初中数学八年级上册勾股定理中考考点.docx
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初中数学八年级上册勾股定理中考考点
勾股定理
中考考点
掌握勾股定理的内容，能利用勾股定理进行计算与证明。
考点讲解
勾股定理：
直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。
即：
c
=a
+b
（c为斜边）。
它反映了直角三角形三边之间的数量关系，是解决直角三角形中计算问题以及解直角三角
形的主要依据之一。
一、问题的提出：
小明放学回家要经过一块长方形的麦地。
如图：
1、小明本来应走大路从A经B到C可是他却直接从A到C，为什么？
2、为什么近、近多少？
3、用数学知识如何解答？
二、量一量，算一算：
1、直角三角形的两条直角边的长度分别为3㎝，4㎝和5㎝，12㎝请你量出斜边的长度。
2、进行有关的计算。
3、得出结论：
三、证明结论：
利用拼合三角形的方法，如下：
（1）
由
（1）
由
（2）
（2）如图：
练习：
1、判断：
（1）已知a、b、c是三角形的三边，则（）
（2）在直角三角形中两边的平方和等于第三边的平方。
（）
（3）在
（）
2、填空：
在中，
（1）如果a=3，b=4，则c=
（2）如果a=6，b=8，则c=
（3）如果a=5，b=12，则c=
（4）如果a=15，b=20，则c=
3、解决新课开始提出的问题
中考考点
1．把握勾股定理的逆定理；
2，用勾股定理的逆定理判定一个三角形是不是直角三角形。
考点讲解
1．勾股定理的逆定理：
如果三角形的三边长a、b、c有下面关系：
a
+b
=c
，那么这个三角形是直角三角形。
注意：
勾股定理是直角三角形的性质定理，而勾股定理的逆定理是直角三角形的判定定理。
1．用勾股定理的逆定理判定一个三角形是否是直角三角形的步骤：
（1）首先求出最大边（如c）；
（2）验证a
+b
与c
是否具有相等关系；
若c2=a2+b
，则△ABC是以∠C=90°的直角三角形。
若c2≠a2+b
，则△ABC不是直角三角形。
2．直角三角形的判定方法小结：
（1）三角形中有两个角互余；
（2）勾股定理的逆定理；
3．紧记一些常用的勾股数，将为我们应用勾股定理逆定理带来方便，如3、4、5；5、12、13；6、8、10；12、16、20等。
四、典型例题
例1.在中，，于D，求证：
（1）
（2）
分析：
在图中有与三个直角三角形，利用勾股定理可以求证。
证明：
（1）
（2）又
即
例2、已知中，，求AC边上的高线的长。
分析：
首先通过所给的三角形的三边长，判断出所求高线长的三角形为直角三角形，并且要求的为斜边上的高线，通过勾股定理可解，未知量可用方程的思想求得。
解：
为，且
作于D
设，则
答：
AC边上的高线长为。
例3.已知：
如图，△ABC中，AB=AC，D为BC上任一点，
求证：
AB2－AD2=BD·DC
思路分析：
通常遇到等腰三角形问题，都是作底边上的高转化为直角三角形，再按解直角三角形的思路探索。
本例首先作AE⊥BC于E，便出现两个全等的直角三角形。
由AB=ACBE=EC
结论又以平方差“面目”出现，也就告知我们应用勾股定理是打开思路的好方法，那么在Rt△ABE，Rt△ADE中，由勾股定理，得
AB2=AE2+BE2
AD2=AE2+DE2
由于BE、DE均在一条直线BC上，通常是平方差公式进行因式分解，转化为求同一条线段的和差问题，使结论明朗化，于是
AB2－AD2=（BE+DE）（BE－DE）
结合图形知：
BE+DE=BD
BE－DE=CE－DE=CD
例4.如图，已知四边形ABCD的四边AB、BC、CD和DA的长分别为3、4、13、12，∠CBA=90°,求S四边形ABCD
思路分析：
遇到四边形，通常是连对角线转化为三角形问题，对本例连对角线AC为佳，因∠CBA=90°，便出现了直角三角形ABC，由勾股定理可求
AC2=AB2+BC2=32+42=25
在△CAD中，我们又可发现：
AC2+AD2=25+122=169
DC2=132=169
∴AC2+AD2=CD2，由勾股定理逆定理知
∴△ACD为Rt△，且∠DAC=90°
此时，已清晰可知，这个四边形由两个直角三角形构成，求其面积便容易了。
S四边形ABCD=S△ABC+S△ACD
例5、在正方形ABCD中,F为DC的中点,E为BC上一点,且EC=,求证:
EFA=90
分析:
通过图形结构和求证本题思路十分明显,就是要找Rt,那就是要通过勾股定理逆定理来完成。
证明:
设正方形ABCD的边长为4a
则EC=a,BE=3a,CF=DF=2a
在RtABE中
在RtADF中
在RtECF中
由上述结果可得
由勾股定理逆定理可知AEF为Rt,且AE是最大边,即AFE=90
例6、已知：
如图，在正方形ABCD中，E，F分别AB，AD上的点，又AB=12，EF=10，△AEF的面积等于五边形EBCDF面积的，求AE，AF的长。
思路分析：
依题意知△AEF为Rt△用勾股定理，立马而定，于是有
EF2=AE2+AF2
设AE=x,AF=y,又EF2=100,则x2+y2=100①
本例未告知AF,AE谁大,所以应取两解.
五、专题检测：
1、如图在ABC中,BAC=90,ADBC于D,则图中互余的角有
A．2对B．3对
C．4对D．5对
2、如果直角三角形的两边的长分别为3、4，则斜边长为
3、已知：
四边形ABCD中，BD、AC相交于O，且BD垂直AC，求证：
。
4.已知：
钝角，CD垂直BA延长线于D，求证：
。
5.已知：
，且，D在BC上，求证：
。
6.已知：
，求证：
。
7已知：
中，AD为BC中线，求证：
。
8、如果ΔABC的三边分别为a、b、c，且满足a2+b2+c2+50=6a+8b+10c，判断ΔABC的形状。
9.如图，折叠长方形（四个角都是直角，对边相等）的一边AD，点D落在BC边的点F处，已知：
AB=8cm，BC=10cm，求EC的长。
10：
已知：
如图，ABC中，AB=AC=10，BC=16，点D在BC上，DA⊥CA于A。
求：
BD的长。
分析：
因为ABC中，AB=AC，可作AE⊥BC于E，构造直角三角形，由已知条件，AE，CE，可求。
根据勾股定理可列方程式求解。
解：
作AE⊥BC于E∵AB=AC，BC=16
∴BE=CE=（等腰三角形的性质）
在中（勾股定理）
设DE=x
在中
在中
∴
∴
几何部分：
2.在中，
在中，
在中，
在中，
3在中，在中，
4.作于E，
5.作于E，
6.作于E，
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