高三数学教案数学圆锥曲线最经典题型教案.docx
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高三数学教案数学圆锥曲线最经典题型教案
高三数学教案：
数学圆锥曲线最经典题型教案
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学教案：
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本文题目：
高三数学教案：
数学圆锥曲线最经典题型教案
第一定义、第二定义、双曲线渐近线等考查
1、（2010辽宁理数）设双曲线的个焦点为F;虚轴的个端点为B，如果直线
FB与该双曲线的一条渐
近线垂直，那幺此双曲线的离心率为
（A）（B）（C）（D）
【答案】D
2、（2010辽宁理数）设抛物线y2=8x的焦点为F，准线为l,P为抛物线上一
点,PA⊥l,A为垂足.如果直线AF的斜率为,那幺|PF|=
（A）（B）8（C）（D）16
【答案】B
3、（2010上海文数）8.动点到点的距离与它到直线的距离相等，则的轨
迹方程为y28x。
4、（2010全国卷2理数）（15）已知抛物线的准线为，过且斜率为的直线
与相交于点，与的一个交点为.若，则.
若双曲线-=1（b>0）的渐近线方程式为y=，则b等于 。
【答案】1
5、已知椭圆的两焦点为,点满足,则||+|的取值范围为_______，直线
与椭圆C的公共点个数_____。
6、已知点P是双曲线右支上一点，、分别是双曲线的左、右焦点，I为
的内心，若成立，则双曲线的离心率为（▲）
A.4B.C.2D.
8、（2010重庆理数）（10）到两互相垂直的异面直线的距离相等的点，在过其
中一条直线且平行于另一条直线的平面内的轨迹是
A.直线B.椭圆C.抛物线D.双曲线
解析：
排除法轨迹是轴对称图形，排除A、C，轨迹与已知直线不能有交
点，排除B
9、（2010四川理数）椭圆的右焦点，其右准线与轴的交点为A，在椭圆
上存在点P满足线段AP的垂直平分线过点，则椭圆离心率的取值范围是
（A）（B）（C）（D）
解析：
由题意，椭圆上存在点P，使得线段AP的垂直平分线过点，
即F点到P点与A点的距离相等
而|FA|=
|PF|∈[a-c,a+c]
于是∈[a-c,a+c]
即ac-c2小于等于b2小于等于ac+c2
∴
又e∈（0,1）
故e∈
答案：
D
10、（2010福建理数）若点O和点分别是双曲线的中心和左焦点,点P为双
曲线右支上的任意一点,则的取值范围为（）
A.B.C.D.
【答案】B
11、（北京市海淀区2010年4月高三第一次模拟考试理科试题）已知有公共
焦点的椭圆与双曲线中心为原点，焦点在轴上，左右焦点分别为，且它们
在第一象限的交点为P，是以为底边的等腰三角形.若，双曲线的离心率的
取值范围为.则该椭圆的离心率的取值范围是.
12、（2010年4月北京市西城区高三抽样测试理科）已知双曲线的左顶点
为，右焦点为，为双曲线右支上一点，则的最小值为___________.
13、（北京市东城区2010届高三第二学期综合练习理科）直线过双曲线的
右焦点且与双曲线的两条渐近线分别交于，两点，若原点在以为直径的圆
外，则双曲线离心率的取值范围是.
14、（2010全国卷1文数）已知、为双曲线C:
的左、右焦点，点P在C
上，∠=，则
（A）2（B）4（C）6（D）8
15、（2010全国卷1理数）（9）已知、为双曲线C:
的左、右焦点，点P在
C上，∠P=，则P到x轴的距离为
（A）（B）（C）（D）
16、（2010重庆理数）（14）已知以F为焦点的抛物线上的两点A、B满足,
则弦AB的中点到准线的距离为___________.
解析：
设BF=m,由抛物线的定义知
中，AC=2m,AB=4m,
直线AB方程为
与抛物线方程联立消y得
所以AB中点到准线距离为
17、（2010上海文数）已知椭圆的方程为，、和为的三个顶点.
（1）若点满足，求点的坐标;
（2）设直线交椭圆于、两点，交直线于点.若，证明：
为的中点;
（3）设点在椭圆内且不在轴上，如何构作过中点的直线，使得与椭
圆的两个交点、满足?
令，，点的坐标是（-8，-1），若椭圆上的点、
满足，求点、的坐标.
解析：
（1）;
（2）由方程组，消y得方程，
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“高三数学教
案：
高考数学抛物线复习教案”希望能为您的提供到帮助。
本文题目：
高三数学教案：
高考数学抛物线复习教案
1抛物线的定义：
平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的
轨迹叫做抛物线，定点F叫做抛物线的焦点，定直线l叫做抛物线的准线.
2抛物线的图形和性质：
①顶点是焦点向准线所作垂线段中点。
②焦准距：
③通径：
过焦点垂直于轴的弦长为。
④顶点平分焦点到准线的垂线段：
。
⑤焦半径为半径的圆：
以P为圆心、FP为半径的圆必与准线相切。
所有这
样的圆过定点F、准线是公切线。
⑥焦半径为直径的圆：
以焦半径FP为直径的圆必与过顶点垂直于轴的直
线相切。
所有这样的圆过定点F、过顶点垂直于轴的直线是公切线。
⑦焦点弦为直径的圆：
以焦点弦PQ为直径的圆必与准线相切。
所有这样
的圆的公切线是准线。
3抛物线标准方程的四种形式：
4抛物线的图像和性质：
①焦点坐标是：
，
②准线方程是：
。
③焦半径公式：
若点是抛物线上一点，则该点到抛物线的焦点的距离（称
为焦半径）是：
，
④焦点弦长公式：
过焦点弦长
⑤抛物线上的动点可设为P或或P
5一般情况归纳：
方程图象焦点准线定义特征
y2=kxk>0时开口向右（k/4,0）x=─k/4到焦点（k/4,0）的距离等于到准线x=
─k/4的距离
kx2=kyk>0时开口向上（0,k/4）y=─k/4到焦点（0,k/4）的距离等于到准线y=
─k/4的距离
k抛物线的定义：
例1：
点M与点F（-4，0）的距离比它到直线l：
x-6=0的距离4.2，求点M
的轨迹方程.
分析：
点M到点F的距离与到直线x=4的距离恰好相等，符合抛物线定
义.
答案：
y2=-16x
例2：
斜率为1的直线l经过抛物线y2=4x的焦点，与抛物线相交于点A、
B，求线段A、B的长.
分析：
这是灵活运用抛物线定义的题目.基本思路是：
把求弦长AB转化为
求A、B两点到准线距离的和.
解：
如图8-3-1，y2=4x的焦点为F（1，0），则l的方程为y=x-1.
由消去y得x2-6x+1=0.
设A（x1，y1），B（x2，y2）则x1+x2=6.
又A、B两点到准线的距离为，，则
点评：
抛物线的定义本身也是抛物线最本质的性质，在解题中起到至关重
要的作用。
例3:
（1）已知抛物线的标准方程是y2=10x，求它的焦点坐标和准线方程;
（2）已知抛物线的焦点是F（0，3）求它的标准方程;
（3）已知抛物线方程为y=-mx2（m>0）求它的焦点坐标和准线方程;
（4）求经过P（-4，-2）点的抛物线的标准方程;
分析：
这是为掌握抛物线四类标准方程而设计的基础题，解题时首先分清
属哪类标准型，再录求P值（注意p>0）.特别是（3）题，要先化为标准形式：
，
则.（4）题满足条件的抛物线有向左和向下开口的两条，因此有两解.
答案：
（1），.
（2）x2=12y（3），;（4）y2=-x或x2=-8y.
例4求满足下列条件的抛物线的标准方程，并求对应抛物线的准线方程：
（1）过点（-3，2）;
（2）焦点在直线x-2y-4=0上
分析：
从方程形式看，求抛物线的标准方程仅需确定一个待定系数p;从实
际分析，一般需确定p和确定开口方向两个条件，否则，应展开相应的讨论
解：
（1）设所求的抛物线方程为y2=-2px或x2=2py（p>0），
∵过点（-3，2），
∴4=-2p（-3）或9=2p•2
∴p=或p=
∴所求的抛物线方程为y2=-x或x2=y，前者的准线方程是x=，后
者的准线方程是y=-
（2）令x=0得y=-2，令y=0得x=4，
∴抛物线的焦点为（4，0）或（0，-2）
当焦点为（4，0）时，=4，
∴p=8，此时抛物线方程y2=16x;
焦点为（0，-2）时，=2，
∴p=4，此时抛物线方程为x2=-8y
∴所求的抛物线的方程为y2=16x或x2=-8y，
对应的准线方程分别是x=-4，y=2
常用结论
①过抛物线y2=2px的焦点F的弦AB长的最小值为2p
②设A（x1，y），1B（x2，y2）是抛物线y2=2px上的两点，则AB过F的
充要条件是y1y2=-p2
③设A，B是抛物线y2=2px上的两点，O为原点，则OA⊥OB的
充要条件是直线AB恒过定点（2p，0）
例5：
过抛物线y2=2px（p>0）的顶点O作弦OA⊥OB，与抛物线分别
交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，求证：
y1y2=-4p2.
分析：
由OA⊥OB，得到OA、OB斜率之积等于-1，从而得到x1、
x2，y1、y2之间的关系.又A、B是抛物线上的点，故（x1，y1）、（x2，y2）满
足抛物线方程.从这几个关系式可以得到y1、y2的值.
证：
由OA⊥OB，得，即y1y2=-x1x2，又，，所以：
，即.而
y1y2≠0.所以y1y2=-4p2.
弦的问题
例1A,B是抛物线y2=2px（p>0）上的两点，满足OAOB（O为坐标
原点）求证：
（1）A,B两点的横坐标之积，纵坐标之积为定值;
（2）直线AB经过一个定点
（3）作OMAB于M，求点M的轨迹方程
解：
（1）设A（x1,y1）,B（x2,y2）,则y12=2px1,y22=2px2,
∴y12y22=4p2x1x2,
∵OAOB,∴x1x2+y1y2=0,
由此即可解得：
x1x2=4p2,y1y2=─4p2（定值）
（2）直线AB的斜率k===,
∴直线AB的方程为y─y1=（x─）,
即y（y1+y2）─y1y2=2px,由
（1）可得y=（x─2p）,
直线AB过定点C（2p,0）
（3）解法1:
设M（x,y）,由
（2）知y=（x─2p）（i）,
又ABOM,故两直线的斜率之积为─1,即•=─1（ii）
由（i）,（ii）得x2─2px+y2=0（x0）
解法2:
由OMAB知点M的轨迹是以原点和点（2p,0）为直径的圆
（除去原点）立即可求出
例2定长为3的线段AB的两个端点在抛物线y2=x上移动，AB的中点为
M，求点M到y轴的最短距离，并求此时点M的坐标
解：
如图，设A（x1,y1）,B（x2,y2）,M（x,y）,则x=,y=,
又设点A，B，M在准线:
x=─1/4上的射影分别为A/,B/,M/,MM/与y轴的
交点为N，
则|AF|=|AA/|=x1+,|BF|=|BB/|=x2+,
∴x=（x1+x2）=（|AF|+|BF|─）（|AB|─）=
等号在直线AB过焦点时成立，此时直线AB的方程为y=k（x─）
由得16k2x2─8（k2+2）x+k2=0
依题意|AB|=|x1─x2|=乘以==3,
∴k2=1/2,此时x=（x1+x2）==
∴y=±即M（,）,N（,─）
例3设一动直线过定点A（2,0）且与抛物线相交于B、C两点,点B、C在
轴上的射影分别为,P是线段BC上的点,且适合,求的重心Q的轨迹方程,
并说明该轨迹是什幺图形
解析:
设,
,
由得
①
又代入①式得②
由得代入②式得:
由得或,又由①式知关于是减函数且
,且
所以Q点轨迹为一线段（抠去一点）:
（且）
例4已知抛物线,焦点为F,一直线与抛物线交于A、B两点,且,且AB的
垂直平分线恒过定点S（6,0）
①求抛物线方程;②求面积的最大值
解:
①设,AB中点
由得
又得
所以依题意,
抛物线方程为
②由及,
令得
又由和得:
例5定长为3的线段AB的两个端点在抛物线y2=x上移动，AB的中点为
M，求点M到y轴的最短距离，并求此时点M的坐标
解：
如图，设A（x1,y1）,B（x2,y2）,M（x,y）,则x=,y=,
又设点A，B，M在准线:
x=─1/4上的射影分别为A/,B/,M/,MM/与y轴的
交点为N，
则|AF|=|AA/|=x1+,|BF|=|BB/|=x2+,
∴x=（x1+x2）=（|AF|+|BF|─）（|AB|─）=
等号在直线AB过焦点时成立，此时直线AB的方程为y=k（x─）
由得16k2x2─8（k2+2）x+k2=0
依题意|AB|=|x1─x2|=乘以==3,
∴k2=1/2,此时x=（x1+x2）==
∴y=±即M（,）,N（,─）
综合类（几何）
例1过抛物线焦点的一条直线与它交于两点P、Q，通过点P和抛物线顶
点的直线交准线于点M，如何证明直线MQ平行于抛物线的对称轴?
解：
思路一：
求出M、Q的纵坐标并进行比较，如果相等，则MQ//x轴，
为此，将方程联立，解出
直线OP的方程为即
令，得M点纵坐标得证.
由此可见，按这一思路去证，运算较为繁琐.
思路二：
利用命题“如果过抛物线的焦点的一条直线和这条抛物线相交，
两上交点的纵坐标为、，那幺”来证.
设、、，并从及中消去x，得到，则有结论，即.
又直线OP的方程为，，得.
因为在抛物线上，所以.
从而.
这一证法运算较小.
思路三：
直线MQ的方程为的充要条件是.
将直线MO的方程和直线QF的方程联立，它的解（x,y）就是点P的坐
标，消去的充要条件是点P在抛物线上，得证.这一证法巧用了充要条件来
进行逆向思维，运算量也较小.
说明：
本题中过抛物线焦点的直线与x轴垂直时（即斜率不存在），容易证
明成立.
例2已知过抛物线的焦点且斜率为1的直线交抛物线于A、B两点，点
R是含抛物线顶点O的弧AB上一点，求△RAB的最大面积.
分析：
求RAB的最大面积，因过焦点且斜率为1的弦长为定值，故可以
为三角形的底，只要确定高的最大值即可.
解：
设AB所在的直线方程为.
将其代入抛物线方程，消去x得
当过R的直线l平行于AB且与抛物线相切时，△RAB的面积有最大值.
设直线l方程为.代入抛物线方程得
由得，这时.它到AB的距离为
∴△RAB的最大面积为.
例3直线过点，与抛物线交于、两点，P是线段的中点，直线过
P和抛物线的焦点F，设直线的斜率为k.
（1）将直线的斜率与直线的斜率之比表示为k的函数;
（2）求出的定义域及单调区间.
分析：
过点P及F，利用两点的斜率公式，可将的斜率用k表示出来，
从而写出，由函数的特点求得其定义域及单调区间.
解：
（1）设的方程为：
，将它代入方程，得
设，则
将代入得：
，即P点坐标为.
由，知焦点，∴直线的斜率
∴函数.
（2）∵与抛物线有两上交点，∴且
解得或
∴函数的定义域为
当时，为增函数.
例4如图所示：
直线l过抛物线的焦点，并且与这抛物线相交于A、B两
点，求证：
对于这抛物线的任何给定的一条弦CD，直线l不是CD的垂直平
分线.
分析：
本题所要证的命题结论是否定形式，一方面可根据垂直且平分列方
程得矛盾结论;别一方面也可以根据l上任一点到C、D距离相等来得矛盾结
论.
证法一：
假设直线l是抛物线的弦CD的垂直平方线，因为直线l与抛物线
交于A、B两点，所以直线l的斜率存在，且不为零;直线CD的斜率存在，
且不为0.
设C、D的坐标分别为与.则
∴l的方程为
∵直线l平分弦CD
∴CD的中点在直线l上，
即，化简得：
由知得到矛盾，所以直线l不可能是抛物线的弦CD的垂直平分线.
证法二：
假设直线l是弦CD的垂直平分线
∵焦点F在直线l上，∴
由抛物线定义，到抛物线的准线的距离相等.
∵，
∴CD的垂直平分线l：
与直线l和抛物线有两上交点矛盾，下略.
例5设过抛物线的顶点O的两弦OA、OB互相垂直，求抛物线顶点O
在AB上射影N的轨迹方程.
分析：
求与抛物线有关的轨迹方程，可先把N看成定点;待求得的关系后
再用动点坐标来表示，也可结合几何知识，通过巧妙替换，简化运算.
解法一：
设
则：
，
，即
，①
把N点看作定点，则AB所在的直线方程为：
显然
代入化简整理得：
，②
由①、②得：
，化简得
用x、y分别表示得：
解法二：
点N在以OA、OB为直径的两圆的交点（非原点）的轨迹上，
设，则以OA为直径的圆方程为：
①
设，OA⊥OB，则
在求以OB为直径的圆方程时以代，可得
②
由①+②得：
例6如图所示，直线和相交于点M，⊥，点，以A、B为端点的
曲线段C上的任一点到的距离与到点N的距离相等，若△AMN为锐角三角
形，，，且，建立适当的坐标系，求曲线段C的方程.
分析：
因为曲线段C上的任一点是以点N为焦点，以为准线的抛物线的
一段，所以本题关键是建立适当坐标系，确定C所满足的抛物线方程.
解：
以为x轴，MN的中点为坐标原点O，建立直角坐标系.
由题意，曲线段C是N为焦点，以为准线的抛物线的一段，其中A、B
分别为曲线段的两端点.
∴设曲线段C满足的抛物线方程为：
其中、为A、B的横坐标
令则，
∴由两点间的距离公式，得方程组：
解得或
因为直线交椭圆于、两点，
所以>0，即，
设C（x1,y1）、D（x2,y2），CD中点坐标为（x0,y0），
则，
由方程组，消y得方程（k2k1）xp，
又因为，所以，
故E为CD的中点;
（3）因为点P在椭圆Γ内且不在x轴上，所以点F在椭圆Γ
内，可以求得直线OF的斜率k2，由知F为P1P2的中点，根据
（2）可得直线
l的斜
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