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全国卷Ⅲ理数高考试题文档版打印版
2020年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：
本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合
，
，则
中元素的个数为
A．2B．3C．4D．6
2．复数
的虚部是
A．
B．
C．
D．
3．在一组样本数据中，1，2，3，4出现的频率分别为
，且
，则下面四种情形中，对应样本的标准差最大的一组是
A．
B．
C．
D．
4．Logistic模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域．有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数
（t的单位：
天）的Logistic模型：
，其中K为最大确诊病例数．当
时，标志着已初步遏制疫情，则t*约为
A．60B．63C．66D．69
5．设O为坐标原点，直线x=2与抛物线C：
交于D，E两点，若
，则C的焦点坐标为
A．
B．
C．
D．
6．已知向量a，b满足
，
，
，则
A．
B．
C．
D．
7．在△ABC中，cosC=
，AC=4，BC=3，则cosB=
A．
B．
C．
D．
8．下图为某几何体的三视图，则该几何体的表面积是
A．
B．
C．
D．
9．已知2tanθ–tan（θ+
）=7，则tanθ=
A．–2B．–1C．1D．2
10．若直线l与曲线y=
和x2+y2=
都相切，则l的方程为
A．y=2x+1B．y=2x+
C．y=
x+1D．y=
x+
11．设双曲线C：
（a>0，b>0）的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为
．P是C上一点，且F1P⊥F2P．若△PF1F2的面积为4，则a=
A．1B．2C．4D．8
12．已知55<84，134<85．设a=log53，b=log85，c=log138，则
A．a二、填空题：
本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．若x，y满足约束条件
则
的最大值为__________．
14．
的展开式中常数项是__________（用数字作答）．
15．已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥内半径最大的球的体积为__________．
16．关于函数f（x）=
有如下四个命题：
①f（x）的图像关于y轴对称．
②f（x）的图像关于原点对称．
③f（x）的图像关于直线x=
对称．
④f（x）的最小值为2．
其中所有真命题的序号是__________．
三、解答题：
共70分。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。
第22、23题为选考题，考生根据要求作答。
（一）必考题：
共60分。
17．（12分）
设数列{an}满足a1=3，
．
（1）计算a2，a3，猜想{an}的通项公式并加以证明；
（2）求数列{2nan}的前n项和Sn．
18．（12分）
某学生兴趣小组随机调查了某市100天中每天的空气质量等级和当天到某公园锻炼的人次，整理数据得到下表（单位：
天）：
锻炼人次
锻炼人次
空气质量等级
[0，200]
（200，400]
（400，600]
1（优）
2
16
25
2（良）
5
10
12
3（轻度污染）
6
7
8
4（中度污染）
7
2
0
（1）分别估计该市一天的空气质量等级为1，2，3，4的概率；
（2）求一天中到该公园锻炼的平均人次的估计值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；
（3）若某天的空气质量等级为1或2，则称这天“空气质量好”；若某天的空气质量等级为3或4，则称这天“空气质量不好”．根据所给数据，完成下面的2×2列联表，并根据列联表，判断是否有95%的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关？
人次≤400
人次>400
空气质量好
空气质量不好
附：
K2=
，
P（K2≥k）
0.0500.0100.001
k
3.8416.63510.828
．
19．（12分）
如图，在长方体
中，点
分别在棱
上，且
，
．
（1）证明：
点
在平面
内；
（2）若
，
，
，求二面角
的正弦值．
20．（12分）
已知椭圆
的离心率为
，
，
分别为
的左、右顶点．
（1）求
的方程；
（2）若点
在
上，点
在直线
上，且
，
，求
的面积．
21．（12分）
设函数
，曲线
在点（
，f（
））处的切线与y轴垂直．
（1）求b．
（2）若
有一个绝对值不大于1的零点，证明：
所有零点的绝对值都不大于1．
（二）选考题：
共10分。
请考生在第22、23题中任选一题作答。
如果多做，则按所做的第一题计分。
22．[选修4—4：
坐标系与参数方程]（10分）
在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为
（t为参数且t≠1），C与坐标轴交于A、B两点．
（1）求
；
（2）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求直线AB的极坐标方程．
23．[选修4—5：
不等式选讲]（10分）
设a，b，c∈R，
，
．
（1）证明：
；
（2）用
表示a，b，c的最大值，证明：
≥
．
2020年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学试题参考答案
选择题答案
一、选择题
1．C2．D3．B4．C
5．B6．D7．A8．C
9．D10．D11．A12．A
非选择题答案
二、填空题
13．714．24015．
16．②③
三、解答题
17．解：
（1）
猜想
由已知可得
，
，
……
.
因为
，所以
（2）由
（1）得
，所以
.①
从而
.②
得
，
所以
18．解：
（1）由所给数据，该市一天的空气质量等级为1，2，3，4的概率的估计值如下表：
空气质量等级
1
2
3
4
概率的估计值
0.43
0.27
0.21
0.09
（2）一天中到该公园锻炼的平均人次的估计值为
．
（3）根据所给数据，可得
列联表：
人次≤400
人次>400
空气质量好
33
37
空气质量不好
22
8
根据列联表得
．
由于
，故有95%的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关．
19．解：
设
，
，
，如图，以
为坐标原点，
的方向为
轴正方向，建立空间直角坐标系
．
（1）连结
，则
，
，
，
，
，
，得
．
因此
，即
四点共面，所以点
在平面
内．
（2）由已知得
，
，
，
，
，
，
，
．
设
为平面
的法向量，则
即
可取
．
设
为平面
的法向量，则
同理可取
．
因为
，所以二面角
的正弦值为
．
20．解：
（1）由题设可得
，得
，
所以
的方程为
.
（2）设
，根据对称性可设
，由题意知
，
由已知可得
，直线BP的方程为
，所以
，
，
因为
，所以
，将
代入
的方程，解得
或
.
由直线BP的方程得
或8.
所以点
的坐标分别为
.
，直线
的方程为
，点
到直线
的距离为
，故
的面积为
.
，直线
的方程为
，点
到直线
的距离为
，故
的面积为
.
综上，
的面积为
.
21．解：
（1）
．
依题意得
，即
.
故
．
（2）由
（1）知
，
.
令
，解得
或
.
与
的情况为：
x
+
0
–
0
+
因为
，所以当
时，
只有大于1的零点.
因为
，所以当
时，f（x）只有小于–1的零点．
由题设可知
，
当
时，
只有两个零点
和1.
当
时，
只有两个零点–1和
.
当
时，
有三个等点x1，x2，x3，且
，
，
．
综上，若
有一个绝对值不大于1的零点，则
所有零点的绝对值都不大于1.
22．[选修4—4：
坐标系与参数方程]
解：
（1）因为t≠1，由
得
，所以C与y轴的交点为（0，12）；
由
得t=2，所以C与x轴的交点为
．
故
．
（2）由
（1）可知，直线AB的直角坐标方程为
，将
代入，
得直线AB的极坐标方程
．
23．[选修4—5：
不等式选讲]
解：
（1）由题设可知，a，b均不为零，所以
.
（2）不妨设max{a，b，c}=a，因为
，所以a>0，b<0，c<0.由
，可得
，故
，所以
.
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