圆幂定理讲义带复习资料.docx
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圆幂定理讲义带复习资料
圆幂定理
1:
进门考
理念:
1.检测垂径定理的基本知识点与题型。
2.垂径定理典型例题的回顾检测。
3.分析学生圆部分的薄弱环节。
(1)例题复习。
1.(2015•夏津县一模)一副量角器与一块含30°锐角的三角板如图所示放置,三角板的直角顶点C落在量角器的直径上,顶点A,B恰好都落在量角器的圆弧上,且∥.若8,则量角器的直径 .
【考点】M3:
垂径定理的应用;:
勾股定理;T7:
解直角三角形.
【分析】作⊥于点D,取圆心O,连接,作⊥于点E,首先求得的长,即的长,在直角△中,利用勾股定理求得半径的长,则即可求解.
【解答】解:
作⊥于点D,取圆心O,连接,作⊥于点E.
在直角△中,∠30°,则
4,在直角△中,∠90°﹣∠60°,
∴•4×
=2
(),∴2
,
在△中,
4,
则
2
(),则24
().故答案是:
4
.
【点评】本题考查了垂径定理的应用,在半径或直径、弦长以及弦心距之间的计算中,常用的方法是转化为解直角三角形.
2.(2017•阿坝州)如图将半径为2的圆形纸片折叠后,圆弧恰好经过圆心O,则折痕的长为( )
A.2B.
C.2
D.2
【考点】M2:
垂径定理;:
翻折变换(折叠问题).
【分析】通过作辅助线,过点O作⊥交于点D,根据折叠的性质可知2,根据勾股定理可将的长求出,通过垂径定理可求出的长.
【解答】解:
过点O作⊥交于点D,连接,
∵22,∴
(),
∵⊥,∴22
.故选:
D.
【点评】本题考查了垂径定理和勾股定理的运用,正确应用勾股定理是解题关键.
3.(2014•泸州)如图,在平面直角坐标系中,⊙P的圆心坐标是(3,a)(a>3),半径为3,函数的图象被⊙P截得的弦的长为
,则a的值是( )
A.4B.
C.
D.
【考点】M2:
垂径定理;F8:
一次函数图象上点的坐标特征;:
勾股定理.
【专题】11:
计算题;16:
压轴题.
【分析】⊥x轴于C,交于D,作⊥于E,连结,由于3,,易得D点坐标为(3,3),则△为等腰直角三角形,△也为等腰直角三角形.由⊥,根据垂径定理得
2
,在△中,利用勾股定理可计算出1,则
,所以3+
.
【解答】解:
作⊥x轴于C,交于D,作⊥于E,连结,如图,
∵⊙P的圆心坐标是(3,a),∴3,,
把3代入得3,∴D点坐标为(3,3),∴3,
∴△为等腰直角三角形,∴△也为等腰直角三角形,
∵⊥,∴
×4
=2
,在△中,3,
∴
,∴
,∴3+
.故选:
B.
【点评】本题考查了垂径定理:
垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的两条弧.也考查了勾股定理和等腰直角三角形的性质.
4.(2013•内江)在平面直角坐标系中,以原点O为圆心的圆过点A(13,0),直线﹣34与⊙O交于B、C两点,则弦的长的最小值为 .
【考点】:
一次函数综合题.
【专题】16:
压轴题.
【分析】根据直线﹣34必过点D(3,4),求出最短的弦是过点D且与该圆直径垂直的弦,再求出的长,再根据以原点O为圆心的圆过点A(13,0),求出的长,再利用勾股定理求出,即可得出答案.
【解答】解:
∵直线﹣34(x﹣3)+4,∴k(x﹣3)﹣4,
∵k有无数个值,∴x﹣3=0,y﹣4=0,解得3,4,
∴直线必过点D(3,4),∴最短的弦是过点D且与该圆直径垂直的弦,
∵点D的坐标是(3,4),∴5,
∵以原点O为圆心的圆过点A(13,0),∴圆的半径为13,
∴13,∴12,∴的长的最小值为24;故答案为:
24.
【点评】此题考查了一次函数的综合,用到的知识点是垂径定理、勾股定理、圆的有关性质,关键是求出最短时的位置.
2:
新课讲解
1、熟练掌握圆幂定理的基本概念。
2、熟悉有关圆幂定理的相关题型,出题形式与解题思路。
3、能够用自己的话叙述圆幂定理的概念。
4、通过课上例题,结合课下练习。
掌握此部分的知识。
1、相交弦定理
2、
相交弦定理
(1)相交弦定理:
圆内的两条相交弦,被交点分成的两条线段长的积相等.(经过圆内一点引两条线,各弦被这点所分成的两段的积相等).
几何语言:
若弦、交于点P,则••(相交弦定理)
(2)推论:
如果弦与直径垂直相交,那么弦的一半是它分直径所成
的两条线段的比例中项.
几何语言:
若是直径,垂直于点P,则2•(相交弦定理推论).
Ø基本题型:
【例1】(2014秋•江阴市期中)如图,⊙O的弦、相交于点P,若3,4,2,则长为( )
A.6B.12C.8D.不能确定
【考点】M7:
相交弦定理.
【专题】11:
计算题.
【分析】由相交线定理可得出••,再根据3,4,2,可得出的长,从而得出即可.
【解答】解:
∵••,
∴
,
∵3,4,2,
∴6,
∴2+6=8.
故选C.
【点评】本题考查了相交线定理,圆内两条弦相交,被交点分成的两条线段的积相等.
【练习1】(2015•南长区一模)如图,矩形为⊙O的内接四边形,2,3,点E为上一点,且1,延长交⊙O于点F,则线段的长为( )
A.
B.5C.
+1D.
【考点】M7:
相交弦定理.
【分析】由矩形的性质和勾股定理求出,再由相交弦定理求出,即可得出的长.
【解答】解:
∵四边形是矩形,
∴∠90°,
∴
,
∵3,1,∴2,
由相交弦定理得:
••,
∴
,
∴
;
故选:
A.
【点评】本题考查了矩形的性质、勾股定理、相交弦定理;熟练掌握矩形的性质和相交弦定理,并能进行推理计算是解决问题的关键.
Ø综合题型
【例2】(2004•福州)如图,是⊙O的直径,M是⊙O上一点,⊥,垂足为N.P、Q分别是
、
上一点(不与端点重合),如果∠∠,下面结论:
①∠1=∠2;②∠∠180°;③∠∠;④;⑤2•.其中正确的是( )
A.①②③B.①③⑤C.④⑤D.①②⑤
【考点】M7:
相交弦定理;M2:
垂径定理;M4:
圆心角、弧、弦的关系;M5:
圆周角定理;S9:
相似三角形的判定与性质.
【专题】16:
压轴题.
【分析】根据圆周角定理及已知对各个结论进行分析,从而得到答案.
【解答】解:
延长交圆于点W,延长交圆于点E,延长交圆于点F,连接,
∵∠∠,⊥,
∴∠1=∠2(故①正确),
∵∠2与∠是对顶角,
∴∠1=∠,
∵是直径,
∴可得,
同理,
∵点N是的中点,•2•••(故⑤正确),
∴:
:
,
∵∠∠,
∴△∽△,
∴∠∠(故③正确).
故选B.
【点评】本题利用了相交弦定理,相似三角形的判定和性质,垂径定理求解.
Ø与代数结合的综合题
【例3】(2016•中山市模拟)如图,正方形内接于⊙O,点P在劣弧上,连接,交于点Q.若,则
的值为( )
A.
B.
C.
D.
【考点】M7:
相交弦定理;:
勾股定理.
【专题】11:
计算题.
【分析】设⊙O的半径为r,,则,,﹣m.利用相交弦定理,求出m与r的关系,即用r表示出m,即可表示出所求比值.
【解答】解:
如图,设⊙O的半径为r,,则,,
﹣m.
在⊙O中,根据相交弦定理,得••.
即(r﹣m)()•,所以
.
连接,由勾股定理,得222,
即
,
解得
所以,
故选D.
【点评】本题考查了相交弦定理,即“圆内两弦相交于圆内一点,各弦被这点所分得的两线段的长的乘积相等”.熟记并灵活应用定理是解题的关键.
Ø需要做辅助线的综合题
【例4】(2008秋•苏州期末)如图,⊙O过M点,⊙M交⊙O于A,延长⊙O的直径交⊙M于C,若8,1,则 .
【考点】M7:
相交弦定理;:
勾股定理;M5:
圆周角定理.
【分析】根据相交弦定理可证••()(﹣)2﹣2=8,又由直径对的圆周角是直角,用勾股定理即可求解6.
【解答】解:
作过点M、B的直径,交圆于点E、F,
则,
由相交弦定理知,••()(﹣)2﹣2=8,
∵是圆O的直径,
∴∠90°,
由勾股定理得,222=64,
∴6.
【点评】本题利用了相交弦定理,直径对的圆周角是直角,勾股定理求解.
3、割线定理
割线定理
割线定理:
从圆外一点引圆的两条割线,这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等.
几何语言:
∵,是⊙O的割线
∴••(割线定理)
由上可知:
2••.
Ø基本题型
【例5】(1998•绍兴)如图,过点P作⊙O的两条割线分别交⊙O于点A、B和点C、D,已知3,2,则的长是( )
A.3B.7.5C.5D.5.5
【考点】:
切割线定理.
【分析】由已知可得的长,再根据割线定理得••即可求得的长.
【解答】解:
∵3,2,
∴5,
∵••,
∴7.5,
故选B.
【点评】主要是考查了割线定理的运用.
【练习2】(2003•天津)如图,△中,∠90°,3,4,以点C为圆心、为半径的圆与、分别交于点D、E.求、的长.
【考点】:
切割线定理;:
勾股定理.
【分析】△中,由勾股定理可直接求得的长;
延长交⊙C于点F,根据割线定理,得••,由此可求出的长,进而可求得的长.
【解答】解:
法1:
在△中,3,4;
根据勾股定理,得5.
延长交⊙C于点F,则有:
3(⊙C的半径),
﹣1,7;
由割线定理得,••,
于是
;
所以﹣
;
法2:
过C作⊥,交于点M,如图所示,
由垂径定理可得M为的中点,
∵S△
•
•,且3,4,5,
∴
,
在△中,根据勾股定理得:
222,即92+(
)2,
解得:
,
∴2
.
【点评】此题主要考查学生对勾股定理及割线定理的理解及运用.
Ø综合题型
【例6】(2015•武汉校级模拟)如图,两同心圆间的圆环的面积为16π,过小圆上任意一点P作大圆的弦,则•的值是( )
A.16B.16πC.4D.4π
【考点】:
切割线定理.
【分析】过P点作大圆的直径,如图,设大圆半径为R,小圆半径为r,根据相交弦定理得到•(﹣)•()2﹣r2,再利用πR2﹣πr2=16π得到R2﹣r2=16,所以•16.
【解答】解:
过P点作大圆的直径,如图,设大圆半径为R,小圆半径为r,
∵••,
∴•(﹣)•()
=(R﹣r)()
2﹣r2,
∵两同心圆间的圆环(即图中阴影部分)的面积为16π,
∴πR2﹣πr2=16π,
∴R2﹣r2=16,
∴•16.
故选A.
【点评】本题考查了垂径定理:
平分弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的两条弧.也考查了相交弦定理.
【思考】观察讲义课后练习最后一道题,是否有思路?
4、切割线定理
切割线定理
切割线定理:
从圆外一点引圆的两条割线,这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等.
几何语言:
∵,是⊙O的割线
∴••(割线定理)
由上可知:
2••.
【例7】(2013•长清区二模)如图,为⊙O的切线,A为切点,⊙O的割线过点O与⊙O分别交于B、C,8,4,求⊙O的半径.
【考点】:
切割线定理.
【专题】11:
计算题.
【分析】连接,设⊙O的半径为,由勾股定理,列式计算即可.
【解答】解:
连接,
设⊙O的半径为,(2分)
则r2+82=(4)2,(4分)
解得6,∴⊙O的半径为6.(2分)
【点评】本题考查的是切割线定理,勾股定理,是基础知识要熟练掌握.
【练习3】(2013秋•东台市期中)如图,点P是⊙O直径的延长线上一点,切⊙