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广义逆矩阵及其应用
第七章
广义逆矩阵及其应用
广义逆矩阵是通常逆矩阵的推广，这种推广的必要性，首先是从线性方程组的求解问题出发的，设有线性方程组
Ax=b（0—1）
当A是ｎ阶方阵，且detA≠0时，则方程组（０－１）的解存在、唯一，并可写成
x=Ab（0—2）
但是，在许多实际问题中所遇到的矩阵A往往是奇异方阵或是任意的m×n矩阵（一般m≠n），显然不存在通常的逆矩阵A，这就促使人们去想象能否推广逆的概念，引进某种具有普通逆矩阵类似性质的矩阵G，使得其解仍可以表示为类似于式（0—2）的紧凑形式？
即
x=Gb（0—3）
1920年摩尔（E.H.Moore）首先引进了广义逆矩阵这一概念，其后三十年未能引起人们重视，直到1955年，彭诺斯（R.Penrose）以更明确的形式给出了Moore的广义逆矩阵的定义之后，广义逆矩阵的研究才进入了一个新的时期，由于广义逆矩阵在数理统计、系统理论、最优化理论、现代控制理论等许多领域中的重要应用为人们所认识，因而大大推动了对广义逆矩阵的研究，使得这一学科得到迅速的发展，已成为矩阵的一个重要分支。
本章着重介绍几种常用的广义逆矩阵及其在解线性方程组中的应用。
§1矩阵的几种广义逆
1．1
1955年，彭诺斯（Penrose）指出，对任意复数矩阵Amxn，如果存在复矩阵Anxm，满足广义逆矩阵的基本概念−1−1
AXA=A（1—1）
XAX=X（1—2）
（AX）H=AX（1—3）
（XA）H=XA（1—4）
则称X为A的一个Moore—Penrose广义逆，并把上面四个方程叫做Moore—Penrose方程，简称M—P方程。
由于M—P的四个方程都各有一定的解释，并且应用起来各有方便之处，所以出于不同的目的，常常考虑满足部分方程的X，叫做弱逆。
为引用的方便，我们给出如下的广义逆矩阵的定义。
定义1—1设A∈Cmxn，若有某个X∈Cmxn，满足M—P方程（1—1）～（1—4）中的全部或其中的一部分，则称X为A的广义逆矩阵。
例如有某个X，只要满足式（1—1），则X为A的{1}广义逆，记为X∈A{1}；如果另一个Y满足式（1—1）、（1—2），则Y为A的{1，2}广义逆，记为Y∈A{1,2}；如果X∈A{1,2,3,4}，则X同时满足四个方程，它就是Moore—Penrose广义逆，等等。
总之，按照定义1—1可推得，满足1个、2个、3个、4个Moore—Penrose方程的广义逆矩阵共有C4+C4+C4+C4=15种，但应用较多的是以下五种
A{1},A{1,2},A{1,3},A{1,4},A{1,2,3,4}
以后将会看到，只有A{1,2,3,4}是唯一确定的，其它各种广义逆矩阵都不能唯一确定，每一种广义逆矩阵又都包含着一类矩阵，分述如下；
1．A{1}：
其中任意一个确定的广义逆，称作减号逆，或g逆，记为A；—1234
2．A{1，2}：
其中任意一个确定的广义逆，称作自反广义逆，记为Ar；
3．A{1，3}：
其中任意一个确定的广义逆，称作最小范数广义逆，记为Am；
4．A{1，4}：
其中任意一个确定的广义逆，称作最小二乘广义逆，记为Ai；
5．A{1，2，3，4}：
唯一，称作加号逆，或伪逆，或Moore-Penrose逆，记为A+。
为叙述简单起见，下面我们以Rn及实矩阵为例进行讨论，对于Cn及复的矩阵也有相应结果。
1．2减号逆A–
（m≤n，当m＞n时，可讨论AT）。
若有一个n×m实矩阵（记定义1—2设有m×n实矩阵A
为A）存在，使下式成立，则称A为A的减号逆或g逆：
––
=A（1—5）AAA–
当A
得–1存在时，显然A–1满足上式，可见减号逆A是普通逆矩阵A––1的推广；另外，由AAA=A–
（AAA）T=AT–即
AT（A）TAT=AT–
（A）T就是AT的一个减号逆。
可见，当A为A的一个减号逆时，––
10100100例1—1设A=10,B=,C=001，易知01010
ABA=B，ACA=A故B与C均为A的减号逆。
Ir例1—2若A=0
证因为对任意的00*
*Irm×n则A=*−**n×m，其中*是任意的实数。
Ir*
m×nn×m，都有
所以Ir000Ir***n×mIr000m×n=Ir000m×n
A=Ir
***n×m
X1反之，任意的X=X3X2X4n×m，若满足
Ir0
必须有X1=Ir，即X为0X10X3X2IrX400Ir=0000Ir
*
Ir
0*的形状证毕*0的减号逆存在，而且不是唯一的，填一些数到*位置，就是一个0例1—2表明，标准形
减号逆，填不同数，就得到不同减号逆。
下面我们讨论当A为非零矩阵时，如何用初等变换的方法来构造它的任意一个减号逆，即讨论A的存在性。
引理设Bm×n=Pm×mAm×nQn×n，其中P，Q都是满秩方阵，如果已知B的减号逆为B，则矩阵A的减号逆
A=QBP（1—6）证因为已知B是B的减号逆，所以有
BBB=B
（PAQ）B（PAQ）=PAQ
由于P与Q非奇异，故有
A（QBP）A=A
从而有
A=QBP证毕这个引理说明，两个等价的矩阵A，B（即满足B=PAQ），如果其中一个的减号逆可求出来，那么，另一个的减号逆也可以求出来。
定理1—1（存在性）任给m×n阶矩阵A，那么减号逆A一定存在，但不唯一。
－－－－－－－－－
证分两种情况，如果rankA=0即，A=0m×n，这时对任意的X∈R
意n×m阶矩阵X都是零矩阵的减号逆。
mxn，都有0X0=0，所以任
再设rankA=r＞0，那么存在m阶满秩矩阵P与n阶满秩矩阵Q，使得
PAQ=
由例1—2知，存在
B=
再由引理知，存在−Ir00=B∈Rm×n0Ir**,*为任意实数*
IrA=Q*−
－*P*只要A非满秩，由于*的任意性，所以A非唯一。
证毕.
例1—3设A=1−12－，求A.223
解为要将A通过初等行与列变换,化为一个等价的标准形,我们在A的右边放上一个I2,在A的下方放上一个I3,当A变成Ir时,则I2就变成P,而I3就变成Q.
2101001024−101301AC1+C2C→→11−20I3+（−2）C1301001001
00100010110−100100101−C1+2C3C2+2C3→−−−C→→−−−1+4C3001010144122
0010101001−（−1）r2→−0011421−122I2=100100
这就是说
100−1−3−2−7=100001A010142
PAQ=[I20]=B
−3−2−710,Q=001P=0−1142
但标准形B的减号逆为
10B=01,*为任意实数**
故得
10A=Q01P,*为任意实数**
设有A∈Rmxn，下面的定理给出了rankA与rankA之间的关系。
－－－定理1—2rankA≥rank（AA）≥rankA
证因为AAA=A，即（AA）A=A，所以有rank（AA）≥rankA
，故又因为rankA≥rank（AA）
rankA≥rank（AA）≥rankA证毕
这个定理说明，A的秩总不会小于A的秩，这从例1—2也可看出。
1．3自反广义逆Ar
众所周知，对于普通的逆矩阵A，有（A）
例如，由例1—1知−1−1−1－－－－－－－－−=A，但这一事实对于减号逆A一般不成立。
10A=10,10
但
AAA=
−−−−−100A−=010100−≠A100即（A）≠A，为了使A与A能互为减号逆，我们不妨对前面定义的减号逆A加以限制，使A具有这种“自反”的性质。
下面我们给出自反广义逆矩阵的定义。
定义1—3对于一个m×n阶实矩阵A，使
AXA=A及XAX=X
同时成立的n×m阶实矩阵X，称为是A的一个自反广义逆，用Ar表示，即有
AArA=A及其ArAAr=Ar
显然，自反广义逆是减号逆的一个子集，此时，它满足自反性质（A）=A。
下面我们来构造自反广义逆的一种算法，我们先引进所谓“最大秩矩阵的右逆、左逆”的概念。
−−
一、最大秩矩阵的右逆和左逆
，如果存在一个n×m阶矩阵G，定义1—4设A是行最大秩的m×n阶实矩阵（m≤n）
当G右乘A后得到一个m×n阶单位阵I，即
AG=I（1—7）
则G叫做A的右逆，记作AR，这就是说，有
AAR=I（1—8）
一般来说，右逆AR可用下面的方法来计算，因为AA是满秩的方阵，故有
（AA）（AA）=（AA）（AA）
比较式（1—8）和（1—9），可得
AR=A（AA）（1—10）
例1—4设
试求其右逆
解易知rankA=2，即A是行最大秩矩阵，利用式（1—10）式，得
−1−1−1−1TT−1TTT−1=I（1—9）TT−112−1A=012−
011−1AR=2−1（0−12
541=6214382−11−122−10−1）−12
定义1—5设A是列最大秩的m×n实矩阵（m≥n），如果存在一个n×m阶矩阵G，当G左乘A后得到一个n×n阶单位阵，即
GA=I（1—11）则G叫做A的左逆，记作AL，这就是说,有
ALA=I（1—12）−1−1
同理可得计算AL的公式是
AL=（AA）−1−1T−1AT（1—13）
−1−1这里值得指出的是，对于行（或列）最大秩的m×n阶矩阵A,AR和AL是不可能同时存在的。
显然，当且仅当m=n时，同时存在，并且就等于普通的逆矩阵A.
二、Ar的最大秩分解方法
如果A是行（或列）最大秩长方阵，则它由式（1—10）确定的右逆（或由式（1—13）确定的左逆）显然满足
AARA=A（或AALA=A）
ARAAR=AR（或ALAAL=AL）
这表明右逆AR（或左逆A:
L）就是A的一个自反广义逆Ar.
在一个最大秩分解
A=BC
其中B为m×r阶列最大秩矩阵，C为r×n阶行最大秩矩阵，于是，由前面的讨论，B有左逆BL，C有右逆CR，那么求Ar有如下的定理。
定理1—3设A=BC为矩阵A的最大秩分解，则A的自反广义逆的一般形式为
−1−1Ar−=CRBL（1—14）−1−−1−1−1−1−1−1−1−1−1−1−−1−1−
其中BL为B的左逆，CR为C的右逆。
证由于
AArA=BCCRBLBC=BC=A
ArAAr=CRBLBCCRBL=CRBL=Ar
故Ar=CRBL是A的自反广义逆。
其次，设Ar是A的任一自反广义逆矩阵，则
AArA=A
即−−−−1−1−−−1−1−1−1−1−1−−1−1−1−1−1
BCArBC=BC
上式两端分别左乘以BL，右乘以CR，得CArB=Ir（r=rankA）。
由此可见，CAr为B的左逆，记为BL；ArB为C的右逆，记为CR，于是
A=AAA=ABCA=C
故式（1—14）是A的自反广义逆的一般形式。
当A为行（或列）最大秩矩阵时，它的最大秩分解写成
A=ImA（或A=AIn）
这样一来，式（1—14）实际上是给出了任何非零矩阵求自反广义逆的一种方法。
例1—5设−r−r−r−r−r~−1R−−1−1−−−1−−1B~−1L
103A=230111
−求A的一个自反广义逆Ar.
解因为rankA=2，所以由第四章§3中的方法对A作最大秩分解
1212−1A=BC=21−01211
由例1—4的结果，知
541−1CR=621438
再利用式（1—13）可得
BL=
最后用式（1—14）得−11−471−74111
A1=CRBL−−1−1541−47162=7−4115438
19981=10348−15444−1111
值得提出的是，由式（1—14）确定的自反广义逆Ar，并不唯一，这是因为用式（1—10）来计算右逆CR和用式（1—13）来计算左逆BL并非唯一。
下面给出行（或列）最大秩矩阵计算其右逆（或左逆）的一般表达式。
设A∈Rm×n−1−1−，且rankA=m，则A的右逆的一般表达式是
TT−1G=VA（AVA）（1—15）
其中V是使得等式rank（AVA）=rankA成立的任意阶方阵。
事实上，用A左乘（1-15）式两端，有T
AG=AVAT（AVAT）−1
因此，有
AG=（AVA）（AVA）
即G=VA（AVA）是A的右逆的一般表达式。
当取V=In时，式（1—15）就变成了式（1—10），所以由式（1—10）给出的AR=A（AA）只是A的所有右逆中的一个。
同理，可写出列最大秩矩阵A的左逆的一般表达式
G=（AUA）
TT−1−1TT−1TT−1TT−1=IAT（1—16）其中U是使关系rank（AUA）=rankA成立的任意的m阶方阵。
1．4最小范数广义逆Am
定义1—6设A∈Rm×n−（m≤n），如果有一个n×m阶矩阵X，满足
及
−AXA=A（XA）T=XA（1—17）则称X为A的一个最小范数广义逆，记为Am.
显然，最小范数广义逆是用条件（XA）=XA对减号逆A进行限制后所得出的一个子集。
定理1—4设A∈Rm×nT−（m≤n），则
−TT−Am=A（AA）（1—18）
为A的一个最小范数广义逆。
证因（AA）是一个减号逆，故有
AA（AA）AA=AA
设rankA=r，则按秩分解有A=BC,rankB=rankC=r,以A=BC代入上式，便得（BC）（BC）（AA）（BC）（BC）=（BC）（BC）
即
T−1T−TT−TTTT−TTT−BCCTBT（AAT）−BCCTBT=BCCTBT用B（BB）（CC）C右乘上式两端，得
即
AA（AA）A=A
故A（AA）满足最小范数广义逆的第一个条件；其次它也满足第二个条件，因为有（A（AA）·A）=A（AA）·A
故Am=A（AA）为A的一个最小范数广义逆。
证毕因为减号逆（AA）不是唯一的，所以最小范数广义逆Am也不是唯一的，实际上，式（1—18）给出了计算Am的一种方法。
最小范数广义逆具有下面的性质。
定理1—5条件（1—17）与下面关系式等价
XAA=A（1—19）
事实上，对式（1—19）两端右乘X，得
XAAXTTTTTT−TT−TT−TTT−TT−TT−BC（CB）T（AAT）−BIrIrC=BIrIrC=XTAT
即
XA（XA）=（XA）
对上式两端取转置，得
（XA）（XA）=XATTT
可见有
（XA）T=XA
代入式（1—19）得
（XA）TAT=AT
即有
AXA=A
反之，我们可以由式（1—17）中第一个条件的左边的XA，得
XAAT=AT
1．5最小二乘广义逆A−
i
定义1—7设A∈Rm×n（m≤n），若有一个n×m阶矩阵X满足。
AXA=A及（AX）T=AX
则称C不A的一个最小二乘广义逆，记为A−
i
显然，最小二乘广义逆也是减号逆的一个子集。
定理1—6设A∈Rm×n（m≤n），则
A−T−T
i=（AA）·A
设A的一个最小二乘广义逆。
证（ATA）−是一个减号逆，故有
ATA（ATA）−ATA=ATA
设rankA=r,则按秩分解有A=BC,rankB=rankC=r,以A=BC代入上式，便得（BC）T（BC）（ATA）−（BC）T（BC）=（BC）T（BC）1—20）（
即
CBBC（AA）CBBC=CBBC
用（CC）（BB=）C左乘上式两端，得
即
BC（AA）（BC）BC=BC
或写成
A（AA）AA=A
故A（AA）A满足最小二乘广义逆。
证毕
因为减号逆（AA）不是唯一的，故最小二乘广义逆也不是唯一的。
实际上，式（1—20）给出了计算Ai的一种方法。
1．6加号逆A
前面我们对减号逆A加以不同的限制，得出减号逆的具有不同性质的子集，如自反广义逆Ar、最小范数广义逆Am、最小二乘广义逆Ai等，其实，还有一类更特殊也更为重要广义逆，这就是将要介绍的加号逆A，它的实质是在减号逆的条件AXA=A的基础上用上述所有条件同时加以限制，用这样的方式得出的子集A，不仅在应用上特别重要，而且有很多有趣的性质。
定义1—8设A∈Rm×n++−−−−+−T−T−TT−TT−TT−1T−1TTT−TTTTBIrIrC（ATA）−CTBTBC=BIrIrC，若存在n×m阶矩阵X，它同时满足
1）AXAA；2）XAX=X；
3）（AX）=AX4）（XA）=XA
则称X为A的加号逆，或伪逆，或Moore-Penrose逆，记为A
从定义中可看出，加号逆必同时是减号逆、自反广义逆、最小范数广义逆和最小二乘广义逆。
在四个条件中，X与A完全处于对称地位。
因此A也是A的加号逆，即有
（A）=A++++TT
另外可见，加号逆很类似于通常的逆阵，因为通常的逆A也有下列四个类似的性质：
1、AAA=A；2、AAA
3、AA−1−1−1−1−1=A−1；=I；4.A−1A=I
++由定义1—8中的条件3）和4）还可看出，AA与AA都是对称矩阵。
下面来看一个例子。
例1—6
1．设0∈R
2．设A=m×n，则0+=0∈Rm×n；Ir
00+是n阶方阵，则A=A；0
O
λ+
n+λ1λ1,A+=3．设对角阵A=Oλn
其中
1+λi=,当λ≠0时λi0，当λ=0时
比如，2=+11,（−）+=−3,0+=0,等等23
证我们只要证明3），那么1），2）都是3）的直接推论，下证3），不失一般性，我们令
−1λ1Oλi−1=LL=λi=0，B=
+λ1,L,λi≠0;λi+1。
容易验证B满足定义10O0—8的四个条件，从而A=B证毕
定理1—7若A∈Rm×n，且A=BC是最大秩分解，则
TT−1T−1TX=C（CC）（BB）B（1—21）
是A的加号逆。
证
AXA=BCCT（CCT）−1（BTB）−1BTBC
=BC=A
XAX=CT（CCT）−1（BTB）−1BTBCCT（CCT）−1（BTB）−1BT
=CT（CCT）−1（BTB）−1BT=X
（AX）T=[BCCT（CCT）−1（BTB）−1BT]T
=[B（BTB）−1BT]TB（BTB）−1BT=AX
（XA）T=[CT（CCT）−1（BTB）−1（BTB）C]T
=[CT（CCT）−1C]T=CT（CCT）−1C=XA
这就表明式（1—21）是加号逆。
证毕
这个定理不仅证明了加号逆的存在，而且也给出了求加号逆的具体方法。
推论设A∈Rm×n，rankA=r，则
1．r=n时（即A列满秩）
A=（AA）
2．r=m时（即A行满秩）
A=A（AA）
这只要注意到A=AIn=ImA，即知。
定理1—8加号逆A是唯一的。
证设X与Y均是A的加号逆，于是同时有
AXA=AAYA=A
用Y右乘上面的第一次，再利用AY和AX的对称性，使得++TT−1++−1A+
AXAY=AY
AY=（AY）=（AXAY）=（AY）（AX）TTTT
=AY•AX=（AYA）X=AX
即
AY=AX
类似地，得
YA=XA
用Y左乘等式AY=AX，并利用上式，便得
YAY=YAX=XAX
但是
YAY=Y，XAX=X
故最终得Y=X，这表明A是唯一的。
证毕推论若A是n阶满秩方阵，即A存在，则
A=A=A（1—22）这是因为前面我们已直接验证A满足定义1—8的四个条件，再由A的唯一性即知式（1—22）成立。
换句话说，当A≠0时，这三种逆是统一的，且是唯一的，一般情况下，当A不存在时，A总是存在的，而A存在，但不唯一。
下面我们来证明A的一些特殊性质。
定理1—9
1.（A）=（A）.T+−1+−1−1+−1++++T
2.A+=（ATA）+AT=AT（AAT）+
3.（AA）=A（A）
+TT++T+T证1、令X=（A），下证X是A的加号逆。
ATXAT=AT（A+）TAT=（AA+A）T=AT
XAX=（A）A（A）=（AAAA）=（A）=XT+TT+T++T+T
（ATX）T=（AT（A+）T）T=A+A=（A+A）T=AT（A+）T=ATX
类似可证（XA）=XA.
2、A=BC，则AA的最大秩分解可写成
AA=C（BBC）.
于是利用式（1—21），有TTTTTTT
（ATA）+=（BTCC）T（BTBCCTBTB）−1（CCT）−1C
=CT（BTB）（BTB）−1（CCT）−1（BTB）−1（CCT）−1C
=CT（CCT）−1（BTB）−1（CCT）−1C
再利用式（1—21），得
（ATA）+AT=CT（CCT）−1（BTB）−1（CC）TC（CTBT）
=CT（CCT）−1（BTB）−1（CCT）−1（CCT）BT
=C（CC）（BB）B
=A+TT−1T−1T
同样可证A（AA）=A.
3、（AA）=（AA）AA（AA）=A[A（AA）]=A（A）.证毕注意，对于同阶所逆矩阵A，B有（AB）
TTTTT+++T+TT++T++T+−1=B−1A−1.，定理1—9之3）表明对于特殊的矩阵A和A，加号逆（AA）有类似的性质，但是一般说来，这个性质不成立，亦即（AB）=BA.
例如，取A=
不难验证++++111110B，则==AB.,010o00
1−110+−A+=.,BB==0100110（AB）+=210
但
BA=
+++1−11010+（）≠AB=010000下面将A的各种常用算法综述如下：
1．果A是满秩方阵，则显然A=A.
2．如果A是对角方阵，即
A=diag（d1,d2,L,dn）
其中对角线上元素d1,d2,L,dn都是实数，可以验证
A=（d1,d2,L,dn）（1—23）
3．如果A是行最大秩矩阵，则
A=A（AA）.（1—24）+TT+−1++++−1
这里需要指出的是，n维非零行向量a=（a1,a2,L,an）可看作行最大秩的1×n.阶矩阵，因此行向量a的加号逆的表达式为
T
T
（aT）+=（aT）T[aT（aT）T]−1=a（aTa）−1=
aaTa
=
a
∑a
i=1
n
（1—25）
2i
它是一个n维列向量。
4．A是列最大秩矩阵，则
A=（AA）
T+
T
−1
AT.（1—26）
同样，m维非零列向量β=（b1,b2,L,bn）可以看作列最大秩m×n阶矩阵，因此列向量β的加号逆的表达式为
βTβT
（1—27）β=（ββ）β=T.=n
ββ2
+
T
−1
T
∑b
i=1
i
它是一个m维的行向量。
5．
果A∈R
m×n
，rankA=r最大秩分解时，则
A=CB.（1—28）]
不难验证（见文献[2
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