机样本，z/,cr均未知，
X,s2分别为样本均值和样本无偏方差，则检验假设H°:
“=儿V5儿
的检验统计量为心卫蛙二如，在显著性水平cz下的拒绝域为
（C）S是b的相合估计量（D）S与乂相互独立
1、某种产品以往的废品率为5%,釆取某种技术革新措施后，对产品的样本进行
检验，这种产品的废品率是否有所降低，取显著水平67=5%，则此，设题的原假设备择假设0：
.犯第一类错误的概率为。
2、设总体x~N（“,b‘），方差R未知，对假设耳）：
〃=“0,%：
“工“（），进
行假设检验，通常采取的统计量是,服从分布，自由度是
C
3、设总体“和b：
均未知。
统计假设取为弘：
“=如比:
若用t检验法进行假设检验，则在显著水平a之下，拒绝域是（B）
A、Irkra（n-1）B、l/l>r（n-1）
_2I_2
C、111>tx_a{n—1）D、111<—1）
4、在假设检验中，原假设乩），备择选择则称（B）为犯第二类错误
A、比为真，接受比B、比不真，接受比
C、比为真，拒绝检D、比不真，拒绝检
2、设Xj,X2，...,X“为取自总体X的样本，戸为样本均值，
S：
=丄£%-乂尸，则服从自由度为”-1的『分布的统计量为
3、若总体X〜N（“。
2）,其中L已知，当样本容量〃保持不变时，如果置信度
1-Q减小，则〃的置信区间.
4、在假设检验中，分别用0表示犯第一类错误和第二类错误的概率，则当
样本容量”一定时，下列说法中正确的是（）.
（A）a减小时0也减小；（B）a增大时0也增大；
（C）久0其中一个减小，另一个会增大；（D）（A）和（B）同时成立.
6、设总体X和Y相互独立，且都服从正态分布N（0,32）,而（XPX2...,X9）和（片上…,扎）是分别来自X和丫的样本，则U=X[+..・+皇服从的分布是
7、设玄与玄都是总体未知参数&的估计，且玄比玄有效，则&与玄的期望与方
差满足.
8、设总体Xa2已知，“为样本容量，总体均值“的置信水平为1-a
的置信区间为（X-AX+2）,则2的值为.
9、设X\,X”,Xn为取自总体X~N（“&）的一个样本，对于给定的显著性水平a,
已知关于b，检验的拒绝域为/'W力莒5-1），则相应的备择假设/为;
一、填空题
1.若X是离散型随机变址，分布律是P{X=x}=P（x;8）,（0是待估计参数〉，则似然函数,
X是连续型随机变重，概率密度是则似然函数是・
2.若未知参数0的估计最是&,若称&是。
的无偏估计最•设是未知参数&的两个
无偏估计最，若则称创较有效.
3.对任意分布的总体，样本均值乂是的无偏估计量。
样本方蛙L
是的无偏估计量。
4•设总体x~p
（2）,其中2>o是未知参数，x「…,x”是x的一个样本，则几的矩估计：
a为，极大似然估计为0
二、计算题
1.设总体服从儿何分布：
P（X=x）=/;（l-p）vl,x=l,2,3•.如果取得
样木观测值为眄,屯，…,X”，求参数P的矩法估计量和极人似然估计。
2.设总体服从指数分布取一个样本为和七，…心，求久矩佔计量
和最大似然估计量.
3・设总体X服从0・1分布3（1,刃，这里OV"V1.现从总体中抽
取了一个样本环…，兀，试求p的极大似然估计量.
4.设X〜U（afb）,一个样本为比宀‘…忑，求参数Q”的矩估计量.
5・设总体x的概率密度为
~八Ox°~\0八0,其它
其中〃>0,如果取得样木观测值为环勺，…,X”，求参数&的矩佔计值利最大似然佔计值.
“|加叫*x>0
7、设总体X的概率函数为=[°v<0,其中2〉0是未知参数，
。
>0是已知常数，试根据來自总体X的简单随机样本耳乙,…X”，求Q
的最大似然佔计量久
8、设&和女为参数&的两个独立的无偏估计量，且假定dB\=2dB：
求常数c和〃，使0=胡+雄为&的无偏估计，并使方差亦域小.
9、设"个随机变量乙，血，…，X”独立同分布，£>CVJ=x=^YXi»S1=-^-Y（X,-X）2,
nr=l刃一1ci
则
A）S是”的无偏估计量；B）S是c的敲大似然佔计量；
C）S是c的相合估计量（即一致估计量）；D）$与丘相互独立.
一、填空题
1、设总体X~N（“q'）,X|,…，X”是X的样本，则当肝已知时,求“的置借区间所使用的统计量为
Z=；Z服从分布；当未知时，求“的置信区间所使用的统计担:
z=,Z服从分布.
2、设总体X~N（“q2）,X「…，X”是来自X的一个样本，则当“已知时，求肝的置信区间所使用的
统计量％Z=；Z服从分布.则当“未知时，求o■'的置信区何所使用的统计量为
z=；Z服从分布.
3、设由来自总体X~N（“.0.9‘）容戢为9的简单随机样本，得样本均值X=5,则未知参数“的賈信度
为0.95的置信区间是.
一、选择题
1.设随机变量X服从n个自由度的t分布，定义t“满足P（Xx）=b,b>0,则x等于
（A）ti-b（B）ti-va（C）tb（D）tb'2
2.设XHX2V..,X”是来自标准正态总体的简单随机样本，X和S?
为样本均值和样本方差,则
（A）乂服从标准正态分布（B）fX：
服从自由度为n-1的x2分布
（C）〃乂服从标准正态分布（D）（n-l）S2服从自由度为ml的x2分布
3•设X“X”・・X是来自正态总体N（u」2）的简单随机样本，乂为其均值，记
1"_1«
4匚尹m荷尹一莎,
服从自由度为ml的t分布的随机变量是
（B）
（C）
（D）
片-“
S訂臥H
4•设XPX2是来自正态总体N（u,o2）的简单随机样本，则纸+勒与X|—X?
必
（A）不相关（B）线性相关（C）相关但非线性相关（D）不独立
5•设X“X”X”是来自正态总体N（n」2）的简单随机样本，统计咼
（B）Y〜t（ml）（C）Y〜F（ml,l）
则（A）Y〜x2（“l）
Y〜F（1卫-1）
6•设随机变量X〜N（O,1）,Y〜N（0,2）,且X与Y相互独立，则
]2
（A）-X2+-Y2服从I分布33
（C）-X1+-Y2服从—分布
22
（B）-（X+Y）2服从x?
分布
（D）-（X+Y）2服从以分布2
1"
7.设XXPX2,...,XI0是来自正态总体N（0.o2）的简单随机样本，厂=一贝IJ
101
（A）X2~x2
（1）（B）Y2~x2（10）（C）X'Y~t（10）（D）X2/Y2~F（1O,1）
8.设总体X与Y相互独立且都服从正态分布N（卩，。
2）,X,P分别为来自总体X.Y的
容量为n的样本均值，则当11固泄时，概率P（\X-Y\>的增大而
（A）单调增大（B）单调减小（C）保持不变（D）增减不定
9设随机变量X和Y都服从标准正态分布，则
（A）X+Y服从正态分布（B）X2+Y2服从X?
分布
（B）X2和Y?
都服从x?
分布（D）X2/Y2服从F分布
填空题
1.已知随机变量X,Y的联合概率密度为
/（x,y）=-Lexpl-J-CQx2+4y2-8y+4）},
12/r72
9X2
则-服从参数为的分布。
4（r-i）2
2.假设XnX2，…,X"是来自正态总体N（u,q2）的简单随机样本，戸为英均值，S为苴
标准差，如果P（乂〉“+亦）=0.95,则参数a=。
（to.o5（15）=1.7531）
3.在天平上重复称重一重为a的物品，假设各次称量结果相互独立且同服从正态分布
N（a,0.22）o若以乂“表示n次称重结果的算术平均值，则为使P（l乂”一d1<0.1）》0.95,n的最小值应不小于自然数。
4.假设X「X2，...,X“是来自正态总体N（u,o2）的简单随机样本，S为其标准差，则ES4
5.设随机变量X〜F（g）,则概率P（X<1）=。
6.已知X〜t（n）,贝IJ1QC〜o
7.设随机变量X和Y相互独立且都服从正态分布N（032）,而X】,…乂9和Yi,•…丫9分别是
X+・・•+X
来自总体X和Y的简单随机样本，则统计^U=1-——服从分布，参数
拥+…+疔
为「
8.设Xi,X2,X3,X4是来自正态总体N（0,22）的简单随机样本，
X=a（Xl-2X,）2+/?
（3X3-4X4）2,则当尸,b=时，统计量X服
从X?
分布，其自由度为。
9.设总体X服从正态分布N（0,22）,而％……X】5是来自总体X的简单随机样本，则随机变
v2.1v2
量丫=服从分布，参数为。
X/…+x£——
解答题
1.设X|,X2，.••筠。
是来自正态分布X〜N（0.4）的简单随机样本，求常数abc,d,使
Q=aX^+b（X2+X3）2+c（X4+X5+X6）2+d（X7+X3+X9+Xl0）2服从x2分布,并求自由度
2.设X「X,,...疋是来自正态分布X的简单随机样本，人=丄（X|+…+X&）,
6
y2=l（x7+x8+xy）,s?
=丄£（乙—岭），，z=--2（^_~）i>，证明统计疑z服从32/-7S
自由度为2的t分布。
3.已知总体X的数学期望EX=u.DX=«2,X「X2,…疋”是来自总体X容量为2n的简单
随机样本，样本均值为乂，统MMr=X（x/+x„+/-2X）2,求EY。
1-1
4.已知X|,X2，...乂是来自正态总体N（0,。
2）容量为n@>l）的简单随机样本，样本均值与方差分别为戸，S—记F=（n-1）T:
+|s2,试求Y的期望EY与方差DY。
5.已知总体X的数学期望EX=u,方差DX=o2,X「X2，...X是来自总体X的简单随机样本，样本均值为戸，求X,-X与X.-X（i^j）的相关系数P。
6.从正态分布总体N（3.4,36）中抽取容量为n的样本，若要求其样本均值位于区间（14,5.4）的概率不小于0.95,问样本容量n至少应取多大？
选择题
1.设XrX2,...,Xn是来自正态总体X的简单随机样本，X的分布函数F（x;0）中含未知参数，则
（A）用矩估计法和最大似然估计法求出的0的估计量相同
（B）用矩估计法和最大似然估计法求出的（）的估计量不同
（C）用矩估计法和最大似然估计法求出的0的估计量不一立相同
（D）用最大似然估汁法求岀的0的估计量是唯一的
2.设E，X2，...,X”是来自正态总体X的简单随机样本，EX=u,DX=o2,其中P,
均为未知参数，^=X,下而结论哪个是错误的。
（A）=X是u的无偏估计（B）“2=X］是口的无偏估计
_1川
（C）A=X比祗=X\有效（D）—刀（X,-“）2是。
2的最大似然估计量
3.设XPX2X“是来自正态分布总体N（卩，。
2）的简单随机样本，英中数学期望u已知,
则总体方差。
2的最大似然估计量是
（A）占若g-討
（B）丄±（X,-X）2
H.-1
（C）宀为以厂“）2n一1j
1八
（D）丄
八.-1
4.已知总体X在区间［0.0］上均匀分布，其中0是未知参数，设XrX2_XZI是来自X的简单随机样本，乂是样本均值，Xg=max{是最大观测值，则下列选项错误
的是
（A）X®是（）的最大似然估计量（B）X（/r）是0的无偏估计量
（C）2乂是0的矩估计量（D）2乂是0的无偏估计量
5.设总体X〜N（z,q2）,总体Y〜N（U2,o2）,Xi，X2，...,Xm和X，岭，•••，打分别是来自总体
X和Y的简单随机样本，样本方差分别为S；与S；,则的无偏估计量是
（A）S；+S；（B）伽-1）S；+（〃-l）S；
（C）'X+Sy①）（加-l）Sx+（“-l）Sy
m+n-2m+n-2
6.设乂是从总体X中取岀的简单随机样本X\、X,X”的样本均值,则乂是卩的矩估计，
如果
（A）X〜N（u,o2）（B）X服从参数为u的指数分布
（C）P（X=m）=u（l-u）ml,m=l,2,-.（D）X服从［0.u］上的均匀分布
填空题
1.假设总体X服从参数为入的泊松分布，Xj,X2，...,X”是取自总体X的简单随机样本，苴
均值、方差分别为乂，S2,如果A=aX+（2-3a）S2为X的无偏估计，则尸。
2.已知玄、玄为未知参数0的两个无偏估计，且瓦与玄不相关，D^=4D02,如果
玄=叔+bO2也是0的无偏估计，且是&、玄所有同类型线性组合无偏估计中有最小方差
的，贝9a=,b=o
■
3•设总体X的概率密度为/（对」％7严‘°0,其它，
4.设X「X”..,X”是取自总体X的简单随机样本，且EX=u,DX=«2,其均值、方差分别为
X,S2,则当c=时，（X）2-cS2是昭的无偏估计。
5.设X|,X2，...,X”是取自总体X的简单随机样本，且EX=u,DX=ga^X;+b（X）2的
/-!
数学期望等于02,则a=.b=0
解答题
1.设总体X的概率密度为门兀）=［9+1）〃’其中0>-1是未知参数，
0,其它，
X1^2,...,Xn是来自总体X的一个容量为n的简单随机样本，分别用矩估计法和最大似然估
计法求0的估计量。
2•设某种元件的使用寿命X的概率密度为/◎）='"一①其中（）>0是未知参
0,其它，
数，X】,X2,・・・,Xn是来自总体X的一组样本观测值，求0的最大似然估计量。
3•设总体X的概率分布为
X
0
1
2
3
P
02
20（1-0）
02
1-20
其中（）（0<0<1/2）是未知参数，利用总体X的如下样本值：
3,1,3,0,3,1,2,3,求（）的矩估汁值和最大似然估汁值。
4•设某种元件的寿命X（单位：
小时）服从双参数的指数分布，其概率密度为
x"其中（），u（>0）为未知参数。
其它，
自一批这种藩件中随取n件进行寿命试验，设它们的失效时间分别为X】，X?
・•・，X.,求（），
U的最大似然估计量。
-（工―Y
5•设总体X的概率密度为门工&）=丿’’0为未知参数，X「X2，・・・，X“为取
0,其它，
"—"1
自X的一个样本，证明：
q=X—l,2=min{X］，…,X,,}一一是0的两个无偏估计量，并比较哪个更有效。
6x
6.设总体X的概率密度为/（兀；&）=、歹（&一尤人°vxv&0为未知参数，
0,其它，
xHx2,..,x„为取自X的一个样本，
（1）求0的矩估计量3；
（2）求6的方差D0：
（3）讨论$的无偏性。
7.某人作独立重复射击，每次击中目标的槪率为p,他在第X次射击时，首次击中目标。
（1）试写出X的分布律：
（2）以此X为总体，从中抽取简单随机样本X|,X2，.・.,X”，试求未知参数p的矩估计量和最大似然估计量。
8.设从均值为u,方差为。
2的总体中分别抽取容量为小，山的两个独立样本，样本均值分别为乂和卩。
试证：
对于任意满足条件a+b=l的常数a和b,T=aX+bY是u的无偏估计量，并确述a,b,使得方差DT达到最小。
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