圆幂定理讲义带复习资料.docx
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圆幂定理讲义带复习资料
圆幂定理
1:
进门考
理念：
1.检测垂径定理的基本知识点与题型。
2.垂径定理典型例题的回顾检测。
3.分析学生圆部分的薄弱环节。
（1）例题复习。
1.（2015•夏津县一模）一副量角器与一块含30°锐角的三角板如图所示放置，三角板的直角顶点C落在量角器的直径上，顶点A，B恰好都落在量角器的圆弧上，且∥．若8，则量角器的直径 ．
【考点】M3：
垂径定理的应用；：
勾股定理；T7：
解直角三角形．
【分析】作⊥于点D，取圆心O，连接，作⊥于点E，首先求得的长，即的长，在直角△中，利用勾股定理求得半径的长，则即可求解．
【解答】解：
作⊥于点D，取圆心O，连接，作⊥于点E．
在直角△中，∠30°，则
4，在直角△中，∠90°﹣∠60°，
∴•4×
=2
（），∴2
，
在△中，
4，
则
2
（），则24
（）．故答案是：
4
．
【点评】本题考查了垂径定理的应用，在半径或直径、弦长以及弦心距之间的计算中，常用的方法是转化为解直角三角形．
2.（2017•阿坝州）如图将半径为2的圆形纸片折叠后，圆弧恰好经过圆心O，则折痕的长为（ ）
A．2B．
C．2
D．2
【考点】M2：
垂径定理；：
翻折变换（折叠问题）．
【分析】通过作辅助线，过点O作⊥交于点D，根据折叠的性质可知2，根据勾股定理可将的长求出，通过垂径定理可求出的长．
【解答】解：
过点O作⊥交于点D，连接，
∵22，∴
（），
∵⊥，∴22
．故选：
D．
【点评】本题考查了垂径定理和勾股定理的运用，正确应用勾股定理是解题关键．
3.（2014•泸州）如图，在平面直角坐标系中，⊙P的圆心坐标是（3，a）（a＞3），半径为3，函数的图象被⊙P截得的弦的长为
，则a的值是（ ）
A．4B．
C．
D．
【考点】M2：
垂径定理；F8：
一次函数图象上点的坐标特征；：
勾股定理．
【专题】11：
计算题；16：
压轴题．
【分析】⊥x轴于C，交于D，作⊥于E，连结，由于3，，易得D点坐标为（3，3），则△为等腰直角三角形，△也为等腰直角三角形．由⊥，根据垂径定理得
2
，在△中，利用勾股定理可计算出1，则
，所以3+
．
【解答】解：
作⊥x轴于C，交于D，作⊥于E，连结，如图，
∵⊙P的圆心坐标是（3，a），∴3，，
把3代入得3，∴D点坐标为（3，3），∴3，
∴△为等腰直角三角形，∴△也为等腰直角三角形，
∵⊥，∴
×4
=2
，在△中，3，
∴
，∴
，∴3+
．故选：
B．
【点评】本题考查了垂径定理：
垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了勾股定理和等腰直角三角形的性质．
4.（2013•内江）在平面直角坐标系中，以原点O为圆心的圆过点A（13，0），直线﹣34与⊙O交于B、C两点，则弦的长的最小值为 ．
【考点】：
一次函数综合题．
【专题】16：
压轴题．
【分析】根据直线﹣34必过点D（3，4），求出最短的弦是过点D且与该圆直径垂直的弦，再求出的长，再根据以原点O为圆心的圆过点A（13，0），求出的长，再利用勾股定理求出，即可得出答案．
【解答】解：
∵直线﹣34（x﹣3）+4，∴k（x﹣3）﹣4，
∵k有无数个值，∴x﹣3=0，y﹣4=0，解得3，4，
∴直线必过点D（3，4），∴最短的弦是过点D且与该圆直径垂直的弦，
∵点D的坐标是（3，4），∴5，
∵以原点O为圆心的圆过点A（13，0），∴圆的半径为13，
∴13，∴12，∴的长的最小值为24；故答案为：
24．
【点评】此题考查了一次函数的综合，用到的知识点是垂径定理、勾股定理、圆的有关性质，关键是求出最短时的位置．
2:
新课讲解
1、熟练掌握圆幂定理的基本概念。
2、熟悉有关圆幂定理的相关题型，出题形式与解题思路。
3、能够用自己的话叙述圆幂定理的概念。
4、通过课上例题，结合课下练习。
掌握此部分的知识。
1、相交弦定理
2、
相交弦定理
（1）相交弦定理：
圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等．（经过圆内一点引两条线，各弦被这点所分成的两段的积相等）．
几何语言：
若弦、交于点P，则••（相交弦定理）
（2）推论：
如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成
的两条线段的比例中项．
几何语言：
若是直径，垂直于点P，则2•（相交弦定理推论）．
Ø基本题型：
【例1】（2014秋•江阴市期中）如图，⊙O的弦、相交于点P，若3，4，2，则长为（ ）
A．6B．12C．8D．不能确定
【考点】M7：
相交弦定理．
【专题】11：
计算题．
【分析】由相交线定理可得出••，再根据3，4，2，可得出的长，从而得出即可．
【解答】解：
∵••，
∴
，
∵3，4，2，
∴6，
∴2+6=8．
故选C．
【点评】本题考查了相交线定理，圆内两条弦相交，被交点分成的两条线段的积相等．
【练习1】（2015•南长区一模）如图，矩形为⊙O的内接四边形，2，3，点E为上一点，且1，延长交⊙O于点F，则线段的长为（ ）
A．
B．5C．
+1D．
【考点】M7：
相交弦定理．
【分析】由矩形的性质和勾股定理求出，再由相交弦定理求出，即可得出的长．
【解答】解：
∵四边形是矩形，
∴∠90°，
∴
，
∵3，1，∴2，
由相交弦定理得：
••，
∴
，
∴
；
故选：
A．
【点评】本题考查了矩形的性质、勾股定理、相交弦定理；熟练掌握矩形的性质和相交弦定理，并能进行推理计算是解决问题的关键．
Ø综合题型
【例2】（2004•福州）如图，是⊙O的直径，M是⊙O上一点，⊥，垂足为N．P、Q分别是
、
上一点（不与端点重合），如果∠∠，下面结论：
①∠1=∠2；②∠∠180°；③∠∠；④；⑤2•．其中正确的是（ ）
A．①②③B．①③⑤C．④⑤D．①②⑤
【考点】M7：
相交弦定理；M2：
垂径定理；M4：
圆心角、弧、弦的关系；M5：
圆周角定理；S9：
相似三角形的判定与性质．
【专题】16：
压轴题．
【分析】根据圆周角定理及已知对各个结论进行分析，从而得到答案．
【解答】解：
延长交圆于点W，延长交圆于点E，延长交圆于点F，连接，
∵∠∠，⊥，
∴∠1=∠2（故①正确），
∵∠2与∠是对顶角，
∴∠1=∠，
∵是直径，
∴可得，
同理，
∵点N是的中点，•2•••（故⑤正确），
∴：
：
，
∵∠∠，
∴△∽△，
∴∠∠（故③正确）．
故选B．
【点评】本题利用了相交弦定理，相似三角形的判定和性质，垂径定理求解．
Ø与代数结合的综合题
【例3】（2016•中山市模拟）如图，正方形内接于⊙O，点P在劣弧上，连接，交于点Q．若，则
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【考点】M7：
相交弦定理；：
勾股定理．
【专题】11：
计算题．
【分析】设⊙O的半径为r，，则，，﹣m．利用相交弦定理，求出m与r的关系，即用r表示出m，即可表示出所求比值．
【解答】解：
如图，设⊙O的半径为r，，则，，
﹣m．
在⊙O中，根据相交弦定理，得••．
即（r﹣m）（）•，所以
．
连接，由勾股定理，得222，
即
，
解得
所以，
故选D．
【点评】本题考查了相交弦定理，即“圆内两弦相交于圆内一点，各弦被这点所分得的两线段的长的乘积相等”．熟记并灵活应用定理是解题的关键．
Ø需要做辅助线的综合题
【例4】（2008秋•苏州期末）如图，⊙O过M点，⊙M交⊙O于A，延长⊙O的直径交⊙M于C，若8，1，则 ．
【考点】M7：
相交弦定理；：
勾股定理；M5：
圆周角定理．
【分析】根据相交弦定理可证••（）（﹣）2﹣2=8，又由直径对的圆周角是直角，用勾股定理即可求解6．
【解答】解：
作过点M、B的直径，交圆于点E、F，
则，
由相交弦定理知，••（）（﹣）2﹣2=8，
∵是圆O的直径，
∴∠90°，
由勾股定理得，222=64，
∴6．
【点评】本题利用了相交弦定理，直径对的圆周角是直角，勾股定理求解．
3、割线定理
割线定理
割线定理：
从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等．
几何语言：
∵，是⊙O的割线
∴••（割线定理）
由上可知：
2••．
Ø基本题型
【例5】（1998•绍兴）如图，过点P作⊙O的两条割线分别交⊙O于点A、B和点C、D，已知3，2，则的长是（ ）
A．3B．7.5C．5D．5.5
【考点】：
切割线定理．
【分析】由已知可得的长，再根据割线定理得••即可求得的长．
【解答】解：
∵3，2，
∴5，
∵••，
∴7.5，
故选B．
【点评】主要是考查了割线定理的运用．
【练习2】（2003•天津）如图，△中，∠90°，3，4，以点C为圆心、为半径的圆与、分别交于点D、E．求、的长．
【考点】：
切割线定理；：
勾股定理．
【分析】△中，由勾股定理可直接求得的长；
延长交⊙C于点F，根据割线定理，得••，由此可求出的长，进而可求得的长．
【解答】解：
法1：
在△中，3，4；
根据勾股定理，得5．
延长交⊙C于点F，则有：
3（⊙C的半径），
﹣1，7；
由割线定理得，••，
于是
；
所以﹣
；
法2：
过C作⊥，交于点M，如图所示，
由垂径定理可得M为的中点，
∵S△
•
•，且3，4，5，
∴
，
在△中，根据勾股定理得：
222，即92+（
）2，
解得：
，
∴2
．
【点评】此题主要考查学生对勾股定理及割线定理的理解及运用．
Ø综合题型
【例6】（2015•武汉校级模拟）如图，两同心圆间的圆环的面积为16π，过小圆上任意一点P作大圆的弦，则•的值是（ ）
A．16B．16πC．4D．4π
【考点】：
切割线定理．
【分析】过P点作大圆的直径，如图，设大圆半径为R，小圆半径为r，根据相交弦定理得到•（﹣）•（）2﹣r2，再利用πR2﹣πr2=16π得到R2﹣r2=16，所以•16．
【解答】解：
过P点作大圆的直径，如图，设大圆半径为R，小圆半径为r，
∵••，
∴•（﹣）•（）
=（R﹣r）（）
2﹣r2，
∵两同心圆间的圆环（即图中阴影部分）的面积为16π，
∴πR2﹣πr2=16π，
∴R2﹣r2=16，
∴•16．
故选A．
【点评】本题考查了垂径定理：
平分弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了相交弦定理．
【思考】观察讲义课后练习最后一道题，是否有思路？
4、切割线定理
切割线定理
切割线定理：
从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等．
几何语言：
∵，是⊙O的割线
∴••（割线定理）
由上可知：
2••．
【例7】（2013•长清区二模）如图，为⊙O的切线，A为切点，⊙O的割线过点O与⊙O分别交于B、C，8，4，求⊙O的半径．
【考点】：
切割线定理．
【专题】11：
计算题．
【分析】连接，设⊙O的半径为，由勾股定理，列式计算即可．
【解答】解：
连接，
设⊙O的半径为，（2分）
则r2+82=（4）2，（4分）
解得6，∴⊙O的半径为6．（2分）
【点评】本题考查的是切割线定理，勾股定理，是基础知识要熟练掌握．
【练习3】（2013秋•东台市期中）如图，点P是⊙O直径的延长线上一点，切⊙
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