如何培养孩子几何空间思维.docx

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如何培养孩子几何空间思维

如何培养孩子的几何空间思维

几何初步知识是小学数学的主要内容之一，通过对几何图形最基础的知识的教学，使学生逐步形成简单几何形体的形状、大小和相互位置关系的表象，能够识别所学的几何形体，并能根据几何形体的名称再现它们的表象，培养初步的空间观念。

学生对几何形体特征的理解，对周长、面积、体积的计算，往往是离开了这些几何实体，而依赖于头脑中对物体的形状、大小和相互位置关系的形象的反映，这就要求学生具有一定的空间观念。

因此，我们在进行几何初步知识的教学时，要充分利用各种条件，运用各种手段，引导学生通过对物体、模型、图形的观察、测量、拼摆、画图、制作、实验等活动，让学生获取和运用几何初步知识，并在运用几何初步知识的过程中培养初步的空间观念。

　　本文就这一问题，谈一些粗浅的看法。

一、通过观察、演示、操作等感知活动，使学生逐步形成几何形体的表象

　　要认识几何形体，必须理解几何形体的本质属性，形成正确、清晰的几何概念。

几何概念是人们在长期的生活、生产实践中，通过对大量的现实世界的空间形式进行高度的抽象概括后得到的。

所以我们要重视引导学生进行观察等感知活动，使学生形成几何形体的表象，得到正确清晰的几何概念。

　　例如怎样认识长方体和正方体？

教材没有给长方体下定义，而是通过课本中图形的观察，指出某些物体的形状是长方体。

但是由6个面、12条棱、8个顶点所组成的立体不一定都是长方体，所以在教学时，就要拿出学生熟悉的日常生活中的实物，如装食品的纸盒、铅笔盒、保健箱等，引导学生仔细观察这些实物的面、棱、顶点的情况。

然后把作为教具的空纸盒展开成平面图（相对的面和相对的棱课前分别涂上不同的颜色，见图47），让学生观察、比较一下，着重加深对长方体的“6个面都是长方形（也可能有两个相对的面是正方形），相对的面的面积相等”、“相对的棱的长度相等”的认识，使具体事物的形象在头脑里得到全面的反映，从而使学生对长方体的理解更加深刻。

接着再引入正方体的知识，学生通过对实物和平面展开图的观察，突出正方体这一属概念所具有的，区别于其它属概念的性质是长、宽、高都相等，并且能了解正方体和长方体之间的关系。

　　有些几何形体的概念，不仅要借助教具的演示，而且还要通过学生自己动手实际操作和测量，来理解它的本质涵义。

例如“体积”的概念，本身是抽象的、先验性的。

教学时，教师请学生观察教室里墙角的书柜之类的物品，想一想，这块地方不把书柜搬走，还能放别的东西吗？

还可在讲桌上出示一个盛水的玻璃容器，把一块金属块放入容器中，水面为什么会上升？

通过这样的演示，使学生理解了这是因为书柜或容器中的金属块占据了一定大小的空间，把抽象的概念转换成看得到摸得着的感知活动，使学生初步理解“空间”“体积”的实际意义，获取一定的空间观念。

又如教学长方形的周长时，教师把一张长方形纸的周长贴上彩色纸条后，再拉直展开成相连的4条线段（长和宽用不同的颜色区别），让学生到黑板前实际测量后列出不同的算式计算，让学生思考：

一个长方形有几条长和几条宽？

怎样计算周长比较方便？

从而使学生获得长方形“周长”的表象，并掌握长方形周长的计算公式。

接着，让学生自己动手操作测量某些实物的长和宽，计算出它们的周长，如教室中的玻璃窗、数学课本的封面、桌面等。

　　学生要得到一个正确清晰的几何概念，需要借助于直观演示、动手操作等感知活动来完成。

如三角形面积公式的教学之前，学生对长方形、正方形、平行四边形、三角形等基本图形的表象已有所认识。

我们把所有三角形作为一个整体来看，那么，锐角三角形、直角三角形和钝角三角形便都是这个整体的一部分。

三角形面积公式的教学，教材中是通过数三角形和平行四边形的方格，再将两个锐角三角形拼摆成平行四边形来推导出面积公式。

但教师在课前让学生自行准备好的两个形状、大小完全一样的三角形，并不一定都是两个锐角三角形，因此我们在课堂上让学生自己动手拼摆时，学生完全可能由两个全等的直角三角形、锐角三角形或钝角三角形拼摆出长方形、正方形或平行四边形（见下列三组拼摆图形，图48、49、50）。

所以在公式的推导过程中，还需要考虑到知识的完整性和方法的多样性，最后再归纳推导出三角形的面积公式=底×高÷2。

二、在运用几何知识的过程中，加深学生对几何概念的理解，培养初步的空间观念

　　在学生运用几何初步知识的过程中，教师还应引导学生运用图形的分解、组合、平移、旋转等数学方法，加深对几何形体的感知，培养初步的空间观念。

　　例如，“计算图形阴影部分的面积。

”

　　学生从图形的直觉感知中，已知图51中4块小阴影部分的面积是相等的，空间观念较弱的学生一般只会从两个角度去思考，或按步就班地先算出1块阴影部分的面积，再算出4块阴影部分的面积；或者从大长方形面积里减去空白部分的面积，得到阴影部分的面积，但这样就不能两次计算十字空白交叉处的面积（2×2）。

如何化静为动，从运动的观点出发，启发学生通过想象图形中空白十字的移动，使它们变换成图52的样子，从而就可以较简便地计算出图形阴影部分的面积是（20-2）×（10-2）=144（平方米）

　　分解、组合平面图形和进行图形的变换，不仅对学习、推导平面图形的面积公式是重要的，而且在测量、计算几何图形的面积时，也有着重要的意义，可以看出学生空间知觉能力的水平。

如果学生掌握了图形的本质特征，不论图形的形状、大小、方位等如何变化，都能正确地求得解答。

　　又如下面一题，“如图53求图中两个圆的阴影部分的面积之差。

”

　　学生虽然已经学过了圆面积的求积公式，但是大圆和小圆的阴影部分的面积是不易于直接求得的。

这就需要学生具有一定的空间观念，特别是对空间关系的知觉与想象能力。

可以让学生自己动手操作，通过平移小圆或翻转小圆的实践活动，变成下面三种情况：

见图54，小圆向右平移，两圆相切，缩小相等的空白部分，同时扩大相等的阴影部分。

　　小圆向左平移，圆心重叠，扩大相等的空白部分，同时缩小相等的阴影部分。

　　小圆向左翻180°，扩大相等的空白部分，同时缩小相等的阴影部分。

　　虽然两圆的相互位置关系起了变化，阴影部分和空白部分的大小边起了变化，但是可以看出，两个圆的阴影部分的面积之差实质上就是两个圆的面积之差。

所以答案是（32-22）×3.14＝15.7（平方厘米）。

　　再如，我们在圆柱和圆锥知识教学之后，出了这样一道题目如图55：

　　“在一只底面半径是10厘米的圆柱形玻璃瓶中，水深8厘米。

要在瓶中放入长和宽都是8厘米，高是15厘米的一块铁块，

（1）如果把铁块横放在水中，水面上升几厘米？

（2）如果把铁块竖放在水中，水面上升几厘米？

（得数保留整厘米数）”

　　对此题的解答，需要引导学生实验演示，或让学生想象出铁块浸没在水中的两种情况之下的不同的形状、方位、大小，培养学生的空间观念。

　　第

（1）小题，学生容易理解把铁块横放在水中，将会全部浸没。

上升的容积就是铁块的体积。

若用算术方法解：

　　15×8×8÷（102×3.14）≈3（厘米）

　　水面上升的圆柱底面积水面上升

　　容积的高度

　　（也就是铁块体积）

　　第

（2）小题，学生首先要考虑，把铁块竖放在水中，铁块能全部浸没吗？

显然不能。

因为横放在水中，水面只上升了约3厘米，而竖放在水中，铁块的体积不变，底面积变小了，所以水面不可能上升到15厘米这一高度。

进而再考虑，把铁块竖放在水中，水面是肯定要上升的，因为有部分铁块将浸没在水中。

若用方程解：

　　解：

设把铁块竖放在水中，水面上升到x厘米。

　　102×3.14×x-82×x=102×3.14×8

　　水面上升后的浸没在水中的那水面上升前的

　　容积部分铁块的体积容积

　　x≈10

　　10-8＝2（厘米）→水面上升2厘米。

三、沟通几何知识的内在联系抓住综合运用，提高空间观念的积累水平

　　在学生掌握了部分几何知识，且具有初步的空间观念以后，如何进一步沟通几何知识的内在联系，我认为还应抓住综合运用，启发学生从多角度去思考问题，采用多种方法去解决问题，以利于提高空间观念的积累水平。

　　如在学生对于平行四边形、三角形和梯形的面积具有初步的空间观念之后，要求学生运用多种方法解答下题：

　　“求平行四边形ABCD中阴影部分的面积”。

（见图56）

　　（单位：

厘米）

　　首先，平行四边形中的阴影部分不是直接可以用求积公式计算的基本图形；其次必须先对整个图形的结构作粗略的视觉分析，找出可分解为哪几个基本图形；然后再寻找出各个小图形（基本图形）中各自隐蔽的条件。

这就要求学生具有较强的综合分析能力，具有整体的空间观念。

此题有两种解法是可取的，可以从直接相关连的有紧密联系的几何图形中计算出阴影部分的面积，并且可以减少计算步骤。

即：

解法一：

阴影部分的面积，可以从梯形ABCE的面积中减去△BCF的面积求得：

　　解法二：

阴影部分的面积，可以从△ABD的面积中减去△EFD的面积求得：

　　又如“一个底面周长和高相等的圆柱体，如果高缩短2厘米，表面积就减少12.56平方厘米，这个圆柱体的体积是多少立方厘米？

”

　　这是一道几何形体的应用题，难度较大。

对立体图形的认知（且不说是完全用文字抽象表示的应用题），光有空间知觉能力是不够的，还需要有更高水平的空间想象能力。

感知只能涉及立体图形局部的明显的部分、已知的条件，而对某些隐蔽的部分、未知的条件，必须在空间知觉的基础上，经过分析综合、抽象概括、假设推理等思维方法，产生出丰富的空间想象，才能完整全面地认识它。

并且在解题过程中，把构成几何形体的诸要素沟通起来，依赖已有的空间观念，求出答案。

此题的思考过程如下：

　　第一步：

已知条件“如果高缩短2厘米，表面积就减少12.56平方厘米”，这是假设，题目要求的问题仍然是一个底面周长和高相等的圆柱体的原有的体积是多少立方厘米。

　　第二步：

理解“表面积减少了12.56平方厘米”实质上是指减少了高为2厘米的这样一个圆柱体的侧面积。

　　第三步：

抓住底面周长、高和侧面积三者的关系，根据已知条件假设高是2厘米，侧面积（即题中所指表面积）是12.56平方厘米，就可以求出这个圆柱体的底面周长（也就是这个圆柱体的高）。

　　12.56÷2＝6.28（厘米）

　　第四步：

要求出圆柱体的体积，还必须知道底面积。

根据“半径×2×3.14=圆周长”，先求出底面半径。

　　6.28÷3.14÷2＝1（厘米）

　　第五步：

根据公式“底面积×高=体积”，最后求出圆柱体的体积。

　　12×3.14×6.28＝19.7192（立方厘米）

四、重视发散思维的训练开阔解题思路，发展学生的空间观念

　　数学研究中有两种思维，一种是收敛思维，又称求同思维或集中思维。

收敛思维是从若干已知条件中探求同一解题方法的思维过程，思维方向集中于同一方面，即向同一方向进行思考。

这种思维形式能使学生的思维条理化、逻辑化、严密化，是培养学生理解和掌握知识所必不可少的。

另一种是发散思维，又称求异思维。

发散思维是从同样的已知条件中探求不同的（包括奇异的）解题方法的思维过程，思维方向分散于不同方面，即向不同方向进行思考。

这种思维形式能使学生的思维活跃、灵活，具有创新意识。

　　在几何知识的教学中，我们根据学生的知识层次、实际水平，设计出一些数学题目，有目的、有计划地对学生进行发散思维的训练，对于开发学生的智力，活跃解题思路，发展学生的空间观念，仍然是十分必要的。

下面略举两例，作些说明。

　　例如图57是由一个长5厘米、宽3厘米的长方形和一个边长为3厘米的正方形组成，你能用多少种方法求出阴影部分的面积？

　　这道题的问题只有一个，即求出阴影部分的面积。

学生通过“割”“补”“移”的方法，思维向多方向扩展，从而得到以下一些解法：

（1）阴影三角形加上阴影梯形。

（2）从整个图形中减去空白三角形。

　　5×3+3×3-（3+3）×5÷2＝9（平方厘米）

　　（3）添辅助线，从三角形中减去一个长方形。

（见图58）

　　6×5÷2-3×（5-3）＝9（平方厘米）

　　（4）阴影三角形旋转到空白三角形位置，则正方形面积就是阴影部分面积（见图59）。

　　3×3＝9（平方厘米）

　　例如某铁路线上，在起点和终点之间原有7个车站（包括起点站和终点站），现在新增加了3个车站。

铁路上两站之间往返的车票不一样。

这样，需要增加几种不同的车票？

　　这道题目可启发学生按照文字叙述的题意先构思出图形（一条直线上有若干个点，求点与点之间的线段数）。

学生一般的解法是利用求几个连续数

需要增加90-42＝48（种）车票。

但我们在教学中，还应该启发学生寻求最佳解法，让学生凭直觉、猜想等思维形式和方法，充分发挥空间想象的能力，以求得最优的解答方法。

可以这样设想：

（1）原来有7个车站，如果增加1个车站，应该增加几种车票（如图60）？

　　7×2＝14（种）

（2）现在有3个车站了，如果再增加1个车站，又应该增加几种车票？

（想象图，仿图60，略）

　　8×2=16（种）

　　（3）已经有9个车站了，如果再增加1个车站，又应该增加几种车票？

（想象图，仿图60，略）

　　9×2＝18（种）

　　（4）这样，一共新增加了3个车站，增加了几种不同的车票呢？

　　14+16+28＝48（种）

　　所以此题的解答，只要列出下面的算式就可以了：

14+16+18＝48（种），或（7+8+9）×2＝48（种）。

五、在培养学生初步空间观念的教学活动中，应注意的两个问题

　　首先，应根据不同层次水平的学生，精心设计练习。

　　发展学生的空间观念，要求教师根据学生现有的几何知识水平，坚持由浅入深，由易到难的原则，精心设计出适合于不同层次水平的学生练习的题目。

形式上，也可以采用系列题组的形式出现。

练习时，应从学生的实际水平出发，对于大部分学生可要求完成一些基本题（A题）和综合题（B题），以达到教材的基本要求；对于优等生，可以让他们做一些灵活题（C题），使思维更加活跃和发展，使他们的空间观念达到一个新的境界。

这里略举几组题目，以作抛砖引玉之用（见附表）。

　　其次，练习题的设计编写，或引用现成的几何题目时，要注意数据的科学性。

　　例如，有这样三道题目：

　　1.用40厘米长的一根铁丝，围成一个最大的长方形，长是12厘米，宽是多少厘米？

　　2.选择适当的底和高，分别算出图61，图62两图形的面积。

（单位：

厘米）

　　3.求图63中直角梯形中阴影部分的面积。

　　（单位：

厘米）

　　这三道题目的命题都是错误的，也就是说，题目中的有关数据均不确切，不符合实际情况。

第1题，要求围成的是一个最大的长方形，且长已确定为12厘米，那么宽只能是8厘米，无选择余地。

但事实是，若在整厘米数范围内计算，长应该是11厘米，宽是9厘米，围成的长方形的面积最大，是99平方厘米；若在小数范围内计算，长应该是10.1，10.01，10.001，……相应的宽应该是9.9，9.99，9.999，……长和宽都应该是一个无限迫近10的循环小数。

第2题中的第

（1）小题（见图61），找出底边和相对应的高后，用两种方法求出的平行四边形的面积应该是一样的，但实际上计算的结果却不相同：

第

（2）小题（见图62），编写者忽视了“两条平行线之间所作的几条线段中，以和平行线垂直的线段最短。

”这一重要性质，斜线的数据5厘米小于垂线的数据6厘米。

第3题是要求出直角梯形中阴影部分的面积，解法一：

阴影部分的面积，从三角形ACD的面积中减去三角形AOD

但为什么计算的结果不相同呢？

　　原来问题发生在题中的数据不符合科学性。

据图可知△AOD∽△BOC，

FO＝1.6厘来，那么EO的长度应该是1.2厘米而不应该是1厘米。

改正数据之后，两种解法的得数就相同了。

　　总之，学生必须以掌握几何形体的基本知识为基础，并在运用几何初步知识的过程中逐步形成、加深、提高和发展空间观念。

同时，有赖于我们教师的精心指导和培养。