圆幂定理讲义带复习资料.docx

1、圆幂定理讲义带复习资料圆幂定理 1:进门考理念：1. 检测垂径定理的基本知识点与题型。 2. 垂径定理典型例题的回顾检测。 3. 分析学生圆部分的薄弱环节。（1）例题复习。1. （2015夏津县一模）一副量角器与一块含30锐角的三角板如图所示放置，三角板的直角顶点C落在量角器的直径上，顶点A，B恰好都落在量角器的圆弧上，且若8，则量角器的直径 【考点】M3：垂径定理的应用；：勾股定理；T7：解直角三角形【分析】作于点D，取圆心O，连接，作于点E，首先求得的长，即的长，在直角中，利用勾股定理求得半径的长，则即可求解【解答】解：作于点D，取圆心O，连接，作于点E在直角中，30，则4， 在直角中，9

2、060，4=2（）， 2，在中，4，则2（）， 则24（） 故答案是：4【点评】本题考查了垂径定理的应用，在半径或直径、弦长以及弦心距之间的计算中，常用的方法是转化为解直角三角形2. （2017阿坝州）如图将半径为2的圆形纸片折叠后，圆弧恰好经过圆心O，则折痕的长为（）A2 B C2 D2【考点】M2：垂径定理；：翻折变换（折叠问题）【分析】通过作辅助线，过点O作交于点D，根据折叠的性质可知2，根据勾股定理可将的长求出，通过垂径定理可求出的长【解答】解：过点O作交于点D，连接，22， （）， 22 故选：D【点评】本题考查了垂径定理和勾股定理的运用，正确应用勾股定理是解题关键3. （2014泸

3、州）如图，在平面直角坐标系中，P的圆心坐标是（3，a）（a3），半径为3，函数的图象被P截得的弦的长为，则a的值是（）A4 B C D【考点】M2：垂径定理；F8：一次函数图象上点的坐标特征；：勾股定理【专题】11 ：计算题；16 ：压轴题【分析】x轴于C，交于D，作于E，连结，由于3，易得D点坐标为（3，3），则为等腰直角三角形，也为等腰直角三角形由，根据垂径定理得2，在中，利用勾股定理可计算出1，则，所以3+【解答】解：作x轴于C，交于D，作于E，连结，如图，P的圆心坐标是（3，a）， 3，把3代入得3， D点坐标为（3，3）， 3，为等腰直角三角形， 也为等腰直角三角形， 4=2， 在中

4、，3， ， 3+ 故选：B【点评】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧也考查了勾股定理和等腰直角三角形的性质4. （2013内江）在平面直角坐标系中，以原点O为圆心的圆过点A（13，0），直线34与O交于B、C两点，则弦的长的最小值为 【考点】：一次函数综合题【专题】16 ：压轴题【分析】根据直线34必过点D（3，4），求出最短的弦是过点D且与该圆直径垂直的弦，再求出的长，再根据以原点O为圆心的圆过点A（13，0），求出的长，再利用勾股定理求出，即可得出答案【解答】解：直线34（x3）+4， k（x3）4，k有无数个值， x3=0，y4=0，解得3，4，直线必过

5、点D（3，4）， 最短的弦是过点D且与该圆直径垂直的弦，点D的坐标是（3，4）， 5，以原点O为圆心的圆过点A（13，0）， 圆的半径为13，13， 12， 的长的最小值为24； 故答案为：24【点评】此题考查了一次函数的综合，用到的知识点是垂径定理、勾股定理、圆的有关性质，关键是求出最短时的位置 2:新课讲解1、熟练掌握圆幂定理的基本概念。2、熟悉有关圆幂定理的相关题型，出题形式与解题思路。3、能够用自己的话叙述圆幂定理的概念。4、通过课上例题，结合课下练习。掌握此部分的知识。1、相交弦定理2、相交弦定理（1）相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等（经过圆内一点引两条线

6、，各弦被这点所分成的两段的积相等） 几何语言：若弦、交于点P，则（相交弦定理）（2）推论：如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项 几何语言：若是直径，垂直于点P，则2（相交弦定理推论） 基本题型：【例1】 （2014秋江阴市期中）如图，O的弦、相交于点P，若3，4，2，则长为（）A6 B12 C8 D不能确定【考点】M7：相交弦定理【专题】11 ：计算题【分析】由相交线定理可得出，再根据3，4，2，可得出的长，从而得出即可【解答】解：，3，4，2，6，2+6=8故选C【点评】本题考查了相交线定理，圆内两条弦相交，被交点分成的两条线段的积相等【练习1】 （2015南

7、长区一模）如图，矩形为O的内接四边形，2，3，点E为上一点，且1，延长交O于点F，则线段的长为（）A B5 C+1 D【考点】M7：相交弦定理【分析】由矩形的性质和勾股定理求出，再由相交弦定理求出，即可得出的长【解答】解：四边形是矩形，90，3，1，2，由相交弦定理得：，；故选：A【点评】本题考查了矩形的性质、勾股定理、相交弦定理；熟练掌握矩形的性质和相交弦定理，并能进行推理计算是解决问题的关键 综合题型【例2】 （2004福州）如图，是O的直径，M是O上一点，垂足为NP、Q分别是、上一点（不与端点重合），如果，下面结论：1=2；180；2其中正确的是（）A B C D【考点】M7：相交弦定理

8、；M2：垂径定理；M4：圆心角、弧、弦的关系；M5：圆周角定理；S9：相似三角形的判定与性质【专题】16 ：压轴题【分析】根据圆周角定理及已知对各个结论进行分析，从而得到答案【解答】解：延长交圆于点W，延长交圆于点E，延长交圆于点F，连接，1=2（故正确），2与是对顶角，1=，是直径，可得，同理，点N是的中点，2（故正确），：，（故正确）故选B【点评】本题利用了相交弦定理，相似三角形的判定和性质，垂径定理求解 与代数结合的综合题【例3】 （2016中山市模拟）如图，正方形内接于O，点P在劣弧上，连接，交于点Q若，则的值为（）A B C D【考点】M7：相交弦定理；：勾股定理【专题】11 ：计算

9、题【分析】设O的半径为r，则，m利用相交弦定理，求出m与r的关系，即用r表示出m，即可表示出所求比值【解答】解：如图，设O的半径为r，则，m在O中，根据相交弦定理，得即（rm）（），所以连接，由勾股定理，得222，即，解得所以，故选D【点评】本题考查了相交弦定理，即“圆内两弦相交于圆内一点，各弦被这点所分得的两线段的长的乘积相等”熟记并灵活应用定理是解题的关键 需要做辅助线的综合题【例4】 （2008秋苏州期末）如图，O过M点，M交O于A，延长O的直径交M于C，若8，1，则 【考点】M7：相交弦定理；：勾股定理；M5：圆周角定理【分析】根据相交弦定理可证（）（）22=8，又由直径对的圆周角是直

10、角，用勾股定理即可求解6【解答】解：作过点M、B的直径，交圆于点E、F，则，由相交弦定理知，（）（）22=8，是圆O的直径，90，由勾股定理得，222=64，6【点评】本题利用了相交弦定理，直径对的圆周角是直角，勾股定理求解3、割线定理割线定理割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等 几何语言：，是O的割线 （割线定理） 由上可知：2 基本题型【例5】 （1998绍兴）如图，过点P作O的两条割线分别交O于点A、B和点C、D，已知3，2，则的长是（）A3 B7.5 C5 D5.5【考点】：切割线定理【分析】由已知可得的长，再根据割线定理得即可求得的长【解

11、答】解：3，2，5，7.5，故选B【点评】主要是考查了割线定理的运用【练习2】（2003天津）如图，中，90，3，4，以点C为圆心、为半径的圆与、分别交于点D、E求、的长【考点】：切割线定理；：勾股定理【分析】中，由勾股定理可直接求得的长；延长交C于点F，根据割线定理，得，由此可求出的长，进而可求得的长【解答】解：法1：在中，3，4；根据勾股定理，得5延长交C于点F，则有：3（C的半径），1，7；由割线定理得，于是；所以；法2：过C作，交于点M，如图所示，由垂径定理可得M为的中点，S，且3，4，5，在中，根据勾股定理得：222，即92+（）2，解得：，2【点评】此题主要考查学生对勾股定理及割线

12、定理的理解及运用 综合题型【例6】 （2015武汉校级模拟）如图，两同心圆间的圆环的面积为16，过小圆上任意一点P作大圆的弦，则的值是（）A16 B16 C4 D4【考点】：切割线定理【分析】过P点作大圆的直径，如图，设大圆半径为R，小圆半径为r，根据相交弦定理得到（）（）2r2，再利用R2r2=16得到R2r2=16，所以16【解答】解：过P点作大圆的直径，如图，设大圆半径为R，小圆半径为r，（）（）=（Rr）（）2r2，两同心圆间的圆环（即图中阴影部分）的面积为16，R2r2=16，R2r2=16，16故选A【点评】本题考查了垂径定理：平分弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧也考查了

13、相交弦定理【思考】观察讲义课后练习最后一道题，是否有思路？4、切割线定理切割线定理切割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等 几何语言：，是O的割线 （割线定理） 由上可知：2【例7】 （2013长清区二模）如图，为O的切线，A为切点，O的割线过点O与O分别交于B、C，8，4，求O的半径【考点】：切割线定理【专题】11 ：计算题【分析】连接，设O的半径为，由勾股定理，列式计算即可【解答】解：连接，设O的半径为，（2分）则r2+82=（4）2，（4分）解得6，O的半径为6（2分）【点评】本题考查的是切割线定理，勾股定理，是基础知识要熟练掌握【练习3】 （2013秋东台市期中）如图，点P是O直径的延长线上一点，切