学年黑龙江省大庆市实验中学高三数学上第二次月考理试题含答案.docx

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学年黑龙江省大庆市实验中学高三数学上第二次月考理试题含答案

大庆实验中学高三上学期第二次月考数学（理）试卷

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1．下列命题的说法错误的是（　　）

A．对于命题

则

．

B．“

”是”

”的充分不必要条件．

C．“

”是”

”的必要不充分条件．

D．命题”若

，则

”的逆否命题为：

”若

，则

”．

2．执行如图所示的程序框图，输出的S值为（　　）

A．2B．

C．

D．

3．已知函数

没有零点，则实数

的取值范围是（　　）

A．

B．

C．

D．

4．设

存在导函数且满足

，则曲线

上的点

处的切线的斜率为（　　）

A．﹣1B．﹣2C．1D．2

5．已知数列

，以下两个命题：

①若

都是递增数列，则

都是递增数列；

②若

都是等差数列，则

都是等差数列；

下列判断正确的是（　　）

A．①②都是真命题B．①②都是假命题

C．①是真命题，②是假命题D．①是假命题，②是真命题

6．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是（　　）

A．

B．

C．

D．

7．若

，则下列结论正确的是（　　）

A．

B．

C．

D．

8．如果圆

上总存在到原点的距离为

的点，则实数

的取值范围是（　　）

A．（﹣3，﹣1）∪（1，3）B．（﹣3，3）C．[﹣1，1]D．[﹣3，﹣1]∪[1，3]

9．杨辉三角形”是古代重要的数学成就，它比西方的“帕斯卡三角形”早了300多年，如图是三角形数阵，记

为图中第

行各个数之和，则

的值为（　　）

A．528B．1020C．1038D．1040

10．有以下三种说法，其中正确的是　（　　）

①若直线

与平面

相交，则

内不存在与

平行的直线；

②若直线

//平面

，直线

与直线

垂直，则直线

不可能与

平行；

③直线

满足

∥

，则

平行于经过

的任何平面.

A.①②B.①③C.②③D.①

11．以

为中心，

为两个焦点的椭圆上存在一点

，满足

，则该椭圆的离心率为（　　）

A．

B．

C．

D．

12．已知

，若

，则当

取得最小值时，

所在区间是（　　）

A．

B．

C．

D．

二．填空题：

（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

13．如果复数

的实部和虚部互为相反数，则

等于　　．

14．若向量

满足

=2

=2，|

|=2

，则向量

的夹角为__．

15．已知抛物线

，焦点为

，

为平面上的一定点，

为抛物线上的一动点，则

的最小值为_______________。

16．已知函数

，其中

，若

在区间

上单调递减，则

的最大值为__________．

三．解答题：

（本大题共6小题，共70分）

17．（本题满分10分）已知等差数列

和等比数列

满足

．

（1）求

的通项公式；

（2）求和：

．

18．（本题满分12分）已知函数

．

（1）求

的单调递增区间；

（2）设△

为锐角三角形，角

所对边

，角

所对边

，若

，求△

的面积．

19．（本题满分12分）已知曲线

的极坐标方程是ρ=4cosθ．以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为

轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线

的参数方程是

（

是参数）

（1）将曲线

的极坐标方程化为直角坐标方程；

（2）若直线

与曲线

相交于

两点，且

，求直线的倾斜角

的值．

20．（本题满分12分）如图所示，在三棱柱

中，

为正方形，

为菱形，

．

（1）求证：

平面

⊥平面

；

（2）若

是

中点，∠

是二面角

的平面角，求直线

与平面

所成角的正弦值．

21．（本题满分12分）已知椭圆

的上下两个焦点分别为

，过点

与

轴垂直的直线交椭圆

于

两点，△

的面积为

，椭圆

的离心率为

（1）求椭圆

的标准方程；

（2）已知

为坐标原点，直线

与

轴交于点

，与椭圆

交于

两个不同的点，若存在实数λ，使得

+λ

=4

，求

的取值范围．

22．（本题满分12分）已知函数

，其中

=2.71828…为自然数的底数．

（1）当

时，讨论函数

的单调性；

（2）当

时，求证：

对任意的

，

．

大庆实验中学高三上学期第二次月考

数学（理）参考答案

一、选择题

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

答案

C

C

A

A

D

A

D

D

D

D

C

B

二、填空题

13、014、

15、1216、

三、解答题

17.解：

（Ⅰ）等差数列{an}，a1=1，a2+a4=10，可得：

1+d+1+3d=10，解得d=2，

所以{an}的通项公式：

an=1+（n﹣1）×2=2n﹣1．……………………4分

（Ⅱ）由（Ⅰ）可得a5=a1+4d=9，

等比数列{bn}满足b1=1，b2b4=9．可得b3=3，或﹣3（舍去）（等比数列奇数项符号相同）．

∴q2=3，

{b2n﹣1}是等比数列，公比为3，首项为1．

b1+b3+b5+…+b2n﹣1=

=

．……………………10分

18、解：

（1）函数f（x）=cos2x﹣sin2x+

=cos2x+

，x∈（0，π），

由2kπ﹣π≤2x≤2kπ，解得kπ﹣

π≤x≤kπ，k∈Z，……………………4分

k=1时，

π≤x≤π，……………………5分

可得f（x）的增区间为[

，π）；……………………6分

（2）设△ABC为锐角三角形，

角A所对边a=

，角B所对边b=5，

若f（A）=0，即有cos2A+

=0，

解得2A=

π，即A=

π，……………………8分

由余弦定理可得a2=b2+c2﹣2bccosA，

化为c2﹣5c+6=0，

解得c=2或3，

若c=2，则cosB=

＜0，

即有B为钝角，c=2不成立，

则c=3，……………………10分

△ABC的面积为S=

bcsinA=

×5×3×

=

．　……………………12分

19．解：

（1）∵ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ2=x2+y2，

∴曲线C的极坐标方程是ρ=4cosθ可化为：

ρ2=4ρcosθ，

∴x2+y2=4x，……………………5分

∴（x﹣2）2+y2=4．

（2）将

代入圆的方程（x﹣2）2+y2=4得：

（tcosα﹣1）2+（tsinα）2=4，

化简得t2﹣2tcosα﹣3=0．……………………7分

设A、B两点对应的参数分别为t1、t2，

则

，

∴|AB|=|t1﹣t2|=

=

，

∵|AB|=

，

∴

=

．

∴cos

．……………………10分

∵α∈[0，π），

∴

或

．

∴直线的倾斜角

或

．……………………12分

20、解：

（Ⅰ）证明：

连接BC1，因为BB1C1C为菱形，

所以B1C⊥BC1，又B1C⊥AC1，AC1∩BC1=C1，

所以B1C⊥面ABC1．故B1C⊥AB．

因为AB⊥BB1，且BB1∩BC1，所以AB⊥面BB1C1C．

而AB⊂平面ABB1A1，所以平面AA1B1B⊥平面BB1C1C；……………………5分

（Ⅱ）因为∠ADB是二面角A﹣CC1﹣B的平面角，

所以BD⊥CC1，又D是CC1中点，

所以BD=BC1，所以△C1BC为等边三角形．

如图所示，分别以BA，BB1，BD为x，y，z轴建立空间直角坐标系，……………………7分

不妨设AB=2，则A（2，0，0），

，

，

）．

设

是平面ABC的一个法向量，则

，即

，

取z=1得

．

所以

=

，

所以直线AC1与平面ABC所成的正弦值为

．……………………12分

21．解：

（Ⅰ）根据已知设椭圆的焦距2c，当y=c时，|MN|=|x1﹣x2|=

，

由题意得，△MNF2的面积为

|MN|×|F1F2|=c|MN|=

，

又∵

，解得b2=1，a2=4，

椭圆C的标准方程为：

x2+

．……………………4分

（Ⅱ）当m=0时，则P（0，0），由椭圆的对称性得

，

∴m=0时，存在实数λ，使得

+λ

=4

，……………………6分

当m≠0时，由

+λ

=4

，得

，

∵A、B、p三点共线，∴1+λ=4，⇒λ=3⇒

设A（x1，y1），B（x2，y2）

由

，得（k2+4）x2+2mkx+m2﹣4=0，

由已知得△=4m2k2﹣4（k2+4）（m2﹣4）＞0，即k2﹣m2+4＞0

且x1+x2=

，x1x2=

．

由

得x1=﹣3x2……………………8分

3（x1+x2）2+4x1x2=0，∴

，⇒m2k2+m2﹣k2﹣4=0

显然m2=1不成立，∴

……………………10分

∵k2﹣m2+4＞0，∴

，即

．

解得﹣2＜m＜﹣1或1＜m＜2．

综上所述，m的取值范围为（﹣2，﹣1）∪（1，2）∪{0}……………………12分

22．解：

（1）当a=0时，f（x）=ex（sinx﹣e），

则f′（x）=ex（sinx﹣e）+excosx=ex（sinx﹣e+cosx），

∵sinx+cosx=

sin（x+

）≤

＜e，

∴sinx+cosx﹣e＜0

故f′（x）＜0

则f（x）在R上单调递减．……………………4分

（2）当x≥0时，y=ex≥1，

要证明对任意的x∈[0，+∞），f（x）＜0．

则只需要证明对任意的x∈[0，+∞），sinx﹣ax2+2a﹣e＜0．

设g（a）=sinx﹣ax2+2a﹣e=（﹣x2+2）a+sinx﹣e，

看作以a为变量的一次函数，

要使sinx﹣ax2+2a﹣e＜0，

则

，即

，……………………6分

∵sinx+1﹣e＜0恒成立，∴①恒成立，……………………8分

对于②，令h（x）=sinx﹣x2+2﹣e，

则h′（x）=cosx﹣2x，

设x=t时，h′（x）=0，即cost﹣2t=0．

∴t=

，sint＜sin

，

∴h（x）在（0，t）上，h′（x）＞0，h（x）单调递增，在（t，+∞）上，h′（x）＜0，h（x）单调递减，

则当x=t时，函数h（x）取得最大值h（t）=sint﹣t2+2﹣e=sint﹣（

）2+2﹣e

=sint﹣

+2﹣e=

sin2t+sint+

﹣e=（

+1）2+

﹣e≤（

）2+

﹣e=

﹣e＜0，

故④式成立，

综上对任意的x∈[0，+∞），f（x）＜0．……………………12分