七年级数学上第四章几何图形初步分析总结.docx

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七年级数学上第四章几何图形初步分析总结

第四章几何图形初步

4.1几何图形

1、基础知识

1、几何图形：

从实物中抽象出的点、线、面、体等各种图形。

2、立体图形：

各部分不都在同一个平面内的几何图形。

3、平面图形：

各部分都在同一个平面内的几何图形。

4、展开图：

将立体图形表面展开形成的平面图形。

5、体：

几何体的简称，面运动形成体。

6、面：

保围着体的表面，线运动形成面，包括平面和曲面。

7、线：

一个点任意移动所构成的图形，面和面相交形成线，包括直线和曲线。

8、点：

没有长、宽、厚而只有位置的几何图形，线和线相交形成点。

二、应知应会

1、从实物中抽象出几何图形。

2、点→线→面→体是逐级构成几何图形的基本元素。

3、两个几何图形相交形成比其中相对低级的几何图形同级或低一级的几何图形，三个几何图形相交形成比之低一级或两级的几何图形。

4、把立体图形转化为不同方向看它得到的平面图形。

5、立体图形与展开图相互转化。

6、判断线运动形成的面。

三、方法规律

1、立体图形与平面图形的相互转化：

看的面为以棱或曲面的轮廓线为边的面，与看的面相垂直的邻面变为线，相垂直的棱线变为点，顶点仍为点；与看的面相垂直的面仍为面，其边为棱线。

2、立体图形的展开图：

一个立体图形的平面展开图，其两个相邻面的公共边不大于两条。

如三棱柱展开图。

3、正方体的展开图：

共同特点是行与行之间有且只有一个“日”型结构，由此可知正方体的展开图不会出现“7”、“凹”字型和“田”字型结构。

3.1正方体展开图的形式：

按展开图中正方形所在的行数及正方形的个数，归纳起来有四种情形，正方体表面展开图的特点是每一个顶点周围的棱不超过三条。

3.1.1“1–4–1”型有6个，其中通过“1”的移动可以由一个得到另外的5个，如图：

3.1.2“1–3–2”型有3个，其中通过“1”的移动可以由1个得到另外的2个，如图：

3.1.3“3–3”型有一个，“2–2–2”型有一个，如图：

3.2正方体展开图中相对面的寻找技巧：

3.2.1区分相邻面及相对面：

相间的两个小正方形（中间隔着一个小正方形）是正方体的两个对面，平面图形中相邻的两个面折成立体图形后也相邻，立体图形中相对的两个面拆成平面图形后不相邻。

如图1中的A面和B面；‘Z’字两端处的小正方形是正方体的对面，如图2、图3的A面和B面．

3.2.2时针法：

对于正方体，只能看到图形的三个面，时针法就是比较这三个面在立体图形与平面图形中的旋转方向来判断选项的正确与否。

时针法只适用于解决面中的小图形不涉及方向的问题。

例：

3.2.3标点法：

正方体的合拢实质就是一个点与点重合、边与边重合的过程，当确定两个点重合并确定该点放置的位置时，该正方体也就确定了。

标点法就是根据已知点确定由这个点出发的线条的情况，从而确定“纸盒”的形式。

例1：

如图所示的正方体的展开图是（　　）．

例2：

在正方体的表面上画有如图1中所示的粗线，图2是其展开图的示意图，但只在A面上画有粗线，那么将图1中剩余两个面中的粗线画入图2中，画法正确的是（　　）

A、

B、

C、

D、

4、拓展应用

1、如图的长方体是由A，B，C，D四个选项中所示的四个几何体拼接而成的，而且这四个几何体都是由4个同样大小的小正方体组成的，那么长方体中，第四部分所对应的几何体应是

2、用一个平面去截一个几何体，截面形状为三角形，则这个几何体可能为：

①正方体；②圆柱；③圆锥；④正三棱柱（写出所有正确结果的序号）。

3、以下三组图形都是由四个等边三角形组成．能折成多面体的选项序号是。

4.2直线、射线、线段

1、基础知识

1、两点确定一条直线。

2、相交：

两条不同的直线有一个公共点时。

3、交点：

两条不同的直线有的公共点。

4、尺规作图：

用无刻度的直尺和圆规作图。

5、中点：

把线段分成相等的两条线段的点。

6、两点之间，线段最短。

7、距离:

连接两点间的线段的长度。

2、应知应会

1、用一个小写字母或直线上的两点表示一条直线。

2、判断一条直线是否经过一个点。

3、射线和线段都是直线的一部分。

4、比较两条线段的长短：

度量法，用刻度尺测量它们的长度比较，把其中的一条线段移到另一条上作比较：

叠合法，使其一边的端点重合，由另一边端点的相互位置确定，落在端点内小于，重合相等，落在端点外大于；截取法，把圆规的两个针脚落在一条线段的两个端点上，再与另一条线段比较。

5、作、标记两条线段的和差。

6、根据描述画出直线、射线、线段。

3、方法规律

1、过平面内不在同一直线上的n个点，可以画

条直线。

2、当一条直线或线段上有n个的时，可输出线段

条。

3、射线的端点字母必须写在前面，端点不一样射线不一样。

4、当一条直线或线段上有n个点时，共有2n条射线，当一条射线或线段上有n个的时，共有n条射线。

例：

过平面上四个点中的任意两点画直线，可以画出直线共有条。

四、拓展应用

1、下列说法正确的是：

A、射线OA与射线AO是同一条射线，B、线段AB与线段BA是同一条线段，

C、过一点只能画一条直线，D、三条直线两两相交必有三个交点。

2、已知线段AB上有两点C、D，AD=35，BC=44，AC=

BD，求线段AB的长。

3、已知线段AB=12，在AB上有C、D、M、N四点，且AC﹕CD﹕DB=1﹕2﹕3，AM=

AC，DN=

BD，求线段MN的长。

4、如图，数轴上线段AB=2（单位长度），CD=4（单位长度），点A在数轴上表示的数是-10，点C在数轴上表示的数是16．若线段AB以6个单位长度/秒的速度向右匀速运动，同时线段CD以2个单位长度/秒的速度向左匀速运动．

（1）问运动多少时BC=8（单位长度）？

（2）当运动到BC=8（单位长度）时，点B在数轴上表示的数是；

（3）P是线段AB上一点，当B点运动到线段CD上时，是否存在关系式

=3，若存在，求线段PD的长；若不存在，请说明理由．

5、如果点C在AB上,下列表达式①AC=

AB;②AB=2BC;③AC=BC;④AC+BC=AB中,能表示C是AB中点的有（）A.1

个B.2个C.3个D.4个

窗体顶端

6、如图，已知B是线段AC上的一点，M是线段AB的中点，N是线段AC的中点，P为NA的中点，Q是AM的中点，则MN：

PQ等于（　　）

窗体底端

7、某班50名同学分别站在公路的A，B两点处，A，B两点相距1000米，A处有30人，B处有20人，要让两处的同学走到一起，并且使所有同学走的路程总和最小，那么集合地点应选在（）A．A点处B.线段AB的中点处

C.线段AB上，距A点米处D．线段AB上，距A点400米处

8、一个正方体的骰子，1和6，2和5，3和4是分别相对的面上的点．现在有12个正方形格子的纸上画好了点状的图案，如图所示，若要经过折叠能做成一个骰子，你认为应剪掉哪6个正方形格子？

4.3角

1、基础知识

1、角：

有公共端点的两条射线组成的图形，公共端点是角的顶点，两条射线是角的两条边。

2、角的平分线：

从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线。

3、余角：

两个角的和为90°，这两个角互为余角。

4、补角：

两个角的和为180°，这两个角互为补角。

5、方向角：

表示方向的角。

2、应知应会

1、角的表示方法：

2、角的度量单位及其换算。

3、等角的补角相等，等角的余角角相等。

4、画（描述）出方位角。

3、方法规律

1、等量减等量差相等。

2、把高级单位转化为低级单位要乘进率，把低级单位转化为高级单位要除进率，转化时必须逐级进行。

3、角度的加减，同级分别进行，注意进位与借位。

角度的乘除，各级分别进行，余数化为更小级。

4、利用方程的方法求角的度数。

5、在角的内部作n条射线，一共有

个角。

6、分针走一格，时针走

格；秒针走一格，分针走

格，时针走

格。

7、折痕平分以其与边的交点为顶点，以原边与折后边所在位置形成的角。

8、两个直角叠放，两外边与两内边形成的角的和为180°。

9、两条平分线平分两个角，则两条平分线组成的角是两个角外边组成的角的

，特例是互补的两角平分，平分线组成的角为90°。

4、拓展应用

1、计算：

22°16′×5;182°36′÷4

2、如图,BD平分∠ABC,BE分∠ABC分2:

5两部分,∠DBE=21°,求∠ABC的度数.

3、如图，OB平分∠AOC．且∠2∶∠3∶∠4＝3∶5∶4，

则∠2＝__°，∠3＝__°，∠4＝__°。

4、若互补两角有一条公共边，则这两个角的平分线所组成的角（）

（A）一定是直角（B）一定是锐角

（C）一定是钝角（D）是直角或锐角

5、如图，∠AOC、∠BOD都是直角，且∠AOB与∠AOD的度数比是2︰11，求∠AOB和∠BOC的度数．

6、一个钝角与一个锐角的差是（）

A．锐角B．钝角C．直角D．不能确定

7、点O为直线AB上一点，作射线OC，,∠AOC≠90°,射线OD平分∠AOC,射线OE平分∠BOC,射线OF平分∠DOE。

（1）当0＜∠AOC＜90°时,求∠FOB+∠DOC的度数;

（2）若∠DOC=3∠COF,求∠AOC的度数.

8、点O为直线AB上一点，∠COE=90°，OF平分∠AOE。

（1）如图1,判断∠COF和∠BOE之间的数量关系?

并说明理由；

（2）若将∠COE绕点O旋转至图2的位置,试问

（1）中∠COF和∠BOE之间的数量关系是否发生变化?

若不发生变化,请你加以证明,若发生变化,请你说明理由；

（3）在

（2）的条件下，在∠BOE的内部是否存在射线OD，使得∠BOD=105°，且∠COF=4∠DOE，。

4.4小结

1、知识梳理

立体图形

三视图

几何图形

展开图

平面图形

线：

直线、射线、线段的表示方法、特点、性质。

角：

两角的特殊关系，比较计算、证明。

2、思想归纳

1、逆向分析思想：

通过对结论及其反面的分析，从未知条件寻找与已知条件的联系，从而发现解题的途径，这就是逆向分析思想。

常有逆推法，反证法等。

逆向思维法与顺向思维法是并立的。

当顺推法不易处理，陷入困境时，逆向思维会使“茅塞顿开”。

2、转换替代思想：

将一个未知量用与其相等的其它量进行等量替换，再通过对替换后的量重新组合，得到可用已知量表示的量。

3、特殊一般思想：

先代入一些简单的数值，后分析它们共同具有的特征，抽象出数量关系和变化规律，然作出一般的结论。

3、方法规律

1、线段、角度的有关计算

1.1利用几何的直观性，寻找所求量与已知量的关系。

例：

如图1所示，点C分线段AB为5：

7，点D分线段AB为5：

11，若CD＝10cm，求AB。

分析：

观察图形可知，DC＝AC－AD，根据已知的比例关系，AC、AD均可用所求量AB表示，这样通过已知量DC，即可求出AB。

1.2利用线段中点、角平分线、补角余角等性质，进行长度、角度变换。

例：

点O为直线AB上一点，作射线OC，,∠AOC≠90°,射线OD平分∠AOC,射线OE平分∠BOC,射线OF平分∠DOE。

（1）当0＜∠AOC＜90°时,求∠FOB+∠DOC的度数;

（2）若∠DOC=3∠COF,求∠AOC的度数.

1.3根据图形及已知条件，利用解方程的方法求解。

例：

已知线段AB上有两点C、D，AD=35，BC=44，AC=

BD，求线段AB的长。

1.4分类讨论图形的多样性，注意所求结果的完整性。

例：

如图，数轴上线段AB=2（单位长度），CD=4（单位长度），点A在数轴上表示的数是-10，点C在数轴上表示的数是16．若线段AB以6个单位长度/秒的速度向右匀速运动，同时线段CD以2个单位长度/秒的速度向左匀速运动．

（1）问运动多少时BC=8（单位长度）？

（2）当运动到BC=8（单位长度）时，点B在数轴上表示的数是；

（3）P是线段AB上一点，当B点运动到线段CD上时，是否存在关系式

=3，若存在，求线段PD的长；若不存在，请说明理由．

2、线段、角度的有关证明

每一道证明题都是由已知的条件和求证的结论两部分组成的。

我们的任务就是根据题目中的已知条件，运用有关的概念、公理、定理，进行逻辑推理，逐步地推出求证的结论来。

2.1做证明题的基本能力：

2.1.1看清题目意思  分清什么是已知条件，什么是求证结论。

2.1.2熟悉证明依据  能熟练运用与题意有关的概念、公理和定理。

2.1.3掌握推理格式 能正确地运用合乎逻辑的推理、证明。

2.1.4积累解题思路 通过“学”、“练”结合，拓展解题思路。

2.2审题的一般步骤：

审题是能否看清题意的基础。

2.2.1一题到手，首先弄清题目中出现了哪几个主要的概念，并回忆出它们的定义来。

2.2.2根据题意分清什么是已知条件，什么要求证的结论。

2.2.3有的题目还需要根据题意作图，或者运用数学符号和数字术语，写出已知与求证，即把普通语言“转译”成数学语言表达的题目，以使题目内容更加明确，证明过程更加清楚。

2.3推理格式：

证明的依据是概念、公理、定理，它们都是基础知识。

我们不但要正确地理解它们，还要牢固地记忆它们与灵活地运用它们。

为了正确地进行推理、证明，我们仅仅会“看清题意”和熟悉依据还不够。

也就是说，我们虽然对于要证明的题目已知，会用已知条件和有关概念、公理、定理来逐步地推出求证结论来，还是不够的。

还需要掌握一些基本的证明方法与推理格式，善于用数学语言来表达自己的思维过程。

2.3.1综合法顺证格式：

从已知条件出发，顺着推证：

由“已知”得“推知”，由“推知”得“未知”，逐步推出求证的结论，这就是顺推法的格式。

综合法是最常见的推理证明方法，它的书面表达常用“∵ ∴”。

例：

点O为直线AB上一点，∠COE=90°，OF平分∠AOE。

（1）如图1,判断∠COF和∠BOE之间的数量关系?

并说明理由；

（2）若将∠COE绕点O旋转至图2的位置,试问

（1）中∠COF和∠BOE之间的数量关系是否发生变化?

若不发生变化,请你加以证明,若发生变化,请你说明理由；

（3）在

（2）的条件下，在∠BOE的内部是否存在射线OD，使得∠BOD=105°，且∠COF=4∠DOE，。

2.3.2分析法逆推格式：

分析法证明的思路与综合法正好相反，它是从要求证的结论出发，倒着分析，由未知想需知，由需知逐渐地靠近已知（已知条件、已经学过的定义、定理、公理、公式、法则等等）。

这种证明方法的关键在于要保证分析过程的每一步都是可以逆推的。

在通常做数学证明题时，我们一般不用分析法逆推格式来书写表达证明的过程，而是常常采用综合法顺证格式。

用综合法顺着证明（即由已知到求证）有时思路不一定好想，因此，常在草稿纸上用分析法逆推来“想”，等找到证明的思路之后，再用综合法顺证格式来写。

通常称为“逆推顺证”的方法。

2.4积累证题思路 

所谓“解题思路”就是能够沟通要被证明的命题中的已知条件与求证结论之间的逻辑“通道”。

实现数证明的关键在于能够准确、迅速地探求出已知条件到达求证结论的一条逻辑“路径”。

2.4.1两头挤法

2.4.1.1分析综合法：

从求证的结论出发，反推分析、又从已知条件出发，综合证明，从而在某个中间环节达到同一。

例：

如图，已知B是线段AC上的一点，M是线段AB的中点，N是线段AC的中点，P为NA的中点，Q是AM的中点，则MN：

PQ等于（　　）

窗体底端

2.4.1.2左右同一法：

恒等式的证明一般都是由繁到简，如果原式的左边和右边都比较繁，则可分别从左与右化简，在中间环节达到同一。

2.4.2辅助元素法

有的证明题，用两头挤法分析之后，发现原有的已知条件与求证结论之间难以找到直接的逻辑通道，它们之间的联系是间接的。

这样一来，问题的关键就在于：

引进某一个或某几个起连接作用的辅助元素，怎样寻找这种辅助元素，没有一成不变的办法，只有靠具体问题具体分析，与多多积累解题经验。

2.4.2.1添辅助线法：

这是平面几何中常采用的方法，正确添加的辅助线，在题目中一般都起着某种“桥梁”作用，将已知条件与求证结论沟通起来，形成一条逻辑通道。

2.4.2.2设辅助未知数法（换元法或变量替换法），使用辅助元素法，多称为换元法。

“换元”通常可以使原有运算关系大大简化，逻辑层次脉络分明，有利于问题的解决。

2.4.3计算证明法

2.4.3.1利用方程的方法，运用方程的方法来证明几何问题，从而将几何图形数量化，然后进行计算型的证明推理。

2.4.3.2运用数形结合法，运用数轴方法将几何问题转化为代数问题。

把与几何图形的性质有关的问题，化为有关点的坐标数量关系问题。

2.4.4等量替换

同一量往往可以表示为不同的几个量的组合，而每一种组合往往能够比较准确、比较明显地反映该量的某种特殊性质。

在不同的问题中，根据具体问题的需要，恰到好处地选用合适的一种组合形式，从而比较顺利地解决问题。

例1：

如图,BD平分∠ABC,BE分∠ABC分2:

5两部分,∠DBE=21°,求∠ABC的度数.

例2：

如图，已知O为AD上一点，∠AOC与∠AOB互补，OM，ON分别为∠AOC，

∠AOB的平分线，若∠MON=40°，试求AOC∠与AOB∠的度数。

例3：

如图，已知B、C是线段AD上任意两点，M是AB中点，

N是CD中点，若MN=a，BC=b。

求AD。

例4：

如图，P是定长线段AB上一点，C、D两点分别从P、B出发以1cm/s、2cm/s的速度沿直线AB向左运动（C在线段AP上，D在线段BP上）

（1）若C、D运动到任一时刻时，总有PD＝2AC，请说明P点在线段AB上的位置：

（2）在

（1）的条件下，Q是直线AB上一点，且AQ－BQ=PQ，求

的值。

（3）在

（1）的条件下，若C、D运动5秒后，恰好有CD=

AB，此时C点停止运动，D点继续运动（D点在线段PB上），M、N分别是CD、PD的中点，下列结论：

①PM－PN的值不变；②

的值不变，可以说明，只有一个结论是正确的，请你找出正确的结论并求值。

四、拓展提高

1、如图所示，AB为一条直线，OC是∠AOD的平分线，OE在∠BOD内，∠DOE=

∠BOD，∠COE=72°，求∠EOB的度数。

2、把一个长方形纸片ABCD的一角折起来，折痕为AE，使∠EAB’＝∠B’AD

（1）求∠EAD；

（2）再沿AC对折长方形ABCD，使B点落在F点上，若∠EAF＝110°，求∠B’AC

3、时钟的时针由3点整的位置转过多少度时，与分针第一次重合。

4、将量角器按如图所示的方式放置在三角形纸板上，使点C在半圆上．点A、B的读数分别为86°、30°，则∠ACB的大小为（）。

5、把正方体的6个面分别涂上不同的颜色，并画上朵数不等的花，各面上的颜色与花朵数的情况列表如下：

颜色

红

黄

蓝

白

紫

绿

花朵数

6

5

4

3

2

1

现将上述大小相朵分布完全一样的四个正方体拼成一个在同一平面上放置的长方体，如下图所示，那么长方体的下底面共有____________朵花．

6、如图，把一个圆平均分后把它们全部剪开，拼成一个近似的平行四边形．若这个平行四边形的周长比圆的周长增加了4cm，则这个圆的半径是____________cm，拼成的平行四边形的面积是____________cm²．　　

7、如图是一个由16个小正方形拼成的大正方形，则∠1+∠2+∠3+…∠16的度数是（　　）

8、小龙在拼图时，发现8个一样大的小长方形，恰好可以拼成一个大长方形，如图所示，小华看见了说“我来试一试”，结果小华七拼八凑，拼成一个如图的正方形，中间留下一个洞，恰好是边长1mm的小正方形，你能算出小长方形的面积吗？

9、已知线段AB=acm,点A1平分AB,A2平分AA1,A3平分AA2,……,An平分AAn-1,则AAn=_________cm。