两角和差正余弦公式的证明.docx

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两角和差正余弦公式的证明

两角和差正余弦公式的证明

两角和差的正余弦公式是三角学中很重要的一组公式。

下面我们就它们的推导证明方

法进行探讨。

由角比,尸的三角函数值表示"E的正弦或余弦值，这正是两角和差的正余弦公式的功能。

换言之，要推导两角和差的正余弦公式，就是希望能得到一个等式或方程，

将或现与盘,戸的三角函数联系起来。

根据诱导公式，由角旧的三角函数可以得到—日的三角函数。

因此，由和角公式容易得到对应的差角公式，也可以由差角公式得到对应的和角公式。

又因为an（——二™

2，即原角的余弦等于其余角的正弦，据此，可以实现正弦公式和余弦

公式的相互推导。

因此，只要解决这组公式中的一个，其余的公式将很容易得到。

（一）在单位圆的框架下推导和差角余弦公式

注意到单位圆比较容易表示°，Q和口±P，而且角的终边与单位圆的交点坐标可

以用三角函数值表示，因此，我们可以用单位圆来构造联系皿在士Q与口，/的三角

函数值的等式。

1.和角余弦公式

（方法1）如图所示，在直角坐标系Q中作单位圆°，并作角c，〃和一尸，使角C的始边为°，交口°于点A，终边交口°于点B;角幻始边为，终边交

口。

于点C;角一〃始边为Off,终边交DO于点。

从而点A,B,C和D的坐标分别为

XLO）^（cosa^dii刀厂血Q）

,,。

由两点间距离公式得

曲低晋血一»了+弘》（a+/D=2-2cos&z*/9；

JJD3={cos/f-cos（E）2+（-sm/J—sin^z）?

=2-2（casCEtjOfi/f-品么血历。

注意到血=刼，因此叭伍+何=皿住£»5#_血啦sinQ。

注记：

这是教材上给出的经典证法。

它借助单位圆的框架，利用平面内两点间距离公

式表达两条相等线段,从而得到我们所要的等式。

注意,公式中的C和©为任意角。

2.差角余弦公式

仍然在单位圆的框架下，用平面内两点间距离公式和余弦定理表达同一线段，也可以

得到我们希望的三角等式。

这就是

（方法2）如图所示，在坐标系心中作单位圆°，并作角①和尸，使角比和卩的始边均为皿,交口。

于点C,角比终边交口°于点A,角力终边交口°于点。

从而

点A,B的坐标为施西心血毋股g且血Q。

由两点间距离公式得

由余弦定理得

沏f二必+OB1-TOjCDBcosZJOB二场’-2tM»J5cus（a-/?

）

=2-2cos（a-fi）。

从而有COS（a^^=COSaCDS^-3IiaSUlfio

注记：

方法2中用到了余弦定理，它依赖于厶08是三角形的内角。

因此，还需要补充讨论角。

和刃的终边共线,以及厶OJJ大于話的情形。

容易验证,公式在以上情形中依然成立。

在上边的证明中，用余弦定理计算如'的过程也可以用勾股定理来进行。

也可以用向量法来证明。

则fiA•（rfi（ly?

*i/）4

山向秋数秋枳的定义*有

*oA=|OA|•|（）51posta—/J）=cos（o—J）.

由向最效皐积的坐标表示•ti

页•（jfi-（（X>So•>111a）*（ct）sSill/）

cosams（i・own戌

ro、（和i'（isoeos^+suiosin

（二）在三角形的框架下推导和差角正弦公式

除了在单位圆的框架下推导和差角的余弦公式，还可以在三角形中构造和角或差角来

1.和角正弦公式

（一）

（方法3）如图所示,劝为WC的&边上的高,CE为血边上的高。

设

=—g#,则。

从而有

—frcOSSCE=hana.

BC=CEcscP=b^n^cscfl

o

因此zMJAKIBK吒rmcI“nltg■丿。

RD=ABsina二A（oosaTsinacai尸JsLaa

注意到EDBCI口I丄。

从而有：

（cos24sjaaajt/Qsuia^sin^csc^suiOz-t

siii（a+^）=&n在casQ*cosasnfi

注记：

在方法3中，用丄忙和与底角。

，"相关的三角函数,从两个角度来表示

&边上高初，从而得到所希望的等式关系。

这一证明所用的图形是基于钝角三角形

的，对基于直角或锐角三角形的情形，证明过程类似。

利用方法3中的图形，我们用类似于恒等变形的方式，可以得到下面的

（方法4）如图所示，M为'仞C的AC边上的高，CE为佃边上的高。

设

ZCAB^a,43/二力，则如山=血+0。

AEAD

注意到“旦匚皿D，则有他占卫，即。

ADCJEBDRE

ABRClAS迟c=在血/T1■血

注意证明利用的图形框

利用正弦定理和射影定理，将得到下面这个非常简洁的证法。

架与方法3,4所用的图形框架是相同的。

（方法5）如图所示，8为厘盹的"边上的高。

设厶a

/屮，则有圧（口丨旳，。

由正弦定理可得

JC£CJ

an/TsmaoM^LA-fl）

5

其中d为的外接圆直径。

由M=AC^os^-VBCcxtsff得”^^口十血=皿血“lbis

从而有

Qnkz4-/A=smaujfi^-kcos^ZsuiQ

。

2.和角正弦公式

（二）

方法3,4和5利用的图形框架是将角,丿*放在三角形的两个底角上。

如果将这两

个角的和作为三角形的一个内角，将会有下面的几种证法（方法6~11）。

（方法6）如图所示，作曲丄恥于D,交必^外接圆于E,连肚和心。

设

ZJtAE=aWCA£=p则aZJCSK^PZ£ACm"

设sc的外接圆直径为d,则有,

BE=dana

BD=BEcxrsfi=d^auKflCE=dsinpCD=CEooga=dsin^cosa

注意到DC=d从而血®*0）二siiimcosQTcnsasim0

（方法7）如图所示,初为山肚的必边上的高,皿为俪边上的高。

设

AJCE=a,ZBCE=fi,则厶设CE=h,则

AK=h^nrrBE=htanfiBC=hsa.fiAH=j4JT+hftaurr-Itan/f）

555

又5D=5Cani（ff+/9=^scc/?

sin（a*/9

从而（tan

sin（a+

整理可得血（a+网二血在cos强+0圧血0。

（方法8）如图所示，作妙丄OC于D,过D作Q打丄场于f,7X7丄砲于g。

设ZAOC=a,3C詡,则3雄二U",设血二r,从而

ED=rsin/?

6M）=rcxts/3BG=BDcasa=rsinflcGsa

555

GE=BF=OZ）sukz=rcosfiwia。

所以该超二BGl-GE=r^m/?

co£4Z-l-cos/7suia）。

注意到R2现+网，则有

sn（

。

注记：

我们用两种不同的方法计算朋，得到了和角的正弦公式。

如果我们用两种方

法来计算（M,则可以得到和角的余弦公式。

由上图可得

OF=ODaK

5

==：

iEDsuia=rsm/Jsiij£r

5

从而有OE=OF-EF=r（cos^ccsp-tijLadxkfi）。

注意到Qff=rcos（a+ff）,从而可得心比鲁厉二亦么口^厅-血盘血尸。

方法6,7和8都是用角。

Q的三角函数从两个角度表示图形中的同一线段,从

而构造出我们所希望的等式关系。

（方法9）如图所示，设切为^^的曲边上的高。

设ZG4^=a

N64二0,止=’BC=a,从而有

AD—bcosccRD=dg呂b

1

CD=isince=tarsinp

因此

=—dcoscfjjsin/?

+—a-（sinacos/?

+cosasin/3）

又因为从而可得

Sjjsc—sinXJCff=^absin（ct+p）

sinfet+/?

）=sinercosp4-cosffsin/?

方法9利用面积关系构造三角恒等式。

下面这两个证法的思路则有所不同。

AB=dcospBC=dsiny?

CD=dsina..DA=zfcosa

RD—dp）

由托勒密定理知

ACZBD=ABJ3）^AD^C

即didsin（a十&〉=dcos灼/sino:

十dcostxNsin0

整理即得

sJn《cr十向二sinorcos>5+coscrsinp

ZC4£I=«

（方法10）如图所示，设鹿为的外接圆直径d,长度为d。

设

从而

Z^4C=ji?

AB=dcospEC=dsiny?

CD=dsina^A=d^a

ED=dsin（ar+0）

由托勒密定理知

=+閱DNC

艮卩didsin（a+ff）=dcQ^J^jdsiniZ+rfcosaG/sin

整理即得

sin（cr+/7）=sifiercos>?

+cosasinB

则有

注记：

这一证明用到了托勒密定理：

若必和建D是圆内接四边形的对角线

d［甘sinfa+旬=rfcos貝甘血住+£8£住山弘尸

（方法11）如图所示,CD为MSC的廊边上的高。

设厶切二a,

ZBCD=fi,则ZACS=dft。

设切“，则

AB=AD+BZ?

=ft（tan

由正聽定理可徐

AB_M_EC

sin（（X+/3）sin^sinA

AB_AC月C

即sin（a+/J）cos/?

cosa

ABAC+EC

从而sifl（a+J3）casy?

+ccs^

ftftanff+tan0）_/j（secCK±5ec/5）

即sin（tr-i-j0}cos]3+cQsa

整理即得

sin（oc+/?

）-sinacos/?

十cos兌sin0

方法10和11将某一线段作为基本量，利用与角a,尸相关的三角函数表示其它线段，再通过联系这些线段的几何定理（托勒密定理或正弦定理）,构造出我们希望的等式关系。

3.差角正弦公式

仍然还是在三角形中，我们可以在三角形的内角里构造出差角来。

方法12和13便

是用这种想法来证明的。

（方法12）如图所示

ZACB=-

2

。

设—Q,"，记妙―\作

从而

整理可得

DE丄如于E,则从而有

CD=bstnDE—bsin（ez-J3）

DA=DEsecCL—bdn（OL—P）seca.

因此有

AC=CD+ZM=&（siii0+p）seeCt）

注意到

RC=»亡3$AC=BCtan«=i?

os/?

tan

■

sinjS+sin（t7—j^sectz=cos/?

tana

sin（cr-jJ）-sircrcosQ-cosasin0

（方法13）如图所示,血为氐収的外接圆直径,长度为d。

设山仍

心门卩,则心门巴NS戸化从而

.ADcosa;BD=e/sincr

BC—dsin（a—AC—dC0s（£3（-p）

f

DE=ADtan/?

—cosdttan/?

BE=5Csec/?

=rfsin（a-/?

）sec/5

所以

RD=BE-\-DE—d—/7）sec/?

+cosCltanp）

注意到ED=£sin皿从而

sina=sin（tr-sec/?

+cosatanP

整理可得

sin（as-p）-sinffcosy?

-cossin/?

方法12和13的基本思路仍然是用两种不同方法计算同一线段，借此来构造等式关

系。

很显然，在这十二种证法中，方法1和2更具普遍性。

换言之，这两种方法中出

现的角C,刃是任意角。

而其余方法中,角皿和尸则有一定的限制,它们都是三角形

的内角（甚至都是锐角）。

因此，对于方法3~13,我们需要将我们的结果推广到角住和

BS亡［碍

P是任意角的情形。

具体而言，我们要证明：

如果公式对任意2成立，则对

任意角也成立。

容易验证，角C和“中至少有一个是轴上角（即终边在坐标轴上的角）,我们的

公式是成立的。

下面证明,角也和庐都是象限角（即终边在坐标系的某一象限中的

角）时,我们的公式也成立。

不妨设m为第二象限角,尸为第三象限角,从而有

a-+—0

0二（2xl）g戸J"】*亍叱2

从而

因此有

sina—cosacosa=—sinct

*«.4d.

hV

sin^=-sin^cos）S=-cos^

sin（flr40\=sin［（2?

w^+丄駕）+（（加+1｝更+百）］

=呂in［（2"i+2«+》）处+（□］+件）］

=_C0S@i+0J

=—costzTcosA十&insm^

=cos省（-cos+sin：

（-sin处

—giiiocosp+cosasinf3

同理可证，公式对于象限角比和”的其它组合方式都成立。

因此，我们可以将方法

究性学习很有帮助。

从上文中可以看到，这一探究过程可分为四个步骤:

的等式或方程

（3）解决问题：

利用单位圆或三角形作为联系c和月三角函数与

品（比±£）的工具，寻找我们希望的等式关系；

（4）

可考虑将其

完善解决问题的方法：

考察方法是否有普遍性。

如果普遍性有欠缺

化归为已解决的情形，必要时还要进行分类讨论。