循环码（电子信息）.pptx

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循循循循环环环环码码码码现代通信原理现代通信原理循环码循环码1.1循环码的基本概念循环码的基本概念循环码是一种具有循环性的线性码循环码是一种具有循环性的线性码（具有封闭性具有封闭性）。

一个一个（n,k）线性分组码线性分组码,如果每个码组任意循环移位如果每个码组任意循环移位后仍然是一个线性分组码后仍然是一个线性分组码,则称此码组为循环码。

则称此码组为循环码。

例（例（7，3）循环码：

）循环码：

g（x）=x4+x3+x2+1表表10.5（7,3）循环码循环码为了利用代数理论研究循环码，可以将码组用代数多为了利用代数理论研究循环码，可以将码组用代数多项是来表示，这个多项式被称为码多项式，项是来表示，这个多项式被称为码多项式，对于许用循环码对于许用循环码A=（an-1an-2a1a0），可以将它的码多项式表示为：

可以将它的码多项式表示为：

若一个整数若一个整数m可以表示为可以表示为:

则在模则在模n运算下，有运算下，有mp（模（模n），同样对于多项式而言：

），同样对于多项式而言：

则可以写为：

则可以写为：

F（x）R（x）（模（模N（x））。

）。

在循环码中，若在循环码中，若A（x）是一个长为是一个长为n的许用码组，则在按的许用码组，则在按模模运算运算下，亦是一个许用码组。

下，亦是一个许用码组。

例如，例如，其对应的码组为其对应的码组为0101110，它正是表，它正是表8-7中第中第3码字。

码字。

1.2循环码的生成多项式和生成矩阵循环码的生成多项式和生成矩阵循环码中次数最低的码多项式称为生成多项式，用循环码中次数最低的码多项式称为生成多项式，用g（x）表示。

可以证明生成多项式表示。

可以证明生成多项式g（x）具有以下特性：

具有以下特性：

（1）g（x）是一个常数项为是一个常数项为1的的次多项式；次多项式；

（2）g（x）是是的一个因式；的一个因式；（3）该循环码中其它码多项式都是该循环码中其它码多项式都是g（x）的倍式。

的倍式。

例（例（7，3）循环码：

）循环码：

g（x）=x4+x3+x2+1例例（7，3）循环码循环码码多项式码多项式对应码组：

对应码组：

g（x）=x4+x3+x2+10011101xg（x）=x5+x4+x3+x0111010x2g（x）=x6+x5+x4+x21110100x3g（x）=x7+x6+x5+x31+x6+x5+x31101001x4g（x）=x8+x7+x6+x4x+1+x6+x41010011x5g（x）=x9+x8+x7+x5x2+x+1+x50100111x6g（x）=x10+x9+x8+x6x3+x2+x+x61001110定义循环码的生成矩阵（用生成多项式表示）：

定义循环码的生成矩阵（用生成多项式表示）：

xk-1g（x）则则（7,3）循环码的生成矩阵：

循环码的生成矩阵：

G（x）=xk-2g（x）1110100G0111010g（x）0011101（由上式得到的由上式得到的G不是典型矩阵，经过线性变换后可以不是典型矩阵，经过线性变换后可以化成典型矩阵。

）化成典型矩阵。

）由上可知：

由上可知：

（n,k）循环码的每个码多项式都是生成多循环码的每个码多项式都是生成多项式项式g（x）的倍数。

反之，能被的倍数。

反之，能被g（x）除尽的次除尽的次数不大于数不大于n-1的多项式，必为码多项式。

的多项式，必为码多项式。

*如何寻找如何寻找（n,k）循环码的生成多项式）循环码的生成多项式g（x）?

由上述分析可知：

由上述分析可知：

xn+1g（x）h（x）；即即g（x）是是xn+1的一个的一个r次因子。

次因子。

对于（对于（7，3）循环码，）循环码，n7，r3将将x7+1分解得：

分解得：

x7+1（x+1）（x3+x2+1）（x3+x+1）其中有两个其中有两个r3次的因子可以作为次的因子可以作为g（x）：

g（x）（x+1）（x3+x2+1）x4+x2+x+1；则则:

h（x）x3+x+1或：

或：

g（x）（x+1）（x3+x+1）x4+x3+x2+1；则则:

h（x）x3+x2+11.3循环码的监督多项式和监督矩阵循环码的监督多项式和监督矩阵利用循环码的特点来确定监督矩阵利用循环码的特点来确定监督矩阵H：

由于（由于（n,k）循环码中）循环码中g（x）是是xn+1的因式，因此可令：

的因式，因此可令：

监督矩阵表示为：

监督矩阵表示为：

是是h（x）的逆多项式。

例如的逆多项式。

例如（7，3）循环码，循环码，g（x）=x4+x3+x2+1，则，则其中1.3循环码的编码和译码循环码的编码和译码1、编码过程、编码过程设设m（x）为信息码多项式，则为信息码多项式，则m（x）的幂次数小于等于的幂次数小于等于k-1。

（1）用用xr乘乘m（x）得得:

xrm（x）（其幂次数小于等于其幂次数小于等于n-1）,即即把把信息码后附加上信息码后附加上rr个个“0”,”,.

（2）求求R（x）：

R（x）是是xrm（x）除以除以g（x）得到的余项。

得到的余项。

（3）将）将R（x）加在信息位之后作为监督码，组成多项式加在信息位之后作为监督码，组成多项式A（x）。

则多项式则多项式A（x）必为码多项式。

必为码多项式。

图10.4（7,3）循环码编码电路表表10.6（7,3）循环码的编码过程循环码的编码过程循环码的译码可以分三步进行：

循环码的译码可以分三步进行：

（1）由接收到的码多项式）由接收到的码多项式B（x）计算校正子（伴随式）多项计算校正子（伴随式）多项式式S（x）；

（2）由校正子由校正子S（x）确定错误图样确定错误图样E（x）；（3）将错误图样将错误图样E（x）与与B（x）相加，纠正错误。

相加，纠正错误。

2.译码过程译码过程检错：

检错：

设接收码组为设接收码组为B（x）,作作B（x）/g（x）,若能除尽（余若能除尽（余式为式为0），则），则B（x）为码多项式，表示传输无错码；若余为码多项式，表示传输无错码；若余式不为式不为0，则有错码。

，则有错码。

纠错纠错:

建立建立B（x）/g（x）的余式与错误图样的一一对应关的余式与错误图样的一一对应关系。

根系。

根据余式得到错误图样据余式得到错误图样E（x）,则则A（x）B（x）E（x）或通过计算校正子或通过计算校正子S，利用类似利用类似表表104的关系，确定错的关系，确定错码的位置。

码的位置。

由上述分析可知，只要找到循环码的生成多项式由上述分析可知，只要找到循环码的生成多项式g（x），就决定了编码、译码、纠错能力。

，就决定了编码、译码、纠错能力。

但在实际的系统设计中，往往要按给定的纠正随机错误但在实际的系统设计中，往往要按给定的纠正随机错误的个数来寻找的个数来寻找g（x）。

（7,3）循环码译码电路实用的循环纠错编码：

实用的循环纠错编码：

*CRC码码（循环冗余校验码循环冗余校验码）：

是一种广泛用于检错的循环码。

：

是一种广泛用于检错的循环码。

其中其中:

CRC-16的的g（x）x16+x15+x2+1CRC-CCITT的的g（x）x16+x12+x5+1*BCH码：

能够纠正多个随机错误的循环码。

码：

能够纠正多个随机错误的循环码。

可以根据要求的可以根据要求的t（纠错个数）和（纠错个数）和n（码长（码长n=2m-1）查表获得查表获得g（x）。

例：

例：

t=1,n=7,为为（7,4）BCH码（属于汉明码）码（属于汉明码）查表得查表得g（x）参数为参数为13（表中数据为（表中数据为8进制），进制），对应二进制对应二进制0001011g（x）x3+x+1谢谢观看！

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现代通信原理现代通信原理