最新人教版八年级数学上册导学案第十四章 整式的乘法与因式分解.docx

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最新人教版八年级数学上册导学案第十四章整式的乘法与因式分解

第十四章整式的乘法与因式分解

14.1整式的乘法

14.1.1同底数幂的乘法

一、新课导入

1.导入课题：

一种电子计算机每秒可进行1千万亿（1015）次运算，它工作103s可进行多少次运算？

你能对算式1015×103进行运算吗？

该算式有何特点？

2.学习目标：

（1）知道同底数幂的乘法法则.

（2）能熟练地运用同底数幂的乘法法则进行化简和计算.

3.学习重、难点：

重点：

同底数幂乘法法则及应用.

难点：

同底数幂乘法运算性质的推导和应用.

二、分层学习

1.自学指导：

（1）自学内容：

探究同底数幂的乘法运算法则（方法）.

（2）自学时间：

5分钟.

（3）自学方法：

结合乘方的意义，从具体算式及运算探究归纳同底数幂的运算方法.

（4）探究提纲：

①导学问题中该计算机工作103秒可进行运算的次数为1015×103.

②根据乘方的意义可知，1015表示15个10相乘，即10×10×…×1015个10；

103表示3个10相乘，即10×10×103个10，那么1015×103的结果是

10×10×…×10（15+3）个10，即10（18）.

③根据乘方的意义填空，观察计算结果，你能发现什么规律？

（1）25×22=2（7）

（2）a3·a2=a（5）（3）5m×5n=5（m+n）

④由③的经验可知，am·an=a（m+n），试用文字表述这个规律，并根据乘方的意义进行证明.

2.自学：

学生结合探究提纲进行自主探究.

3.助学：

（1）师助生:

①明了学情：

了解学生探究的方法和依据是否正确，收集存在的问题.

②差异指导：

帮助、引导学困生复习回顾乘方的意义.

（2）生助生：

学生之间相互交流帮助.

4.强化：

（1）总结：

同底数幂的乘法，使用范围是两个幂的底数相同，且是相乘关系，使用方法：

乘积中，幂的底数不变，指数相加.

（2）计算：

①103×104；②a·a3；③a·a3·a5；④x·x2+x2·x

=107=a4=a9=x3+x3=2x3

1.自学指导：

（1）自学内容：

教材第96例1.

（2）自学时间：

5分钟.

（3）自学方法：

认真看书，分别指出每题中的底数、指数各是什么？

（4）自学参考提纲：

①a·a6中a可看作a的7次方.

②（－2）·（－2）4·（-2）3中，相同的底数是-2.

③计算：

－22·（－2）3=（－2）2+3=（－2）5=－32正确吗？

为什么？

错误，应该是-22·（-2）3=22·23=25=32

④（－2）8=28（填“＞”“＜”或“＝”）

⑤判断：

－32=（－3）2（×）；a·a2·a3=a5（×）；（－x）4=x4（√）

2.自学：

结合自学指导进行自学.

3.助学：

（1）师助生：

①明了学情：

了解不同层次学生的学习运用法则计算的过程、步骤是否准确.

②差异指导：

指导学困生对法则的理解与运用.

（2）生助生：

学生之间相互交流帮助.

4.强化：

（1）使用法则时注意明确题目中的“底数”、“指数”的变化.（不变与改变）

（2）练习：

①计算：

b2·b=b310×102×103=106－a2·a6=-a8

y2n·yn+1=y3n+1-5·（-5）2·（-5）4=-57

②判断：

a5=a3+a2（×）a5=a3·a2（√）am+n=am+an（×）

三、评价

1.学生的自我评价（围绕三维目标）：

学生代表分享自己的学习收获和学习体会.

2.教师对学生的评价：

（1）表现性评价：

对学生的学习态度、方法、收效及不足进行点评.

（2）纸笔评价：

课堂评价检测.

3.教师的自我评价（教学反思）:

本课时在教学时要充分利用学生已有关于乘方意义理解的知识，引领学生自主探究出同底数幂的乘法公式，这样有利于加深学生对新知的认识与理解，便于应用于各种形式的解决问题中.教学时要强调学生对公式中运算符号的变化特点，提醒学生不能想当然地得出am·an=amn的结论，并加强各种变式的训练.

一、基础巩固（每题10分，共70分）

1.x3·x2的运算结果是（C）

A.x2B.x3C.x5D.x6

2.a16可以写成（C）

A.a8+a6B.a8·a2C.a8·a8D.a4·a4

3.下列计算正确的是（D）

A.b4·b2=b8B.x3+x2=x6C.a4+a2=a6D.m3·m=m4

4.下列各式能用同底数幂乘法法则进行计算的是（B）

A.（x+y）2·（x－y）2B.（－x－y）（x+y）2

C.（x+y）2+（x+y）3D.－（x－y）·（－x－y）3

5.（－x）6·x7·x8=x21；（x－2y）2（2y－x）5=（2y-x）7.

6.10000×10m-4=10m；若10x=a，10y=b，则10x+y=ab.

7.a5·a7=a6·a（6）=a4·a（8）=a（12）3x+2=（9）·3x

二、综合应用（每题10分，共20分）

8.若xm=2，xn=

，则xm+n=（B）

A.－1B.1C.

D.－4

9.若3x+2=36，则

=2.

三、拓展延伸（共10分）

10.已知2a=3，2b=6，2c=18，试探求a，b，c之间的关系.

解：

∵2b=6,∴22b=36,2a·2c=36

2a·2c=22b,

∴2a+c=22b,

∴a+c=2b.

14.1.2幂的乘方

一、新课导入

1.导入课题：

通过上节的学习，大家知道a2·a3怎么运算，对于（a2）3该怎样运算呢？

它表示什么意义呢？

今天我们学习幂的乘方运算.

2.学习目标：

（1）知道幂的乘方的法则.

（2）能熟练地运用幂的乘方的法则进行化简和计算.

3.学习重、难点：

重点：

幂的乘方法则及应用.

难点：

幂的乘方法则的推导及应用.

二、分层学习

1.自学指导：

（1）自学内容：

探究幂的乘方的运算法则.

（2）自学时间：

5分钟.

（3）自学方法：

分析探究提纲中算式的意义，注意比较算式与结果的指数规律.

（4）探究提纲：

①根据乘方的意义及同底数幂的乘法填空，观察计算结果，你能发现什么规律？

（1）（32）3=32×32×32=3（6）

（2）（a2）3=a2×a2×a2=a（6）

（3）（am）3=am×am×am=a（3m）（m为正整数）

②将上述运算规律推广到一般可得到：

（am）n=am……am（n）个am=a（mn）（m、n为正整数）

③根据②填空：

幂的乘方，底数不变，指数相乘.即（am）n=amn（m、n都是正整数）.

2.自学：

学生结合探究提纲进行自主探究.

3.助学：

（1）师助生：

①明了学情：

了解不同层次的学生对幂的乘方的意义及法则推导过程的理解情况.

②差异指导：

引导不同层次的学生理解（am）n的意义及运算结果的规律总结.

（2）生助生：

相互交流帮助解决疑难问题.

4.强化：

（1）幂的乘方法则.

（2）计算：

①（103）5=1015；②（b3）4=b12；

③（xn）3=x3n；④－（x7）7=-x49.

（3）填空：

①（32）3=（33）

（2）②（am）n=（an）（m）

1.自学指导：

（1）自学内容：

教材第96页例2.

（2）自学时间：

5分钟.

（3）自学方法：

认真研读课本中的例题是如何运用法则的.

（4）自学参考提纲：

①请写出幂的乘方的意义，即（am）n表示n个am相乘.

②分清算式中的底数和指数各是什么？

③填空：

（103）3=109；（-x3）2=x6；（－xm）3=-x3m；（a2）3·a5=a11

2.自学：

学生可结合自学指导进行自学.

3.助学：

（1）师助生：

①明了学情：

了解学生对幂的乘方的法则的运用是否掌握.

②差异指导：

指导学困生分清底数、指数，并总结运算过程中什么变，什么不变.

（2）生助生：

学生相互交流帮助解疑难.

4.强化：

（1）总结：

①运用幂的乘方法则进行计算的步骤.

②当底数是负数时，注意指数的奇偶数对结果符号的影响.

（2）计算：

口算：

①（x3）3=x9

②（x2）3=x6

③－（x2）3=-x6

④－（－x2）3=x6

计算：

①（－104）2=108

②a·（a2）2=a5

③［（-2）4］3=212

④（－a2）3·（－a3）2=－a12

三、评价

1.学生的自我评价（围绕三维目标）：

各小组学生代表交谈自己的学习收获和学习体会.

2.教师对学生的评价：

（1）表现性评价：

对学生的学习态度、方法、收效及不足进行点评.

（2）纸笔评价：

课堂评价检测.

3.教师的自我评价（教学反思）：

本课时教学可类比同底数幂乘法知识的学习过程，由学生根据乘方的意义推导出法则，并从中识别两个公式的异同点，从本质上理解并认识法则，再利用各种形式的训练加强学生对法则的理解与运用.

教学中可渗透对逆向思考方法的强调，让学生形成逆向思考数学问题的习惯，逐步提升打破常规，勇于创新的素质，真正得到数学素养的加深.

一、基础巩固（第1、2、3、4、5题每题10分，第6题20分，共70分）

1.计算（x3）3的结果（D）

A.x5B.x6C.x8D.x9

2.下列运算正确的是（B）

A.a2·a3=a6B.（a3）2=a6C.a5·a5=a25D.（3x）3=3x3

3.计算：

（102）2=10000;（x4）3=x12.

4.计算：

x5·（x4）4=x21.

5.计算：

（x-y）2［（y-x）3］3=（y-x）11.

6.计算下列各题：

（1）（xa）b·（xb）a;

（2）（22）3·（23）3;

（3）（a2）4·（a5）2;（4）（-53）2·［（-5）4］3.

解：

（1）x2ab;

（2）215;（3）a18;（4）518.

二、综合应用（共20分）

7.

（1）若2x+y=3，则4x·2y=8.

（2）已知3m·9m·27m·81m=330，求m的值.

解：

3m·32m·33m·34m=330

310m=330

m=3

三、拓展延伸（共10分）

8.若2a=3,2b=5,求23a+2b+2的值.

解：

23a+2b+2=（2a）3·（2b）2·22

=27×25×4=2700.

14.1.3积的乘方

一、新课导入

1.导入课题：

有一个正方体包装盒，棱长为4×102mm，要求它的体积有多大？

你知道怎样列式吗？

2.学习目标：

（1）认识积的乘方的推导过程.

（2）知道积的乘方运算法则，并能熟练运用.

3.学习重、难点：

重点：

积的乘方的运算法则.

难点：

积的乘方的运算法则的推导和灵活运用.

二、分层学习

1.自学指导：

（1）自学内容：

探究积的乘方的运算有什么规律.

（2）自学时间：

5分钟.

（3）自学方法：

参照下列提纲进行探究，并思考运算过程的依据，运算结果与算式之间有何规律.

（4）探究提纲：

①知识回顾：

幂的乘方，底数不变，指数相乘.（a2）3=a6，（am）n=amn.

（ab）2表示a与b的积的平方.

②看一看，填一填：

（ab）2=ab·ab=（a·a）·（b·b）=a

（2）b

（2）；

（a2b3）2=（a2b3）·（a2b3）=（a2·a2）（b3·b3）=a（4）·b（6）

③想一想，说一说以上运算过程中运用到哪些运算律或运算法则？

乘法结合律和乘法交换律

④（ab）n=（ab）·（ab）·…·（ab）n个ab依据：

幂的定义.

=（a·a·a·…a）（n）个a·（b·b·b·…b）（n）个b依据：

乘法结合律和乘法交换律=a（n）b（n）依据：

幂的定义.

即（ab）n=anbn（n为正整数）.用文字表述是：

积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘.

⑤试一试：

（5a）2=25a2;（4b2）3=64b6.

2.自学：

学生结合探究提纲进行自主探究.

3.助学：

（1）师助生：

①明了学情：

了解不同层次学生的探究情况.

②差异指导：

重点指导学生对（ab）n的运算结果的推导过程的依据的认识.

（2）生助生：

学生之间相互交流帮助.

4.强化：

（1）积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘.用公式可以表达为：

（ab）n=anbn（n为正整数）.用自己的理解可以简化为：

积的乘方等于乘方的积.

（2）计算：

（ab）5=a5b5；（2a）3=8a3；（－xy）4=x4y4；

－（ab）3=－a3b3；（2ab2）3=8a3b6.

（3）解决导入课题的计算：

（4×102）3=6.4×107.

1.自学指导：

（1）自学内容：

教材第97页例3.

（2）自学时间：

5分钟.

（3）自学方法：

思考计算的每一步的依据，对照运算法则进行对比验证.

（4）自学参考提纲：

①先说说例3中，哪些相当于公式（ab）n=anbn中的a,b？

②仿例3，计算：

（－2x3）4=16x12;（

x2y）3=

x6y3.

③逆用公式（ab）n=anbn，能完成下面的填空吗？

试试看.

a3·b3=（ab）3;（-2）4a4=（2a）4;（－

）3a6b9=（-

a2b3）3.

2.自学：

学生可结合自学指导进行自学.

3.助学：

（1）师助生：

①明了学情：

了解各小组不同层次学生学习例题时不清楚的地方.

②差异指导：

对学困生重点指导例3中

（2）、（4）题的符号规律.

（2）生助生：

同桌间互相批改，并帮助分析纠错.

4.强化：

（1）总结：

①积的每个因数（式）分别乘方时，要带上符号.

②积的乘方公式可以逆向使用，在逆向使用时要求指数相同.

（2）练习：

①（－2x2）3=-8x6;②（－2ab2）3=-8a3b6;

③（xy2）2=x2·（y2）2=x2y4;④48×0.258=1.

三、评价

1.学生的自我评价（围绕三维目标）：

各小组学生代表交谈自己的学习收获和学习体会.

2.教师对学生的评价：

（1）表现性评价：

对学生的学习态度、方法、收效及不足进行点评.

（2）纸笔评价：

课堂评价检测.

3.教师的自我评价（教学反思）：

本课时教学可先由学生依据同底数幂的乘法、幂的乘方等法则的推导与应用自主探究出积的乘方法则，并应用于具体解题之中.教师注意引导学生发现幂的乘法法则、幂的乘方法则、积的乘方法则三个法则之间的异同，并利用具体问题指导学生解题时先观察分析问题特征，再合理选用法则.课堂中，可采用口答、动手做做等方式组织学生比赛，从中培养学生计算能力，教师依据具体情形予以点评指点，查漏补缺，使学生全方位从本质上理解知识.

一、基础巩固（每题10分，共70分）

1.（ab2）3=a3b6.

2.（－2x2y3）4=16x8y12

3.（2×102）4写成科学记数法的形式为1.6×109.

4.计算（am·an）p=amp+np.

5.计算（－0.5）16（－2）16=1.

6.下列运算正确的是（C）

A.x3+x3=x6B.x·x5=x5C.（xy）3=x3y3D.x3·x3=2x6

7.已知a3b3=8，求（－ab）6的值.

解：

（-ab）6=a6b6=（a3b3）2=64.

二、综合应用（每题10分，共20分）

8.计算：

0.1252015×82016

解：

原式=0.1252015×82015×8

=（0.125×8）2015×8

=12015×8

=8.

9.解方程：

3x+1·2x+1=62x－3

解：

3x+1·2x+1=62x-3

即（3×2）x+1=62x-3

∴x+1=2x-3

x=4.

三、拓展延伸（10分）

10.若|a|n=

，|b|n=3，求（ab）2n的值.

解：

（ab）2n=（|a|·|b|）2n

=|a|2n·|b|2n

=（|a|n）2·（|b|n）2

=（

）2×32

=

.

14.1.4整式的乘法

第1课时单项式与单项式、多项式相乘

一、新课导入

1.导入课题：

有一块长方形的大型画布，它的长为5×103cm，宽为3×102cm，你能计算出它的面积吗？

画布的面积是（5×103）×（3×102）cm2，你能计算出它的结果是多少吗？

2.学习目标：

（1）能叙述出单项式乘以单项式,单项式乘以多项式的运算法则.

（2）灵活地运用法则进行计算和化简.

3.学习重、难点：

重点：

单项式乘单项式及单项式乘以多项式的运算法则及应用.

难点：

单项式乘单项式及单项式乘以多项式的运算法则的应用.

二、分层学习

1.自学指导：

（1）自学内容：

探究单项式乘以单项式的运算法则.

（2）自学时间：

5分钟.

（3）自学方法：

采用“计算、观察、比较、归纳”的学习方法获取结论.

（4）自学参考提纲：

①怎样计算（5×103）×（3×102）？

计算过程中用到哪些运算律及运算性质？

（5×103）×（3×102）=5×3×103×102

运用了乘法交换律.

=（5×3）×（103×102）运用了乘法结合律.

=15×105=1.5×106.运用了乘法的运算.

②如果将上式中不是指数的数字改为字母，能得到怎样的算式，写出试试看.

计算ac5·bc2=ab·c7;3a2b·2ab3=6a3b4.

③通过刚才的尝试，能归纳出单项式与单项式相乘的运算法则吗？

④完成教材第99页“练习”第2题.

2.自学：

学生结合自学参考提纲进行自主探究.

3.助学：

（1）师助生：

①明了学情：

抽查不同层次的学生，了解学生完成探究的过程和结果是否正确.

②差异指导：

引导学困生复习回顾幂的乘方、同底数幂的乘法，积的乘方法则及运算律.

（2）生助生：

学生之间相互交流帮助解决疑难问题.

4.强化：

（1）单项式与单项式相乘的法则.

（2）计算：

（1）2c5·5c2；

（2）（-5a2b3）·（-4b2c）.

解：

（1）10c7；

（2）20a2b5c

1.自学指导：

（1）自学内容：

教材第98页例4.

（2）自学时间：

5分钟.

（3）自学方法：

认真观察例4解题的过程，注意符号变化和运算顺序.

（4）自学参考提纲：

①请你回忆同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方的法则.

②计算（2x）3·（－5xy2）时，先算（2x）3，再与（-5xy2）相乘.为什么？

因为有理数的混合运算法则为：

①先算乘方，再乘除，最后加减;②同级运算，从左到右进行;③如有括号按小括号、中括号、大括号依次进行.

③计算：

3x2·5x3=15x5；2ab·5ab2·3a2b=30a4b4；

4y·（－2xy2）=-8xy3；（a3b）2·（a2b）3=a12b5.

2.自学：

结合自学指导，研读课本例题.

3.助学：

（1）师助生：

①明了学情：

抽查不同层次学生的计算情况，了解存在的主要问题.

②差异指导：

对理解运算顺序的确定有困难的学生进行指导.

（2）生助生：

学生之间相互交流帮助.

4.强化：

交流与总结：

①运算顺序；②运算符号.

1.自学指导：

（1）自学内容教材第99页到教材第100页例5上面.

（2）自学时间：

5分钟.

（3）自学方法：

认真看书，重要的内容打上记号，有疑问的地方做上记号.

（4）自学参考提纲：

①等式p（a+b+c）=pa+pb+pc，是根据矩形的面积关系得出来的，你能根据分配律得到这个等式吗？

②等式p（a+b+c）=pa+pb+pc提供了单项式与多项式相乘的方法，你是如何理解的？

③单项式乘以多项式应用了乘法的什么运算律？

乘法分配律.

④试标出单项式乘以多项式的运算法则中的关键字词.

⑤试一试：

－2x（x+y）=-2x2-2xy;3ab（a+b）=3a2b+3ab2;

－（m－n+2）=-m+n-2.

2.自学：

学生结合自学指导进行自学.

3.助学：

（1）师助生：

①明了学情：

教师采取交谈、抽查方式了解自学进度及存在的问题.

②差异指导：

强调法则要点：

“乘多项式的每一项”，“把所得的积相加”，并注意符号法则.

（2）生助生：

生生互相交流帮助解决疑难.

4.强化：

（1）运算法则:

①文字表达：

单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加.

②式子表达：

p（a+b+c）=pa+pb+pc.

（2）单项式乘以多项式中的每一项，不要漏掉任何一项，并要注意符号的确定，合并同类项之前的项数与多项式的项数相同.

（3）计算：

（－2a2）·（3ab2－5ab3）.

=-6a3b2+10a3b3

1.自学指导：

（1）自学内容：

教材第100页例5.

（2）自学时间：

5分钟.

（3）自学方法：

认真观察例5的计算过程的依据，要注意去括号后的符号变化.

（4）自学参考提纲：

①标出例5题目中的单项式和多项式.

②通过例5尝试归纳单项式乘多项式的计算步骤.

③单项式乘以多项式的运算法则，就是把单项式乘以多项式的问题转化为单项式乘以单项式的问题.

④思考：

结合例5，你能说说当式子中含有负号时的简化方法吗？

2.自学：

结合自学参考提纲进行自学.

3.助学：

（1）师助生：

①明了学情：

了解学生是否领会单项式乘多项式的方法和依据.

②差异指导：

重点对第

（1）、

（2）小题符号问题进行指导.

（2）生助生：

学生之间互助交流解决疑难.

4.强化：

（1）将单项式乘以多项式转化为单项式乘以单项式的乘法，将新知识转化为已学过的知识.

（2）计算：

①（－2a）·（2a+1）②2x2（3x2－5y）③3a（5a－2b）

=-4a2-2a=6x4-10x2y=15a2-6ab

（3）根据提示填空：

计算：

（

ab2－

a2b－6ab）·（－6ab）

方法一：

原式=

ab2·（－6ab）+（-

a2b）·（－6ab）+（-6ab）·（－6ab）＝-3a2b3＋2a3b2＋36a2b2

方法二：

原式=

ab2·（－6ab）-

a2b·（－6ab）－6ab·（－6ab）.

＝-3a2b3＋2a3b2＋36a2b2

三、评价

1.学生的自我评价：

各小组组长汇报本组的学习情况，总结经验、收获和不足.

2.教师对学生的评价：

（1）表现性评价：

对学生在学习中的态度、方法、收效及不足进行点评.

（2）纸笔评价：

课堂评价检测.

3.教师的自我评价（教学反思）：

本课时教学应由学生根据已有知识（如乘法分配律法则等）自主推导出单项式与单项式、单项式与多项式相乘的法则，充分体现学生课堂上的主体作用，再结合具体问题的解答，由学生间互相交流，体会法则计算的本质，以便灵活应用于解题之中.

一、基础巩固（第1题25分，第2题20分，第3题15分，共60分）

1.细心填一填.

（1）（-2a2b3）（-3ab）=6a3b4;

（2）（4×105）·（5×104）=2×1010;

（3）（-2ab2）2·（-a2b）3=-4a8b7;

（4）（x2-2y）·（-xy）=-x3y+2xy2;

（5）（-a2）·（ab+abc）=-a3b-a3bc.

2.认真选一选.

（1）化简x（2x－1）－x2（2－x）的结果是（B）

A.－x3－xB.x3－xC.－x2－1D.x3－1

（2）化简a（b－c）－b（c－a）+c（a－b）的结果是（B）

A.2ab+2bc+2acB.2ab－2bcC.2abD.－2bc

（3）如图是L形钢条截面，它的面积为（B）

A.ac+bcB.ac+（b-c）cC.（a-c）c