高三数学教案数学圆锥曲线最经典题型教案.docx

1、高三数学教案数学圆锥曲线最经典题型教案高三数学教案：数学圆锥曲线最经典题型教案【摘要】欢迎来到高三数学教案栏目，教案逻辑思路清晰，符合认识规律,培养学生自主学习习惯和能力。因此小编在此为您编辑了此文：“高三数学教案：数学圆锥曲线最经典题型教案”希望能为您的提供到帮助。本文题目：高三数学教案：数学圆锥曲线最经典题型教案第一定义、第二定义、双曲线渐近线等考查1、(2010 辽宁理数)设双曲线的个焦点为 F;虚轴的个端点为 B，如果直线FB 与该双曲线的一条渐近线垂直，那幺此双曲线的离心率为(A) (B) (C) (D)【答案】D2、(2010 辽宁理数)设抛物线 y2=8x 的焦点为 F，准线为

2、l,P 为抛物线上一点,PA⊥l,A 为垂足.如果直线 AF 的斜率为 ,那幺|PF|=(A) (B)8 (C) (D) 16【答案】B3、(2010 上海文数)8.动点 到点 的距离与它到直线 的距离相等，则 的轨迹方程为 y28x 。4、(2010 全国卷 2 理数)(15)已知抛物线 的准线为 ，过 且斜率为 的直线与 相交于点 ，与 的一个交点为 .若 ，则 .若双曲线 - =1(b0)的渐近线方程式为 y= ，则 b 等于。【答案】15、已知椭圆 的两焦点为 ,点 满足 ,则| |+ |的取值范围为_，直线与椭圆 C 的公共点个数_。6、已知点 P 是双曲线

3、 右支上一点， 、分别是双曲线的左、右焦点，I 为的内心，若 成立，则双曲线的离心率为( )A.4 B. C.2 D.8、(2010 重庆理数)(10)到两互相垂直的异面直线的距离相等的点，在过其中一条直线且平行于另一条直线的平面内的轨迹是A. 直线 B. 椭圆 C. 抛物线 D. 双曲线解析：排除法 轨迹是轴对称图形，排除 A、C，轨迹与已知直线不能有交点 ，排除 B9、(2010 四川理数)椭圆 的右焦点 ，其右准线与 轴的交点为 A，在椭圆上存在点 P 满足线段 AP 的垂直平分线过点 ，则椭圆离心率的取值范围是(A) (B) (C) (D)解析：由题意，椭圆上存在点 P，使得线段 AP

4、 的垂直平分线过点 ，即 F 点到 P 点与 A 点的距离相等而|FA|=|PF|∈a-c,a+c于是 ∈a-c,a+c即 ac-c2 小于等于 b2 小于等于 ac+c2∴又 e∈(0,1)故 e∈答案：D10、(2010 福建理数)若点 O 和点 分别是双曲线 的中心和左焦点,点 P 为双曲线右支上的任意一点,则 的取值范围为 ( )A. B. C. D.【答案】B11、(北京市海淀区 2010 年 4 月高三第一次模拟考试理科试题)已知有公共焦点的椭圆与双曲线中心为原点，焦点在 轴上，左右焦点分别为 ，且它们在第一象限的交点为 P，

5、是以 为底边的等腰三角形.若 ，双曲线的离心率的取值范围为 .则该椭圆的离心率的取值范围是 .12、(2010 年 4 月北京市西城区高三抽样测试理科) 已知双曲线 的左顶点为 ，右焦点为 ， 为双曲线右支上一点，则 的最小值为_.13、(北京市东城区 2010 届高三第二学期综合练习理科)直线 过双曲线 的右焦点且与双曲线的两条渐近线分别交于 ， 两点，若原点在以 为直径的圆外，则双曲线离心率的取值范围是 .14、(2010 全国卷 1 文数)已知 、 为双曲线 C: 的左、右焦点，点 P 在 C上，∠ = ，则(A)2 (B)4 (C) 6 (D) 815、(2010 全国卷 1

6、理数)(9)已知 、 为双曲线 C: 的左、右焦点，点 P 在C 上，∠ P = ，则 P 到 x 轴的距离为(A) (B) (C) (D)16、(2010 重庆理数)(14)已知以 F 为焦点的抛物线 上的两点 A、B 满足 ,则弦 AB 的中点到准线的距离为_.解析：设 BF=m,由抛物线的定义知中，AC=2m,AB=4m,直线 AB 方程为与抛物线方程联立消 y 得所以 AB 中点到准线距离为17、(2010 上海文数)已知椭圆 的方程为 ， 、 和 为 的三个顶点.(1)若点 满足 ，求点 的坐标;(2)设直线 交椭圆 于 、 两点，交直线 于点 .若 ，证明： 为 的中点;(

7、3)设点 在椭圆 内且不在 轴上，如何构作过 中点 的直线 ，使得 与椭圆 的两个交点 、 满足 ?令 ， ，点 的坐标是(-8，-1)，若椭圆 上的点 、满足 ，求点 、 的坐标.解析：(1) ;(2) 由方程组 ，消 y 得方程 ，【摘要】欢迎来到高三数学教案栏目，教案逻辑思路清晰，符合认识规律,培养学生自主学习习惯和能力。因此小编在此为您编辑了此文：“高三数学教案：高考数学抛物线复习教案”希望能为您的提供到帮助。本文题目：高三数学教案：高考数学抛物线复习教案1 抛物线的定义：平面内与一个定点 F 和一条定直线 l 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点 F 叫做抛物线的焦点，定直线 l 叫

8、做抛物线的准线.2 抛物线的图形和性质：顶点是焦点向准线所作垂线段中点。焦准距：通径：过焦点垂直于轴的弦长为 。顶点平分焦点到准线的垂线段： 。焦半径为半径的圆：以 P 为圆心、FP 为半径的圆必与准线相切。所有这样的圆过定点 F、准线是公切线。焦半径为直径的圆：以焦半径 FP 为直径的圆必与过顶点垂直于轴的直线相切。所有这样的圆过定点 F、过顶点垂直于轴的直线是公切线。焦点弦为直径的圆：以焦点弦 PQ 为直径的圆必与准线相切。所有这样的圆的公切线是准线。3 抛物线标准方程的四种形式：4 抛物线 的图像和性质：焦点坐标是： ，准线方程是： 。焦半径公式：若点 是抛物线 上一点，则该点到抛物线的

9、焦点的距离(称为焦半径)是： ，焦点弦长公式：过焦点弦长抛物线 上的动点可设为 P 或 或 P5 一般情况归纳：方程 图象 焦点 准线 定义特征y2=kx k0 时开口向右 (k/4,0) x= k/4 到焦点(k/4,0)的距离等于到准线 x=k/4 的距离kx2=ky k0 时开口向上 (0,k/4) y= k/4 到焦点(0,k/4)的距离等于到准线 y=k/4 的距离k 抛物线的定义：例 1：点 M 与点 F (-4，0)的距离比它到直线 l：x-6=0 的距离 4.2，求点 M的轨迹方程.分析：点 M 到点 F 的距离与到直线 x=4 的距离恰好相等，符合抛物线定义.答案：y2=-1

10、6x例 2：斜率为 1 的直线 l 经过抛物线 y2=4x 的焦点，与抛物线相交于点 A、B，求线段 A、B 的长.分析：这是灵活运用抛物线定义的题目.基本思路是：把求弦长 AB 转化为求 A、B 两点到准线距离的和.解：如图 8-3-1，y2=4x 的焦点为 F (1，0)，则 l 的方程为 y=x-1.由 消去 y 得 x2-6x+1=0.设 A (x1，y1)，B (x2，y2) 则 x1+x2=6.又 A、B 两点到准线的距离为 ， ，则点评：抛物线的定义本身也是抛物线最本质的性质，在解题中起到至关重要的作用。例 3:(1) 已知抛物线的标准方程是 y2=10x，求它的焦点坐标和准线方

11、程;(2) 已知抛物线的焦点是 F (0，3)求它的标准方程;(3) 已知抛物线方程为 y=-mx2 (m0)求它的焦点坐标和准线方程;(4) 求经过 P (-4，-2)点的抛物线的标准方程;分析：这是为掌握抛物线四类标准方程而设计的基础题，解题时首先分清属哪类标准型，再录求 P 值(注意 p0).特别是(3)题，要先化为标准形式： ，则 .(4)题满足条件的抛物线有向左和向下开口的两条，因此有两解.答案：(1) ， .(2) x2=12y (3) ， ;(4) y2=-x 或 x2=-8y.例 4 求满足下列条件的抛物线的标准方程，并求对应抛物线的准线方程：(1)过点(-3，2);(2)焦点

12、在直线 x-2y-4=0 上分析：从方程形式看，求抛物线的标准方程仅需确定一个待定系数 p;从实际分析，一般需确定 p 和确定开口方向两个条件，否则，应展开相应的讨论解：(1)设所求的抛物线方程为 y2=-2px 或 x2=2py(p0)，过点(-3，2)，∴4=-2p(-3)或 9=2p•2∴p= 或 p=∴所求的抛物线方程为 y2=- x 或 x2= y，前者的准线方程是 x= ，后者的准线方程是 y=-(2)令 x=0 得 y=-2，令 y=0 得 x=4，∴抛物线的焦点为(4，0)或(0，-2)当焦点为(4，0)时， =

13、4，∴p=8，此时抛物线方程 y2=16x;焦点为(0，-2)时， =2，∴p=4，此时抛物线方程为 x2=-8y∴所求的抛物线的方程为 y2=16x 或 x2=-8y，对应的准线方程分别是 x=-4，y=2常用结论 过抛物线 y2=2px 的焦点 F 的弦 AB 长的最小值为 2p 设 A(x1，y)， 1B(x2，y2)是抛物线 y2=2px 上的两点， 则 AB 过 F 的充要条件是 y1y2=-p2 设 A， B 是抛物线 y2=2px 上的两点，O 为原点， 则 OA⊥OB 的充要条件是直线 AB 恒过定点(2p，0)例 5：过抛物

14、线 y2=2px (p0)的顶点 O 作弦 OA⊥OB，与抛物线分别交于 A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，求证：y1y2=-4p2.分析：由 OA⊥OB，得到 OA、OB 斜率之积等于-1，从而得到 x1、x2，y1、y2 之间的关系.又 A、B 是抛物线上的点，故(x1，y1)、(x2，y2)满足抛物线方程.从这几个关系式可以得到 y1、y2 的值.证：由 OA⊥OB，得 ，即 y1y2=-x1x2，又 ， ，所以： ，即 . 而y1y2≠0.所以 y1y2=-4p2.弦的问题例 1 A,B 是抛物线 y2=2px(p0)上的两点，满足 OA

15、1534;OB(O 为坐标原点) 求证：(1)A,B 两点的横坐标之积，纵坐标之积为定值;(2)直线 AB 经过一个定点(3)作 OMAB 于 M，求点 M 的轨迹方程解：(1)设 A(x1,y1), B(x2,y2), 则 y12=2px1, y22=2px2,∴y12y22=4p2x1x2,OAOB, ∴x1x2+y1y2=0,由此即可解得：x1x2=4p2, y1y2=4p2 (定值)(2)直线 AB 的斜率 k= = = ,∴直线 AB 的方程为 yy1= (x ),即 y(y1+y2)y1y2=2px, 由(1

16、)可得 y= (x2p),直线 AB 过定点 C(2p,0)(3)解法 1:设 M(x,y), 由(2)知 y= (x2p) (i),又 ABOM, 故两直线的斜率之积为1, 即 • = 1 (ii)由(i),(ii)得 x22px+y2=0 (x0)解法 2: 由 OMAB 知点 M 的轨迹是以原点和点(2p,0)为直径的圆(除去原点) 立即可求出例 2 定长为 3 的线段 AB 的两个端点在抛物线 y2=x 上移动，AB 的中点为M，求点 M 到 y 轴的最短距离，并求此时点 M 的坐标解：如图，设 A(x1,y1), B(x2,y

17、2),M(x,y), 则 x= , y= ,又设点 A，B，M 在准线 :x=1/4 上的射影分别为 A/,B/,M/, MM/与 y 轴的交点为 N，则|AF|=|AA/|=x1+ ,|BF|=|BB/|=x2+ ,∴x= (x1+x2)= (|AF|+|BF| ) (|AB| )=等号在直线 AB 过焦点时成立，此时直线 AB 的方程为 y=k(x )由 得 16k2x28(k2+2)x+k2=0依题意|AB|= |x1x2|= 乘以 = =3,∴k2=1/2, 此时 x= (x1+x2)= =∴y= ± 即 M( ,

18、 ), N( , )例 3 设一动直线过定点 A(2, 0)且与抛物线 相交于 B、C 两点,点 B、C 在轴上的射影分别为 , P 是线段 BC 上的点,且适合 ,求 的重心 Q 的轨迹方程,并说明该轨迹是什幺图形解析: 设 ,由 得又 代入式得 由 得 代入式得:由 得 或 , 又由式知 关于 是减函数且, 且所以 Q 点轨迹为一线段(抠去一点):( 且 )例 4 已知抛物线 ,焦点为 F,一直线 与抛物线交于 A、B 两点,且 ,且 AB 的垂直平分线恒过定点 S(6, 0)求抛物线方程; 求 面积的最大值解: 设 , AB 中点由 得又 得所以 依题意 ,抛物线方程为由 及 ,令 得又

19、由 和 得:例 5 定长为 3 的线段 AB 的两个端点在抛物线 y2=x 上移动，AB 的中点为M，求点 M 到 y 轴的最短距离，并求此时点 M 的坐标解：如图，设 A(x1,y1), B(x2,y2),M(x,y), 则 x= , y= ,又设点 A，B，M 在准线 :x=1/4 上的射影分别为 A/,B/,M/, MM/与 y 轴的交点为 N，则|AF|=|AA/|=x1+ ,|BF|=|BB/|=x2+ ,∴x= (x1+x2)= (|AF|+|BF| ) (|AB| )=等号在直线 AB 过焦点时成立，此时直线 AB 的方程为 y=k(x )由 得 1

20、6k2x28(k2+2)x+k2=0依题意|AB|= |x1x2|= 乘以 = =3,∴k2=1/2, 此时 x= (x1+x2)= =∴y= ± 即 M( , ), N( , )综合类(几何)例 1 过抛物线焦点的一条直线与它交于两点 P、Q，通过点 P 和抛物线顶点的直线交准线于点 M，如何证明直线 MQ 平行于抛物线的对称轴?解：思路一：求出 M、Q 的纵坐标并进行比较，如果相等，则 MQ/x 轴，为此，将方程 联立，解出直线 OP 的方程为 即令 ，得 M 点纵坐标 得证.由此可见，按这一思路去证，运算较为繁琐.思路二：利用命题“如果过抛物线

21、的焦点的一条直线和这条抛物线相交，两上交点的纵坐标为 、 ，那幺 ”来证.设 、 、 ，并从 及 中消去 x，得到 ，则有结论 ，即 .又直线 OP 的方程为 ， ，得 .因为 在抛物线上，所以 .从而 .这一证法运算较小.思路三：直线 MQ 的方程为 的充要条件是 .将直线 MO 的方程 和直线 QF 的方程 联立，它的解(x ,y)就是点 P 的坐标，消去 的充要条件是点 P 在抛物线上，得证.这一证法巧用了充要条件来进行逆向思维，运算量也较小.说明：本题中过抛物线焦点的直线与 x 轴垂直时(即斜率不存在)，容易证明成立.例 2 已知过抛物线 的焦点且斜率为 1 的直线交抛物线于 A、B

22、两点，点R 是含抛物线顶点 O 的弧 AB 上一点，求RAB 的最大面积.分析：求 RAB 的最大面积，因过焦点且斜率为 1 的弦长为定值，故可以为三角形的底，只要确定高的最大值即可.解：设 AB 所在的直线方程为 .将其代入抛物线方程 ，消去 x 得当过 R 的直线 l 平行于 AB 且与抛物线相切时，RAB 的面积有最大值.设直线 l 方程为 .代入抛物线方程得由 得 ，这时 .它到 AB 的距离为∴RAB 的最大面积为 .例 3 直线 过点 ，与抛物线 交于 、 两点，P 是线段 的中点，直线 过P 和抛物线的焦点 F，设直线 的斜率为 k.(1)将直线 的斜率与直线 的斜

23、率之比表示为 k 的函数 ;(2)求出 的定义域及单调区间.分析： 过点 P 及 F，利用两点的斜率公式，可将 的斜率用 k 表示出来，从而写出 ，由函数 的特点求得其定义域及单调区间.解：(1)设 的方程为： ，将它代入方程 ，得设 ，则将 代入 得： ，即 P 点坐标为 .由 ，知焦点 ，∴直线 的斜率∴函数 .(2) 与抛物线有两上交点，∴ 且解得 或∴函数 的定义域为当 时， 为增函数.例 4 如图所示：直线 l 过抛物线 的焦点，并且与这抛物线相交于 A、B 两点，求证：对于这抛物线的任何给定的一条弦 CD，直线 l 不是 CD

24、 的垂直平分线.分析：本题所要证的命题结论是否定形式，一方面可根据垂直且平分列方程得矛盾结论;别一方面也可以根据 l 上任一点到 C、D 距离相等来得矛盾结论.证法一：假设直线 l 是抛物线的弦 CD 的垂直平方线，因为直线 l 与抛物线交于 A、B 两点，所以直线 l 的斜率存在，且不为零;直线 CD 的斜率存在，且不为 0.设 C、D 的坐标分别为 与 .则∴l 的方程为直线 l 平分弦 CD∴CD 的中点 在直线 l 上，即 ，化简得：由 知 得到矛盾，所以直线 l 不可能是抛物线的弦 CD 的垂直平分线.证法二：假设直线 l 是弦 CD 的垂直平分线焦点 F

25、 在直线 l 上，∴由抛物线定义， 到抛物线的准线 的距离相等. ，∴CD 的垂直平分线 l： 与直线 l 和抛物线有两上交点矛盾，下略.例 5 设过抛物线 的顶点 O 的两弦 OA、OB 互相垂直，求抛物线顶点 O在 AB 上射影 N 的轨迹方程.分析：求与抛物线有关的轨迹方程，可先把 N 看成定点 ;待求得 的关系后再用动点坐标 来表示，也可结合几何知识，通过巧妙替换，简化运算.解法一：设则： ， 即， 把 N 点看作定点，则 AB 所在的直线方程为： 显然代入 化简整理得：， 由、得： ，化简得用 x、y 分别表示 得：解法二：点 N 在以 OA、OB 为直径

26、的两圆的交点(非原点)的轨迹上，设 ，则以 OA 为直径的圆方程为：设 ，OA⊥OB，则在求以 OB 为直径的圆方程时以 代 ，可得由+得：例 6 如图所示，直线 和 相交于点 M， ⊥ ，点 ，以 A、B 为端点的曲线段 C 上的任一点到 的距离与到点 N 的距离相等，若AMN 为锐角三角形， ， ，且 ，建立适当的坐标系，求曲线段 C 的方程.分析：因为曲线段 C 上的任一点是以点 N 为焦点，以 为准线的抛物线的一段，所以本题关键是建立适当坐标系，确定 C 所满足的抛物线方程.解：以 为 x 轴，MN 的中点为坐标原点 O，建立直角坐标系.由题意，曲线段 C 是 N

27、为焦点，以 为准线的抛物线的一段，其中 A、B分别为曲线段的两端点.∴设曲线段 C 满足的抛物线方程为： 其中 、 为 A、B 的横坐标令 则 ，∴由两点间的距离公式，得方程组：解得 或因为直线 交椭圆 于 、 两点，所以0，即 ，设 C(x1,y1)、D(x2,y2)，CD 中点坐标为(x0,y0)，则 ，由方程组 ，消 y 得方程(k2k1)xp，又因为 ，所以 ，故 E 为 CD 的中点;(3) 因为点 P 在椭圆Γ内且不在 x 轴上，所以点 F 在椭圆Γ内，可以求得直线 OF 的斜率 k2，由 知 F 为 P1P2 的中点，根据(2)可得直线l 的斜