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第三章非稳态导热分析解法

本章要紧要求：

１、重点内容：

①非稳态导热的大体概念及特点；

②集总参数法的大体原理及应用；

③一维及二维非稳态导热问题。

2、把握内容：

①确信瞬时温度场的方式；

②确信在一时刻距离内物体所传导热量的计算方式。

3、了解内容：

无穷大物体非稳态导热的大体特点。

许多工程问题需要确信：

物体内部温度场随时刻的转变，或确信其内部温度达某一极限值所需的时刻。

如：

机械启动、变更工况时，急剧的温度转变会使部件因热应力而破坏。

因此，应确信其内部的瞬时温度场。

钢制工件的热处置是一个典型的非稳态导热进程，把握工件中温度转变的速度是操纵工件热处置质量的重要因素；金属在加热炉内加热时，要确信它在炉内停留的时刻，以保证达到规定的中心温度。

§3—1非稳态导热的大体概念

一、非稳态导热

1、概念：

物体的温度随时刻而转变的导热进程称非稳态导热。

2、分类：

依照物体内温度随时刻而转变的特点不同分：

1）物体的温度随时刻的推移慢慢趋于恒定值，即：

2）物体的温度随时刻而作周期性转变

如图3-1所示，设一平壁，初值温度t0，令其左侧的表面温

度突然升高到

并维持不变，而右边仍与温度为

的空气接触，试分

析物体的温度场的转变进程。

第一，物体与高温表面靠近部份的温度专门快上升，而其余部份仍

维持原先的t0。

如图中曲线HBD，随时刻的推移，由于物体导热温度转变涉及范

围扩大，到某一时刻后，右边表面温度也慢慢升高，如图中曲线HCD、

HE、HF。

最后，那时刻达到必然值后，温度散布维持恒定，如图中曲线HG

（假设λ=const，那么HG是直线）。

由此可见，上述非稳态导热进程中，存在着右边面参与换热与不参

与换热的两个不同时期。

（1）第一时期（右边面不参与换热）

温度散布显现出部份为非稳态导热规律操纵区和部份为初始温度区的混合散布，即：

在现在期物体温度散布受t散布的阻碍较大，现在期称非正规状况时期。

（2）第二时期，（右边面参与换热）

当右边面参与换热以后，物体中的温度散布不受to阻碍，要紧取决于边界条件及物性，现在，非稳态导热进程进入到正规状况时期。

正规状况时期的温度转变规律是本章讨论的重点。

2）二类非稳态导热的区别：

前者存在着有区别的两个不同时期，而后者不存在。

3、特点；

非稳态导热进程中，在与热流量方向相垂直的不同截面上热流量不相等，这是非稳态导热区别于稳态导热的一个特点。

缘故：

由于在热量传递的途径上，物体遍地温度的转变要积聚或消耗能量，因此，在热流量传递的方向上

。

二、非稳态导热的数学模型

1、数学模型

非稳态导热问题的求解

规定的{初始条件，边界条件}下，求解导热微分方程。

2、讨论物体处于恒温介质中的第三类边界条件问题

在第三类边界条件下，确信非稳态导热物体中的温度转变特点与边界条件参数的关系。

已知：

平板厚2

、初温to、表面传热系数h、平板导热系数

，将其突然置于温度为

的流体中冷却。

试分析在以下三种情形：

<<1/h、

>>1/h、

=1/h时，平板中温度场的转变。

1）1/h<<

因为1/h可忽略，当平板突然被冷却时，其表面温度就被冷却到

，随着时刻的延长，平板内各点

t→

如图3-3（a）。

2）1/h>>

因为

忽略不计，即平板内导热的流量接近于无穷大，因此任意时刻平板中各点温度接近均匀，随着时刻的延长，平板内各点t→

，而且整体温度下降如图3-3（b）。

3）1/h=

平板中的温度散布介于二者之间，如图3-3（c）。

由此可见，表面对流换热热阻1/h与导热热阻

的相对大小对物体中非稳态导热的温度场的散布有重要阻碍，因此，引入表征二者比值的无量纲数，毕渥数。

3、毕渥数

1）概念式：

（3-1）

毕渥数属特点数（准那么数）。

2）Bi物理意义：

Bi的大小反映了物体在非稳态条件下内部温度场的散布规律。

3）特点数（准那么数）：

表征某一物理现象或进程特点的无量纲数。

4）特点长度：

是指特点数概念式中的几何尺度。

§3—2集总参数法的简化分析

一、集总参数法

1、概念：

当固体内的

时，固体内的温度趋于一致，现在能够为整个固体在同一刹时均处于同一温度下，这时需求解的温度仅是时刻的一元函数，而与坐标无关，好象该固体原先持续散布的质量与热容量汇总到一点上，而只有一个温度值那样。

这种忽略物体内部导热热阻的简化分析方式称为集总参数法。

2、集总参数法的计算

已知：

有一任意形状的物体，其体积为V，面积为A，初始温度为t0，在初始时刻，突然将其置于温度恒为

的流体中，且to>

固体与流体间的表面传热系数h，固体的物性参数均维持常数。

试依照集总参数法确信物体温度随时刻的依变关系。

解：

①成立非稳态导热数学模型

方式一：

椐非稳态有内热源的导热微分方程：

∵物体内部导热热阻很小，忽略不计。

∴物体温度在同一刹时各点温度大体相等，即t仅是τ的一元函数，二与坐标x、y、z无关，即

那么：

（a）

∵

可视为广义热源，而且热互换的边界不是计算边界（零维无任何边界）。

∴界面上互换的热量应折算成整个物体的体积热源，即：

（b）

∵t>

物体被冷却，∴

应为负值

由（a），（b）式得：

（3-2）

这确实是瞬不时刻导热微分方程式。

方式二：

依照能量守恒原理，成立物体的热平稳方程，即

物体与环境的对流散热量=物体内能的减少量

那么有：

②物体温度随时刻的依变关系

引入过余温度：

那么上式表示成：

其初始条件为：

将

分离变量求解微分方程，

对时刻

从0

积分，那么：

即：

（

）（3-3）

其中：

V/A是具有长度的量纲，记为

；

毕渥数；

傅立叶数；

而V说明Fov、Biv中的特点长度为V/A

故得：

（3-4）

由此可见，采纳集总参数法分析时，物体内的过余温度随时刻成指数曲线关系转变。

而且开始转变较快，随后慢慢变慢。

指数函数中的

的量纲与

的量纲相同，若是时刻

，那么

那么：

称时刻常数，记为

。

的物理意义：

表示物体对外界温度转变的响应程度。

那时刻

时，物体的过余温度已是初始过余温度值的%。

③确信从初始时刻到某一刹时这段时刻内，物体与流体所互换的热流量

第一求得瞬时热流量：

将

带入瞬时热流量的概念式得：

（3-5）

式中负号是为了使Φ恒取正值而引入的。

若

（物体被加热），那么用

代替

即可。

然后求得从时刻

0到

时刻间的总热流量：

（3—6）

3、集总参数法的判别条件

对形如平板、圆柱和球这一类的物体，若是毕渥数知足以下条件：

=h（V/A）/

<（3-7）

那么物体中各点间过余温度的误差小于5%。

其中M是与物体几何形状有关的无量纲数。

无穷大平板：

M=1

无穷长圆柱：

M=1/2

球：

M=1/3

毕渥数的特点长度为V/A，不同几何形状，其值不同，关于：

厚度为2

的平板：

半径为R的圆柱：

半径为R的球：

由此可见，对平板：

=Bi

圆柱：

=Bi/2

球体：

=Bi/3

二、毕渥数

与傅立叶数

的物理意义

1、

1）概念：

表征固体内部单位导热面积上的导热热阻与单位面积上的换热热阻（即外部热阻）之比。

越小，表示内热阻越小，外部热阻越大。

现在采纳集总参数法求解更为适合。

2）物理意义：

的大小反映了物体在非稳态导热条件下，物体内温度场的散布规律。

2、

1）概念：

表征两个时刻距离相较所得的无量纲时刻。

分子τ是从边界上开始发生热扰动的时刻起到所计时刻为止的时刻距离。

分母可视为边界上发生的有限大小的热扰动穿过必然厚度的固体层扩散到

的面积上所需的时刻。

2）物理意义：

表示非稳态导热进程进行的程度，

越大，热扰动就越深切地传播到物体内部，因此物体内各点的温度越接近周围介质的温度。

§3—3一维非稳态导热的分析解

本节介绍第三类边界条件下：

无穷大平板、无穷长圆柱、球的分析解及应

用。

如何明白得无穷大物体，如：

当一块平板的长度、宽度>>厚度时，平板

的长度和宽度的边缘向周围的散热对平板内的温度散布阻碍很少，以至于可

以把平板内各点的温度看做仅是厚度的函数时，该平板确实是一块“无穷大”

平板。

假设平板的长度、宽度、厚度相差较小，但平板周围绝热良好，那么热量

互换仅发生在平板双侧面，从传热的角度分析，可简化成一维导热问题。

一、无穷大平板的分析解

已知：

厚度

的无穷大平板，初温

，初始刹时将其放于温度为

的

流体中，而且

，流体与板面间的表面传热系数为一常数。

试确信在非稳态进程中板内的温度散布。

解：

如图3-5所示，平板两面对称受热，因此其内温度散布以其中心截面为对称面。

关于x

0的半块平板，其导热微分方程：

（0

）（3-8）

定解条件：

t（x,0）=

（0

）

（边界条件）

引入过余温度：

则

（0

）（3-9）

（x,0）=

（0

）（初始条件）

（边界条件）

对偏微分方程

分离变量求解得：

（3-10）

其中离散值

是以下超越方程的根，称为特点值。

……（3-11）

其中Bi是以特点长度为

的毕渥数。

由此可见：

平板中的无量纲过余温度

与三个无量纲数有关：

以平板厚度一半

为特点长度的傅立叶数、毕渥数及

即：

（3-12）

二、非稳态导热的正规状况时期

1、平板中任一点的过余温度与平板中心的过余温度的关系

前述取得的分析解是一个无穷级数，计算工作量大，但对照计算说明，当Fo>时，采纳该级数的第一项与采纳完整的级数计算平板中心温度的误差小于1%，因此，当Fo>时，采纳以下简化结果：

（3-13）

其中特点值

之值与Bi有关。

由上式（3-13）可知：

Fo>以后平板中任一点的过余温度

（x，τ）与平板中心的过余温度

（0，τ）=

（τ）之比为：

（3-14）

此式反映了非稳态导热进程中一种很重要的物理现象：

即当Fo>以后，尽管

（x，τ）与

（τ）各自均与τ有关，但其比值那么与τ无关，而仅取决于几何位置（

）及边界条件（Bi）。

也确实是说，初始条件的阻碍已经消失，不管初始条件散布如何，只要Fo>，

之值是一个常数，也确实是无量纲的温度散布是一样的。

由此可见，当Fo>时，非稳态导热进程进入正规状况时期。

2、在一个时刻距离内非稳态导热进程中传递的热量

1）从物体初始时刻平板与周围介质处于热平稳，这一进程中传递的热量：

（3-15）

此值为非稳态导热进程中传递的最大热量。

2）从初始时刻到某一时刻τ，这段时刻内所传递的热量

：

（3-16）

3）

之比：

（3-17）

其中：

是时刻τ物体的平均过余温度，

。

关于无穷大平板，当Fo>，将式（3-13）代入

的概念式，可得：

（3-18）

对圆柱体、球体

>时，无穷级数的解也可用第一项近似代替，而且

及

可表示为：

（3-19）

（3-30）

其中：

η为无量纲几何位置，对平板

，对柱体及球体

，R为外表面半径，系数A、B及函数

的表达式取决于几何形状，见教材表3-2所示。

三、正规时期状况的有效计算方式

当Fo>时，可采纳上述计算公式求得非稳态导热物体的温度场及互换的热量，也可采纳简化的拟合公式和诺模图求得。

1、诺模图：

工程技术中，为便于计算，采纳按分析解的级数第一项绘制的一些图线，叫诺模图。

2、海斯勒图：

诺模图顶用以确信温度散布的图线，称海斯勒图。

第一依照（3—13）式给出

随Fo及Bi转变的曲线（现在x/δ=0），然后依照（3—14）式确信

的值，于是平板中任意一点的

值便为：

（3-21）

一样，从初始时刻到时刻τ物体与环境间所互换的热量，可采纳（3—15）、（3—17）作出

曲线。

3、诺模图法评述

优势：

简练方便。

缺点：

准确度有限，误差较大。

目前，随着计算技术的进展，直接应用分析解及简化拟合公式计算的方式受到重视。

四、分析解应用范围的推行及讨论

1、推行范围

1）对物体被冷却的情形也适用；

2）也适于一侧绝热，另一侧为第三类边界条件的厚为δ的平板；

3）当固体表面与流体间的表面传热系数h

时，即表面换热热阻

0时，因此

时分析解确实是固体表面温度发生一突然转变然后维持不变时的解，即第一类边界条件的解。

2、讨论Bi与Fo对温度场的阻碍：

1）傅立叶数Fo：

由（3-10）、（3-13）式及诺模图可知：

物体中各点的过余温度随时刻τ的增加而减小；而Fo与成正比，因此物体中各点过余温度亦随Fo的增大而减小。

2）毕渥数Bi

Bi对温度的阻碍从以下两方面分析：

一方面，从教材图3—6可知，Fo相同时，Bi越大，

越小。

因为，Bi越大，意味着固体表面的换热条件越强，致使物体的中心温度越迅速地接近周围介质的温度；当Bi

时，意味着在进程开始刹时物体表面温度就达到介质温度，物体中心温度转变最快，因此在诺模图中1/Bi=0时的线确实是壁面温度维持恒定的第一类边界条件的解。

另一方面Bi的大小决定于物体内部温度的扯平程度。

如：

关于平板，从诺模图3—7中可知：

当

>10（即Bi<）时，截面上的过余温度差小于5%

当Bi下限一直推到时，其分析解与集总参数法的解相差极微。

综上可得如下结论：

介质温度恒定的第三类边界条件下的分析解；当Bi

时，转化为第一类边界条件下的解，Bi

0时，那么与集总参数法的解相同。

§3—4二维及三维非稳态导热问题的求解

一、求解方式

关于典型的几何形状的物体，可利用一维非稳态导热问题分析解的组合求得。

如图3-9所示：

无穷长方柱体的非稳态导热问题，属二维导热问题。

截面

尺寸为：

的方柱体可视为两块厚度别离为

及

的无穷大平板

垂直相交所截出的物体。

讨论的目的：

找出二维温度场与两块无穷大平板的温度场之间的关系。

已知：

方柱体初温为to，初始时放于t

流体中，表面传热系数为h.

试求：

温度场散布。

解：

如图3-9所示，成立坐标系，由于其对称性，只研究其

截面的温度散布，截面上的温度散布由以下导热微分方程和定解条件确信：

（3-22）

（I）

（II）

（III）

（IV）

式中：

为无量纲过余温度。

若是无量纲过余温度

与

别离是处于与方柱体一样定解条件下的厚度别离为

及

的无穷大平板的分析解，那么它们必需知足各自的导热微分方程及定解条件，即：

（3-23）

（V）

（VI）

（VII）

及

（3-24）

只要证明：

两块无穷大平板分析解的乘积确实是上述无穷长方柱体的分析解，即：

（3-25）

证明：

第一证明式（3-25）知足导热微分方程（3-22），为此将式（3-25）代入式（3-22）的左右两头得：

左端：

右端：

左端减去右端得：

－

∴证明

知足微分方程

第二证明：

知足初始条件

依照

及

的初始条件

和

得：

∴证明

知足初始条件

最后证明：

知足边界条件

将式（3-25）代入边界条件（I），并注意到式（VII）的关系得

[

*0=0

一样能够证明它也知足式（3-34）。

再将式（3-25）代入边界条件（III），并注意到式（VI）的关系得

=0*

同理可证明它也知足式（IV）。

∴证明

知足边界条件

综上可知：

是上述无穷长方柱体导热微分方程的解。

结论：

此方式是多维非稳态导热的求乘积解法，此法适用于第一类边界条件，且

时。

同理，对长圆柱体，矩六柱体等二维，三维非稳态导热问题，能够用相应的二个或三个一维问题的解的乘积来表示其温度散布。

——表示无穷大平板的解

——表示无穷长圆柱体的解

那么：

（a）：

（b）：

（c）：

二、乘积解法的适用条件

• 初始温度为常数，

const；

• 第一类边界条件，

const；

• 第三类边界条件，

const、h=const；

• 线性微分方程，且定解条件均为齐次，即乘积解中温度必需以过余温度或无量纲过余温度的形式表示。

说明：

关于形状复杂或边界条件复杂，分析解法无能为力，应借助其它的求解的方式，

如①数值解法；②实验模拟法。

§3—5半无穷大物体的非稳态导热

一、半无穷大物体的概念

几何上是指从x=0的界面开始能够向正的x方向及其他两个坐标（x,y）方向无穷延伸的物体，称半无穷大物体。

实际中不存在该物体，但研究物体中非稳态导热的初始时期，可把实物看为该物体处置。

如：

有限厚度的平板，起初有均匀温度，后其侧表面突然受到热扰动，如

• 壁温突然升高到必然值并维持不变；

• 壁面突然受到恒定的热流量密度加热；

• 壁面受到温度恒定的流体的加热或冷却。

当扰动的阻碍只局限在表面周围，而尚未进入平板内部时，就可视该平板为，“半无穷大”物体。

二、第一类边界条件下半无穷大物体非稳态导热温度场的分析解

如图3-11所示：

已知半无穷大物体初始温度均匀为（to），当

时，x=0侧表面温度突然升高到

，并维持不变，试确信物体内温度随时刻

的转变和在时刻距离[0，τ]内的热流量。

解：

1、物体内的温度散布

依照半无穷大物体的概念，得出其导热微分方程：

（3-26）

初始条件为：

τ=0时，

边界条件为：

x=0时，

x→

时，

引入过余温度：

那么有：

（3-27）

τ=0时，

x=0时，

x→

时，

将微分方程

分离变量并求解得分析解为：

=erf（

）=erfη（3-28）

其中：

无量纲变量η=

；erfη称为误差函数，它随η的转变而转变，由附录表可知：

当η=2时，

=，确实是说当η

2即

2时，该处x的温度仍以为等于to（无量纲过余温度的转变小于5%），由此取得以下两个重要参数：

①从几何位置上说，假设

，那么时刻τ时x处的温度能够为未发生转变。

因此，对

且厚为2δ的平板，当其一侧温度突然转变到另一恒定温度时，假设δ

，那么在τ时刻之前该平板中瞬时温度场的计算可采纳半无穷大物体模型处置。

②从时刻上看，若是

，那么现在x处的温度能够为完全不变，因此把

视为惰性时刻，即当

时x处的温度能够为仍等于

。

2、表面上的瞬时热流密度及在[0，τ]时刻距离内放出或吸收的热量：

物体中任意一点的热流密度：

（3-29）

那么，表面上的热流密度为：

（3-30）

在时刻[0，τ]内，流过面积A的总热流流量：

（3-31）

由此可见：

①半无穷大物体在第一类边界条件阻碍下被加热或冷却时，界面上的瞬时热流量与时刻的平方根成反比；

②在时刻[0，

]内互换的总热量那么正比于

及时刻的平方根。

其中：

称为吸热系数，表示物体与其接触的高温物体吸热的能力。

三、半无穷大物体概念的适用范围

只适于物体非稳态导热的初始时期，当物体表面上的热扰动已深切传递到物体内部时，就再也不适用，那么应采纳前述分析方式。

补充：

一、非稳态导热问题求解思路

• 解一维非稳态导热问题的大体思

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