运筹学(第四版)清华大学出版社《运筹学》教材编写组-第2章.ppt

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清华大学出版社,1,二、线性规划与目标规划,第2章线性规划与单纯形法第3章对偶理论与灵敏度分析第4章运输问题第5章线性目标规划,清华大学出版社,2,第2章线性规划与单纯形法,第1节线性规划问题及其数学模型第2节线性规划问题的几何意义第3节单纯形法第4节单纯形法的计算步骤第5节单纯形法的进一步讨论第6节应用举例,清华大学出版社,3,第1节线性规划问题及其数学模型,2.1.1问题的提出2.1.2图解法2.1.3线性规划问题的标准形式2.1.4线性规划问题的解的概念,清华大学出版社,4,第1节线性规划问题及其数学模型,线性规划是运筹学的一个重要分支。

线性规划在理论上比较成熟，在实用中的应用日益广泛与深入。

特别是在电子计算机能处理成千上万个约束条件和决策变量的线性规划问题之后，线性规划的适用领域更为广泛了。

从解决技术问题的最优化设计到工业、农业、商业、交通运输业、军事、经济计划和管理决策等领域都可以发挥作用。

它已是现代科学管理的重要手段之一。

解线性规划问题的方法有多种，以下仅介绍单纯形法。

清华大学出版社,5,2.1.1问题的提出,2.1.1问题的提出例1某工厂在计划期内要安排生产、两种产品，已知生产单位产品所需的设备台时及A、B两种原材料的消耗，如表1-1所示。

每生产一件产品可获利2元，每生产一件产品可获利3元，问应如何安排计划使该工厂获利最多?

清华大学出版社,6,2.1.1问题的提出,用数学关系式描述这个问题,清华大学出版社,7,2.1.1问题的提出,得到本问题的数学模型为:

这就是一个最简单的线性规划模型。

清华大学出版社,8,2.1.1问题的提出,例2靠近某河流有两个化工厂（见图1-1），流经第一化工厂的河流流量为每天500万立方米，在两个工厂之间有一条流量为每天200万立方米的支流。

图1-1,化工厂1每天排放含有某种有害物质的工业污水2万立方米，化工厂2每天排放的工业污水为1.4万立方米。

从化工厂1排出的污水流到化工厂2前，有20%可自然净化。

根据环保要求，河流中工业污水的含量应不大于0.2%。

因此两个工厂都需处理一部分工业污水。

化工厂1处理污水的成本是1000元/万立方米,化工厂2处理污水的成本是800元/万立方米。

问:

在满足环保要求的条件下，每厂各应处理多少工业污水，使两个工厂处理工业污水的总费用最小。

清华大学出版社,9,2.1.1问题的提出,设：

化工厂1每天处理的污水量为x1万立方米；化工厂2每天处理的污水量为x2万立方米,建模型之前的分析和计算,清华大学出版社,10,2.1.1问题的提出,得到本问题的数学模型为：

清华大学出版社,11,2.1.1问题的提出,每一个线性规划问题都用一组决策变量表示某一方案，这组决策变量的值代表一个具体方案。

一般这些变量的取值是非负且连续的；都有关于各种资源和资源使用情况的技术数据，创造新价值的数据；存在可以量化的约束条件，这些约束条件可以用一组线性等式或线性不等式来表示;都有一个达到某一目标的要求，可用决策变量的线性函数（称为目标函数）来表示。

按问题的要求不同，要求目标函数实现最大化或最小化。

上述两个问题具有的共同特征：

清华大学出版社,12,2.1.1问题的提出,决策变量及各类系数之间的对应关系,清华大学出版社,13,2.1.1问题的提出,线性规划模型的一般形式,清华大学出版社,14,2.1.2图解法,1.2图解法例1是一个二维线性规划问题，因而可用作图法直观地进行求解。

清华大学出版社,15,2.1.2图解法,目标值在（4，2）点，达到最大值14,清华大学出版社,16,2.1.2图解法,

（1）无穷多最优解（多重最优解），见图1-4。

（2）无界解，见图1-5-1。

（3）无可行解，见图1-5-2。

通过图解法，可观察到线性规划的解可能出现的几种情况：

清华大学出版社,17,2.1.2图解法,目标函数maxz=2x1+4x2,图1-4无穷多最优解（多重最优解）,清华大学出版社,18,2.1.2图解法,图1-5-1无界解,清华大学出版社,19,当存在相互矛盾的约束条件时，线性规划问题的可行域为空集。

例如，如果在例1的数学模型中增加一个约束条件:

则该问题的可行域即为空集，即无可行解，,无可行解的情形,2.1.2图解法,清华大学出版社,20,图1-5-2不存在可行域,2.1.2图解法,清华大学出版社,21,2.1.3线性规划问题的标准型式,2.1.3线性规划问题的标准型式,清华大学出版社,22,2.1.3线性规划问题的标准型式,用向量形式表示的标准形式线性规划,线性规划问题的几种表示形式,清华大学出版社,23,2.1.3线性规划问题的标准型式,用矩阵形式表示的标准形式线性规划,清华大学出版社,24,2.1.3线性规划问题的标准型式,

（1）若要求目标函数实现最小化，即minz=CX，则只需将目标函数最小化变换求目标函数最大化，即令z=z，于是得到maxz=CX。

（2）约束条件为不等式。

分两种情况讨论：

若约束条件为“”型不等式，则可在不等式左端加入非负松弛变量，把原“”型不等式变为等式约束；若约束条件为“”型不等式，则可在不等式左端减去一个非负剩余变量（也称松弛变量），把不等式约束条件变为等式约束。

（3）若存在取值无约束的变量xk,可令,如何将一般线性规划转化为标准形式的线性规划,清华大学出版社,25,2.1.3线性规划问题的标准型式,例3将例1的数学模型化为标准形式的线性规划。

例1的数学模型在加入了松驰变量后变为,清华大学出版社,26,2.1.3线性规划问题的标准型式,例4将下述线性规划问题化为标准形式线性规划,

（1）用x4x5替换x3，其中x4，x50；

（2）在第一个约束不等式左端加入松弛变量x6；（3）在第二个约束不等式左端减去剩余变量x7；（4）令z=z，将求minz改为求maxz即可得到该问题的标准型。

清华大学出版社,27,2.1.3线性规划问题的标准型式,例4例4的标准型,清华大学出版社,28,2.1.4线性规划问题的解概念,1.可行解2.基3.基可行解4.可行基,清华大学出版社,29,2.1.4线性规划问题的解的概念,定义满足约束条件（1-5）、（1-6）式的解X=（x1,x2，xn）T，称为线性规划问题的可行解，其中使目标函数达到最大值的可行解称为最优解。

1.可行解,清华大学出版社,30,2.1.4线性规划问题的解的概念,2.基，基向量，基变量,清华大学出版社,31,2.1.4线性规划问题的解的概念,满足非负条件（1-6）的基解，称为基可行解.基可行解的非零分量的数目不大于m，并且都是非负的。

3基可行解,清华大学出版社,32,2.1.4线性规划问题的解的概念,对应于基可行解的基，称为可行基。

约束方程组（1-5）具有的基解的数目最多是个，一般基可行解的数目要小于基解的数目。

以上提到了几种解的概念，它们之间的关系可用图1-6表明。

说明：

当基解中的非零分量的个数小于m时，该基解是退化解。

在以下讨论时，假设不出现退化的情况。

4可行基,清华大学出版社,33,2.1.4线性规划问题的解的概念,不同解之间的关系,P552.1

（1），2.2

（1）（无需列初始单纯形表）,作业,清华大学出版社,35,第2节线性规划问题的几何意义,2.2.1基本概念2.2.2几个定理,清华大学出版社,36,2.2.1基本概念,凸集凸组合顶点,清华大学出版社,37,2.2.1基本概念,定义设K是n维欧氏空间的一点集，若任意两点X

（1）K，X

（2）K的连线上的所有点X

（1）+

（1）X

（2）K，（01），则称K为凸集。

图1-7,1.凸集,清华大学出版社,38,2.2.1基本概念,实心圆，实心球体，实心立方体等都是凸集，圆环不是凸集。

从直观上讲，凸集没有凹入部分，其内部没有空洞。

图1-7中的（a）（b）是凸集，（c）不是凸集。

图1-2中的阴影部分是凸集。

任何两个凸集的交集是凸集，见图1-7（d）,清华大学出版社,39,2.2.1基本概念,设X

（1），X

（2），X（k）是n维欧氏空间En中的k个点。

若存在1，2，k，且0i1,i=1,2,，k使X=1X

（1）+2X

（2）+kX（k）则称X为X

（1），X

（2），X（k）的一个凸组合（当0i1时，称为严格凸组合）。

2.凸组合,清华大学出版社,40,2.2.1基本概念,设K是凸集，XK；若X不能用不同的两点X

（1）K和X

（2）K的线性组合表示为X=X

（1）+

（1）X

（2），（01）则称X为K的一个顶点（或极点）。

图中的0，Q1,Q2,Q3,Q4都是顶点。

3.顶点,清华大学出版社,41,2.2.2几个定理,定理1若线性规划问题存在可行域，则其可行域是凸集。

清华大学出版社,42,2.2.2几个定理,定理1的证明：

只需证明D中任意两点连线上的点必然在D内即可。

设是D内的任意两点；且X

（1）X

（2）。

清华大学出版社,43,2.2.2几个定理,清华大学出版社,44,2.2.2几个定理,引理1线性规划问题的可行解X=（x1,x2,，xn）T为基可行解的充要条件是：

X的正分量所对应的系数列向量是线性独立的。

清华大学出版社,45,2.2.2几个定理,定理2线性规划问题的基可行解X对应于可行域D的顶点。

证：

不失一般性，假设基可行解X的前m个分量为正。

故现分两步来讨论，分别用反证法。

清华大学出版社,46,2.2.2几个定理,

（1）若X不是基可行解，则它一定不是可行域D的顶点。

根据引理1，若X不是基可行解，则其正分量所对应的系数列向量P1，P2，Pm线性相关，即存在一组不全为零的数i,i=1,2,m，使得1P1+2P2+mPm=0（1-9）用一个数0乘（1-9）式再分别与（1-8）式相加和相减，得（x11）P1+（x22）P2+（xmm）Pm=b（x1+1）P1+（x2+2）P2+（xm+m）Pm=b,清华大学出版社,47,2.2.2几个定理,因X不是可行域D的顶点，故在可行域D中可找到不同的两点X

（1）=（x1

（1）,x2

（1）,xn

（1）TX

（2）=（x1

（2）,x2

（2）,xn

（2）T使得X=X

（1）+

（1）X

（2），01设X是基可行解，对应的向量组P1Pm线性独立，故当jm时，有xj=xj

（1）=xj

（2）=0。

由于X

（1），X

（2）是可行域的两点，因而满足,

（2）若X不是可行域D的顶点，则它一定不是基可行解。

将两式相减，得,因X

（1）X

（2），所以上式中的系数不全为零，故向量组P1,P2,，Pm线性相关，与假设矛盾，即X不是基可行解。

清华大学出版社,48,2.2.2几个定理,引理2若K是有界凸集，则任何一点XK可表示为K的顶点的凸组合。

本引理的证明从略，用以下例子说明本引理的结论。

例5设X是三角形中任意一点，X

（1），X

（2）和X（3）是三角形的三个顶点，试用三个顶点的坐标表示X（见图1-8）,图1-8,清华大学出版社,49,2.2.2几个定理,解：

任选一顶点X

（2），做一条连线XX

（2），并延长交于X

（1）、X（3）连接线上一点X。

因为X是X

（1）、X（3）连线上一点，故可用X

（1）、X（3）线性组合表示为X=X

（1）+

（1）X（3）01又因X是X与X

（2）连线上的一个点，故X=X+

（1）X

（2）01将X的表达式代入上式得到X=X

（1）+

（1）X（3）+

（1）X

（2）=X

（1）+

（1）X（3）+

（1）X

（2）令1=,2=

（1）,3=

（1），得到X=1X

（1）+2X

（2）+3X（3）ii=1,0i1,清华大学出版社,50,2.2.2几个定理,定理3若可行域有界，则线性规划问题的目标函数一定可以在其可行域的顶点上达到最优。

证：

设X

（1）,X

（2），X（k）是可行域的顶点，若X（0）不是顶点，且目标函数在X（0）处达到最优z*=CX（0）（标准型是z=maxz）。

因X（0）不是顶点，所以它可以用D的顶点线性表示为代入目标