广义逆矩阵及其应用.docx

1、广义逆矩阵及其应用第七章广义逆矩阵及其应用广义逆矩阵是通常逆矩阵的推广，这种推广的必要性，首先是从线性方程组的求解问题出发的，设有线性方程组Ax=b （0 1）当A是阶方阵，且detA0时，则方程组（）的解存在、唯一，并可写成x=Ab （0 2）但是，在许多实际问题中所遇到的矩阵A往往是奇异方阵或是任意的mn矩阵（一般mn），显然不存在通常的逆矩阵A，这就促使人们去想象能否推广逆的概念，引进某种具有普通逆矩阵类似性质的矩阵G，使得其解仍可以表示为类似于式（02）的紧凑形式？即x=Gb （0 3）1920年摩尔（E. H. Moore）首先引进了广义逆矩阵这一概念，其后三十年未能引起人们重视，直

2、到1955年，彭诺斯（R. Penrose）以更明确的形式给出了Moore的广义逆矩阵的定义之后，广义逆矩阵的研究才进入了一个新的时期，由于广义逆矩阵在数理统计、系统理论、最优化理论、现代控制理论等许多领域中的重要应用为人们所认识，因而大大推动了对广义逆矩阵的研究，使得这一学科得到迅速的发展，已成为矩阵的一个重要分支。本章着重介绍几种常用的广义逆矩阵及其在解线性方程组中的应用。1 矩阵的几种广义逆111955年，彭诺斯（Penrose）指出，对任意复数矩阵Amxn，如果存在复矩阵Anxm，满足 广义逆矩阵的基本概念 11AXA=A （11）XAX=X （12）(AX)H=AX （13）(XA)

3、H=XA （14）则称X为A的一个MoorePenrose广义逆，并把上面四个方程叫做MoorePenrose方程，简称MP方程。由于MP的四个方程都各有一定的解释，并且应用起来各有方便之处，所以出于不同的目的，常常考虑满足部分方程的X，叫做弱逆。为引用的方便，我们给出如下的广义逆矩阵的定义。定义11 设ACmxn，若有某个XCmxn，满足MP方程（11）（14）中的全部或其中的一部分，则称X为A的广义逆矩阵。例如有某个X，只要满足式（11），则X为A的1广义逆，记为XA1；如果另一个Y满足式（11）、（12），则Y为A的1，2广义逆，记为YA1,2；如果XA1,2,3,4，则X同时满足四个方

4、程，它就是MoorePenrose广义逆，等等。总之，按照定义11可推得，满足1个、2个、3个、4个MoorePenrose方程的广义逆矩阵共有C4+C4+C4+C4=15种，但应用较多的是以下五种A1,A1,2,A1,3,A1,4,A1,2,3,4以后将会看到，只有A1,2,3,4是唯一确定的，其它各种广义逆矩阵都不能唯一确定，每一种广义逆矩阵又都包含着一类矩阵，分述如下；1A1：其中任意一个确定的广义逆，称作减号逆，或g逆，记为A； 12342A1，2：其中任意一个确定的广义逆，称作自反广义逆，记为Ar；3A1，3：其中任意一个确定的广义逆，称作最小范数广义逆，记为Am；4A1，4：其中任

5、意一个确定的广义逆，称作最小二乘广义逆，记为Ai；5A1，2，3，4：唯一，称作加号逆，或伪逆，或Moore-Penrose逆，记为A+。 为叙述简单起见，下面我们以Rn及实矩阵为例进行讨论，对于Cn及复的矩阵也有相应结果。12 减号逆A（mn，当mn时，可讨论AT）。若有一个nm实矩阵（记 定义12 设有mn实矩阵A为A）存在，使下式成立，则称A为A的减号逆或g逆： = A （1 5） A A A 当A得 1存在时，显然A1满足上式，可见减号逆A是普通逆矩阵A1的推广；另外，由A A A = A（A A A ）T = AT 即AT（A）T AT = AT （A）T就是AT的一个减号逆。 可见

6、，当A为A的一个减号逆时，10 100 100 例11 设A=10,B= ,C= 001 ，易知 010 10ABA=B， ACA=A 故B与C均为A的减号逆。Ir例12 若 A= 0证 因为对任意的 0 0 * Irmn 则 A= * * nm ，其中*是任意的实数。 Ir *mnnm ，都有所以 Ir 00 0 Ir * * * nm Ir 0 0 0 mn= Ir 00 0 mnA= Ir* * nmX1反之，任意的X= X3X2 X4 nm，若满足Ir 0必须有X1=Ir，即X为 0 X1 0 X3X2 Ir X4 00 Ir= 0 00 0 Ir*Ir0* 的形状 证毕 * 0 的减

7、号逆存在，而且不是唯一的，填一些数到*位置，就是一个 0 例12表明，标准形减号逆，填不同数，就得到不同减号逆。下面我们讨论当A为非零矩阵时，如何用初等变换的方法来构造它的任意一个减号逆，即讨论A的存在性。引理 设Bmn=PmmAmnQnn ，其中P，Q都是满秩方阵，如果已知B的减号逆为B，则矩阵A的减号逆A=QBP （16） 证 因为已知B是B的减号逆，所以有B BB=B（PAQ）B（PAQ）=PAQ由于P与Q非奇异，故有A（Q BP）A=A从而有A= Q BP 证毕 这个引理说明，两个等价的矩阵A，B（即满足B=PAQ），如果其中一个的减号逆可求出来，那么，另一个的减号逆也可以求出来。定理

8、11（存在性） 任给mn阶矩阵A，那么减号逆A一定存在，但不唯一。 证 分两种情况，如果rank A=0即，A=0mn，这时对任意的XR意nm阶矩阵X都是零矩阵的减号逆。 mxn，都有0X0=0，所以任再设rank A=r0，那么存在m阶满秩矩阵P与n阶满秩矩阵Q，使得PAQ=由例12知，存在B=再由引理知，存在 Ir 00 =BRmn 0 Ir * ,*为任意实数 *Ir A=Q * P * 只要A非满秩，由于*的任意性，所以A非唯一。 证毕.例13 设A= 112 ，求A. 223解 为要将A通过初等行与列变换,化为一个等价的标准形,我们在A的右边放上一个I2 ,在A的下方放上一个I3 ,

9、当A变成Ir时,则I2就变成P,而I3就变成Q .210 10010 24101 301 AC1+C2 C 1120 I3+(2)C1 30100 1 0010010 0010 1 1 01001 00101 C1+2C3C2+2C3 C 1+4C3 001010 1441 2 20010 1 01001 (1)r2 001 14 2 11 22I2 = 10 01 00这就是说10 01 327 = 100 001A 010 14 2PAQ=I20=B327 10 ,Q= 001P= 01 14 2但标准形B的减号逆为10 B=01,*为任意实数 *故得10 A=Q01P,*为任意实数 *设

10、有ARmxn，下面的定理给出了rank A与rank A之间的关系。 定理12 rank Arank（A A）rank A证 因为AA A=A，即（AA）A=A，所以有rank（AA）rank A，故 又因为rank Arank（A A）rank Arank（A A）rank A 证毕这个定理说明，A的秩总不会小于A的秩，这从例12也可看出。13 自反广义逆Ar众所周知，对于普通的逆矩阵A，有(A)例如，由例11知 111=A，但这一事实对于减号逆A一般不成立。10 A=10, 10但AAA= 100 A= 010 100 A 100 即(A)A，为了使A与A能互为减号逆，我们不妨对前面定义的

11、减号逆A加以限制，使A具有这种“自反”的性质。下面我们给出自反广义逆矩阵的定义。定义13 对于一个mn阶实矩阵A，使AXA=A 及 XAX=X同时成立的nm阶实矩阵X，称为是A的一个自反广义逆，用Ar表示，即有A Ar A=A 及其 Ar A Ar = Ar显然，自反广义逆是减号逆的一个子集，此时，它满足自反性质(A)=A。下面我们来构造自反广义逆的一种算法，我们先引进所谓“最大秩矩阵的右逆、左逆”的概念。 一、最大秩矩阵的右逆和左逆，如果存在一个nm阶矩阵G，定义14 设A是行最大秩的mn阶实矩阵（mn）当G右乘A后得到一个mn阶单位阵I，即AG=I （17）则G叫做A的右逆，记作AR，这就

12、是说，有AAR=I （18）一般来说，右逆AR可用下面的方法来计算，因为AA是满秩的方阵，故有(AA)(AA)=(AA)(AA)比较式（18）和（19），可得AR=A(AA) （110）例14 设试求其右逆解 易知rank A=2，即A是行最大秩矩阵，利用式（110）式，得1111TT1TTT1=I （19） TT1 121 A= 0120 1 11 AR=21( 0 1254 1 =62 14 38 21 11 2 2 10 1)1 2定义15 设A是列最大秩的mn实矩阵（mn），如果存在一个nm阶矩阵G，当G左乘A后得到一个nn阶单位阵，即GA=I （111） 则G叫做A的左逆，记作AL，

13、这就是说,有ALA=I (112) 11同理可得计算AL的公式是AL=(AA)11T1AT （113）11 这里值得指出的是，对于行（或列）最大秩的mn阶矩阵A, AR和AL是不可能同时存在的。显然，当且仅当m=n时，同时存在，并且就等于普通的逆矩阵A.二、Ar的最大秩分解方法如果A是行（或列）最大秩长方阵，则它由式（110）确定的右逆（或由式（113）确定的左逆）显然满足AARA=A （或AALA=A）ARAAR=AR （或ALAAL=AL）这表明右逆AR（或左逆A:L）就是A的一个自反广义逆Ar.在一个最大秩分解A=BC其中B为mr阶列最大秩矩阵，C为rn阶行最大秩矩阵，于是，由前面的讨论

14、，B有左逆BL，C有右逆CR，那么求Ar有如下的定理。定理13 设A=BC为矩阵A的最大秩分解，则A的自反广义逆的一般形式为11Ar=CRBL （114） 1111111111111其中BL为B的左逆，CR为C的右逆。证 由于AArA=BCCRBLBC=BC=AArAAr=CRBLBCCRBL=CRBL=Ar故Ar=CRBL是A的自反广义逆。其次，设Ar是A的任一自反广义逆矩阵，则AArA=A即 1111111111111BCArBC=BC上式两端分别左乘以BL，右乘以CR，得CArB=Ir(r=rankA)。由此可见，CAr为B的左逆，记为BL；ArB为C的右逆，记为CR，于是A=AAA=A

15、BCA=C故式（114）是A的自反广义逆的一般形式。当A为行（或列）最大秩矩阵时，它的最大秩分解写成A=ImA （或A=AIn）这样一来，式（114）实际上是给出了任何非零矩阵求自反广义逆的一种方法。 例15 设 rrrrr1R1111B 1L103 A= 230 111求A的一个自反广义逆Ar .解 因为rankA=2，所以由第四章3中的方法对A作最大秩分解12 121 A=BC= 21 012 11由例14的结果，知54 1 1 CR=62 14 38再利用式（113）可得BL=最后用式（114）得 11 471 74111A1=CRBL11 54 1 471 62= 741 154 38

16、199 81 =10348 154 441111值得提出的是，由式（114）确定的自反广义逆Ar，并不唯一，这是因为用式（110）来计算右逆CR和用式（113）来计算左逆BL并非唯一。下面给出行（或列）最大秩矩阵计算其右逆（或左逆）的一般表达式。设ARmn11，且rankA=m，则A的右逆的一般表达式是TT1 G=VA(AVA) （115）其中V是使得等式rank(AVA)=rankA成立的任意阶方阵。事实上，用A左乘（1-15）式两端，有 TAG=AVAT(AVAT)1因此，有AG=(AVA)(AVA)即G=VA(AVA)是A的右逆的一般表达式。当取V=In时，式（115）就变成了式（110

17、），所以由式（110）给出的AR=A(AA)只是A的所有右逆中的一个。同理，可写出列最大秩矩阵A的左逆的一般表达式G=(AUA)TT11TT1TT1TT1=I AT （116） 其中U是使关系rank(AUA)=rankA成立的任意的m阶方阵。14 最小范数广义逆Am定义16 设ARmn(mn)，如果有一个nm阶矩阵X，满足及 AXA=A(XA)T=XA （117） 则称X为A的一个最小范数广义逆，记为Am .显然，最小范数广义逆是用条件(XA)=XA对减号逆A进行限制后所得出的一个子集。 定理14 设ARmnT(mn)，则TT Am=A(AA) （118）为A的一个最小范数广义逆。证 因(A

18、A)是一个减号逆，故有AA(AA)AA=AA设rankA=r，则按秩分解有A=BC,rankB=rankC=r,以A=BC代入上式，便得 (BC)(BC)(AA)(BC)(BC)=(BC)(BC)即T1TTTTTTTTTTBCCTBT(AAT)BCCTBT=BCCTBT 用B(BB)(CC)C右乘上式两端，得即AA(AA)A=A故A(AA)满足最小范数广义逆的第一个条件；其次它也满足第二个条件，因为有 (A(AA)A)=A(AA)A故Am=A(AA)为A的一个最小范数广义逆。 证毕 因为减号逆(AA)不是唯一的，所以最小范数广义逆Am也不是唯一的，实际上，式（118）给出了计算Am的一种方法。

19、最小范数广义逆具有下面的性质。定理15 条件（117）与下面关系式等价XAA=A （119）事实上，对式（119）两端右乘X，得XAAXTTTTTTTTTTTTTTTTTBC(CB)T(AAT)BIrIrC=BIrIrC =XTAT即XA(XA)=(XA)对上式两端取转置，得(XA)(XA)=XA TTT可见有(XA)T=XA代入式（119）得(XA)TAT=AT即有AXA=A反之，我们可以由式（117）中第一个条件的左边的XA，得XAAT=AT15 最小二乘广义逆Ai定义17 设ARmn(mn)，若有一个nm阶矩阵X满足。 AXA=A及(AX)T=AX则称C不A的一个最小二乘广义逆，记为Ai

20、显然，最小二乘广义逆也是减号逆的一个子集。定理16 设ARmn(mn)，则ATTi=(AA)A设A的一个最小二乘广义逆。证(ATA)是一个减号逆，故有ATA(ATA)ATA=ATA设rankA=r,则按秩分解有A=BC,rankB=rankC=r,以A=BC代入上式，便得 (BC)T(BC)(ATA)(BC)T(BC)=(BC)T(BC) 120） （即CBBC(AA)CBBC=CBBC用(CC)(BB=)C左乘上式两端，得即BC(AA)(BC)BC=BC或写成A(AA)AA=A故A(AA)A满足最小二乘广义逆。 证毕因为减号逆(AA)不是唯一的，故最小二乘广义逆也不是唯一的。实际上，式（12

21、0）给出了计算Ai的一种方法。16 加号逆A前面我们对减号逆A加以不同的限制，得出减号逆的具有不同性质的子集，如自反广义逆Ar、最小范数广义逆Am、最小二乘广义逆Ai等，其实，还有一类更特殊也更为重要广义逆，这就是将要介绍的加号逆A，它的实质是在减号逆的条件AXA=A的基础上用上述所有条件同时加以限制，用这样的方式得出的子集A，不仅在应用上特别重要，而且有很多有趣的性质。定义18 设ARmn+TTTTTTTT1T1TTTTTTTBIrIrC(ATA)CTBTBC=BIrIrC ，若存在nm阶矩阵X，它同时满足1) AXAA ； 2）XAX=X ；3）(AX)=AX 4）(XA)=XA则称X为A

22、的加号逆，或伪逆，或Moore-Penrose逆，记为A从定义中可看出，加号逆必同时是减号逆、自反广义逆、最小范数广义逆和最小二乘广义逆。在四个条件中，X与A完全处于对称地位。因此A也是A的加号逆，即有(A)=A +TT另外可见，加号逆很类似于通常的逆阵，因为通常的逆A也有下列四个类似的性质：1、AAA=A ； 2、AAA3、AA11111=A1 ； =I ； 4. A1A=I+由定义18中的条件3）和4）还可看出，AA与AA都是对称矩阵。下面来看一个例子。例161 设0R2 设A= mn，则0+=0Rmn； Ir00 +是n阶方阵，则A=A； 0O+n + 1 1 ,A+= 3 设对角阵A=

23、O n其中1 + i= ,当0时 i 0，当=0时比如，2=+11,()+=3,0+=0,等等 23证 我们只要证明3），那么1），2）都是3）的直接推论，下证3），不失一般性，我们令1 1 O i1=LL=i=0， B=+1,L,i0;i+1 。容易验证B满足定义10 O 0 8的四个条件，从而A=B 证毕定理 17 若ARmn，且A=BC是最大秩分解，则TT1T1T X=C(CC)(BB)B （121）是A的加号逆。证AXA=BCCT(CCT)1(BTB)1BTBC=BC=AXAX=CT(CCT)1(BTB)1BTBCCT(CCT)1(BTB)1BT=CT(CCT)1(BTB)1BT=X(

24、AX)T=BCCT(CCT)1(BTB)1BTT=B(BTB)1BTTB(BTB)1BT=AX(XA)T=CT(CCT)1(BTB)1(BTB)CT=CT(CCT)1CT=CT(CCT)1C=XA这就表明式（121）是加号逆。 证毕这个定理不仅证明了加号逆的存在，而且也给出了求加号逆的具体方法。 推论 设ARmn，rankA=r，则1 r=n时（即A列满秩）A=(AA)2 r=m时（即A行满秩）A=A(AA)这只要注意到A=AIn=ImA，即知。定理18 加号逆A是唯一的。证 设X与Y均是A的加号逆，于是同时有AXA=A AYA=A用Y右乘上面的第一次，再利用AY和AX的对称性，使得 +TT1

25、+1A+AXAY=AYAY=(AY)=(AXAY)=(AY)(AX) TTTT=AYAX=(AYA)X=AX即AY=AX类似地，得YA=XA用Y左乘等式AY=AX，并利用上式，便得YAY=YAX=XAX但是YAY=Y ， XAX=X故最终得Y=X，这表明A是唯一的。 证毕 推论 若A是n阶满秩方阵，即A存在，则A=A=A （122） 这是因为前面我们已直接验证A满足定义18的四个条件，再由A的唯一性即知式（122）成立。换句话说，当A0时，这三种逆是统一的，且是唯一的，一般情况下，当A不存在时，A总是存在的，而A存在，但不唯一。下面我们来证明A的一些特殊性质。定理191.(A)=(A). T+

26、1+11+1+T2.A+=(ATA)+AT=AT(AAT)+3.(AA)=A(A)+TT+T+ T 证 1、令X=(A)，下证X是A的加号逆。ATXAT=AT(A+)TAT=(AA+A)T=ATXAX=(A)A(A)=(AAAA)=(A)=XT+TT+T+T+T(ATX)T=(AT(A+)T)T=A+A=(A+A)T=AT(A+)T=ATX类似可证(XA)=XA.2、 A=BC，则AA的最大秩分解可写成AA=C(BBC).于是利用式（121），有 TTTTTTT(ATA)+=(BTCC)T(BTBCCTBTB)1(CCT)1C=CT(BTB)(BTB)1(CCT)1(BTB)1(CCT)1C=

27、CT(CCT)1(BTB)1(CCT)1C再利用式（121），得(ATA)+AT=CT(CCT)1(BTB)1(CC)TC(CTBT)=CT(CCT)1(BTB)1(CCT)1(CCT)BT=C(CC)(BB)B=A+TT1T1T同样可证A(AA)=A.3、(AA)=(AA)AA(AA)=AA(AA)=A(A). 证毕 注意，对于同阶所逆矩阵A，B有(AB)TTTTT+T+TT+T+T+1=B1A1.，定理19之3）表明对于特殊的矩阵A和A，加号逆(AA)有类似的性质，但是一般说来，这个性质不成立，亦即 (AB)=BA.例如，取A=不难验证 + 11 11 10 B，则=AB., 01 0o

28、0011 10 +A+= .,BB= 01 00 1 10 (AB)+= 2 10但BA=+ 11 10 10 +()AB = 01 00 00 下面将A的各种常用算法综述如下：1 果A是满秩方阵，则显然A=A.2如果A是对角方阵，即A=diag(d1,d2,L,dn)其中对角线上元素d1,d2,L,dn都是实数，可以验证A=(d1,d2,L,dn) （123）3 如果A是行最大秩矩阵，则A=A(AA). （124） +TT+1+1这里需要指出的是，n维非零行向量a=(a1,a2,L,an)可看作行最大秩的1n.阶矩阵，因此行向量a的加号逆的表达式为TT(aT)+=(aT)TaT(aT)T1=a(aTa)1=aaTa=aai=1n（125）2i它是一个n维列向量。4 A是列最大秩矩阵，则A=(AA)T+T1AT. （126）同样，m维非零列向量=(b1,b2,L,bn) 可以看作列最大秩mn阶矩阵，因此列向量的加号逆的表达式为TT（127） =()=T.=n2+T1Tbi=1i它是一个m维的行向量。5果ARmn，rankA=rmin(m,n)，可以用最大秩分解法求A+，即当A=BC为最大秩分解时，则A=CB. （128）不难验证（见文献2