习题集含详解高中数学题库高考专点专练之31反函数.docx

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习题集含详解高中数学题库高考专点专练之31反函数

【习题集含详解】高中数学题库高考专点专练之31反函数

一、选择题（共40小题；共200分）

1.指数函数的反函数图象过点，则

A.B.C.D.

2.函数的反函数为

A.B.

C.D.

3.函数的反函数是

A.B.

C.D.

4.函数的反函数是

A.B.

C.D.

5.函数的反函数为

A.，B.，

C.，D.，

6.函数的反函数是

A.B.

C.D.

7.设函数的反函数为，则

A.在其定义域上是增函数且最大值为

B.在其定义域上是减函数且最小值为

C.在其定义域上是减函数且最大值为

D.在其定义域上是增函数且最小值为

8.已知函数的反函数为，则的解集是

A.B.C.D.

9.已知函数的反函数是，则函数的图像必过定点

A.B.C.D.

10.若函数是函数（，且）的反函数，且，则

A.B.C.D.

11.若函数是函数的反函数，则的值为

A.B.C.D.

12.函数的反函数是

A.B.C.D.

13.函数有反函数，已知图象经过点，则的反函数图象必经过点

A.B.C.D.

14.已知是上的增函数，点，在它的图象上，那么，不等式的解集是

A.B.

C.D.

15.已知函数和，则它们的反函数的图象

A.关于直线对称B.关于轴对称

C.关于轴对称D.关于原点对称

16.设函数的反函数为，且的图象过点，则的图象必过

A.B.C.D.

17.函数（且）的反函数的图象经过点，则的值为

A.B.C.D.

18.函数的反函数是

A.B.

C.D.

19.要使函数在上存在反函数，则的取值范围是

A.B.C.或D.

20.函数的反函数是

A.B.

C.D.

21.函数的反函数为，则的值是

A.B.C.D.

22.函数的反函数是

A.B.

C.D.

23.函数的反函数

A.B.

C.D.

24.给出下列几个函数：

①；②；③；④其中不存在反函数的函数有

A.个B.个C.个D.个

25.函数存在反函数，图象过点和，且在其定义域内是单调的，则不等式的解集是

A.B.C.D.

26.已知函数，，若，图象上分别存在点，，使得，关于直线对称，则实数的取值范围为

A.B.C.D.

27.函数的反函数是

A.B.

C.D.

28.已知函数的图象与函数的图象关于直线对称，则

A.B.

C.D.

29.已知是方程的一个根，是方程的一个根，那么的值是

A.B.C.D.

30.若函数的图象经过点，则函数的反函数的图象必经过点

A.B.C.D.

31.已知是上的奇函数，且当时，，则的反函数的图象大致是

A.

B.

C.

D.

32.设，且，则函数的反函数和的反函数的图象关于

A.轴对称B.轴对称C.对称D.原点对称

33.函数的反函数是

A.，B.，

C.，D.，

34.函数的反函数是

A.B.

C.D.

35.设是函数的反函数，则使成立的的取值范围为

A.B.

C.D.

36.已知函数的反函数为，则

A.B.C.D.

37.若指数函数的部分对应值如下表：

则不等式的解集为

A.B.

C.D.

38.若函数是函数的反函数，其图象经过点，则等于

A.B.C.D.

39.已知是方程的根，是方程的根，则

A.B.C.D.

40.设方程和方程的根分别为和，设函数，则

A.B.

C.D.

二、填空题（共40小题；共200分）

41.若函数的反函数为，则 ．

42.函数的反函数 ．

43.函数是的反函数，则 ．

44.两个函数的图象关于直线对称，若其中一个函数是，则另一个函数的表达式为．

45.已知函数的图象过点，又其反函数的图象过点，则函数的解析式为 ．

46.的反函数是，若，则 ．

47.函数的反函数是 .

48.若函数的反函数为，则 ．

49.函数（）的反函数是 ．

50.已知函数有反函数，则方程根的情况是 ．（填序号）

①有且仅有一个根；②至多有一个根；③至少有一个根；④以上结论都不对．

51.函数是的反函数，则函数恒过定点 ．

52.已知函数的反函数是，则 ， ．

53.设为的反函数，则 ．

54.已知，且，则 ．

55.函数（）的反函数是 ．

56.已知函数，则方程的解 ．

57.函数图象与其反函数图象的交点坐标为 ．

58.

（1）设函数，函数的图象与函数的图象关于直线对称，则 ；

（2）已知函数则的反函数 ．

59.若，则 ．

60.已知点在函数的图象上，则的反函数 ．

61.设函数的图象关于点对称，且存在反函数，，则 ．

62.函数（且）的部分对应值如下表．

则不等式的解集为 ．

63.若函数的图象过点，则函数的反函数的图象过点 ．

64.若幂函数与的图象关于直线对称，则实数，满足的关系式是 ．

65.对区间上有定义的函数，记，已知定义域为的函数有反函数，且，若方程有解，则 ．

66.已知的图象过点，则的值域为 ．

67.已知，则 ．

68.已知函数互为反函数，又的图象关于直线对称，若，则__ ； ．

69.已知函数与函数的图象关于直线对称，则的值为 ．

70.已知函数的图象关于直线对称，那么 ．

71.函数的反函数是 .

72.函数的图象与的图象关于直线对称，则函数的递增区间是 ．

73.已知，则方程的解集为 ．

74.设为，的反函数，则的最大值为 ．

75.已知函数的图象与函数的图象关于直线对称，则 ．

76.己知函数，若的图象是，它关于直线对称图象是关于原点对称的图象为则对应的函数解析式是 ．

77.将函数的图象向左平移一个单位，得到图象，再将向上平移一个单位得到图象，作出关于直线对称的图象，则的解析式为 ．

78.给出下列四个命题：

①函数为奇函数的充要条件是

②函数的反函数是

③若函数的值域是，则或

④若函数是偶函数，则函数的图象关于直线对称．

其中所有正确的命题的序号是 ．

79.幂函数的图象过点，则的解析式是 ．

80.设点在曲线上，点在曲线上，则的最小值为 ．

三、解答题（共20小题；共260分）

81.已知命题函数是函数的反函数，实数满足不等式；命题存在实数，使关于的方程有实数根．若命题，中有且只有一个为真命题，求实数的取值范围．

82.设函数是上的奇函数．

（1）求的值．

（2）求的反函数．

83.已知，设的反函数为，若关于的方程的两实数根都在内，求实数的取值范围．

84.已知函数．

（1）若，求的取值范围；

（2）若是偶函数，且，当时，，求函数的反函数．

85.设常数，函数．

（1）若，求函数的反函数；

（2）根据的不同取值，讨论函数的奇偶性，并说明理由．

86.设函数的反函数是．如果，那么是否正确，试说明理由．

87.已知函数．

（1）求的定义域和值域；

（2）判断函数在区间上的单调性，并证明你的判断结果；

（3）求的反函数．

88.已知．

（1）求的定义域、值域和反函数；

（2）判断的单调性，并证明；

（3）解不等式．

89.已知函数（其中且），是的反函数．

（1）已知关于的方程在上有实数解，求实数的取值范围；

（2）当时，讨论函数的奇偶性和单调性；

（3）当，时，关于的方程有三个不同的实数．

90.设同时满足条件和对任意都有成立．

（1）求的解析式；

（2）设函数的定义域为，且在定义域内，且函数的图象与的图象关于直线对称，求．

91.已知函数，且，的定义域为．

（1）求的解析式；

（2）求的值域．

92.已知函数，

（1）求的定义域；

（2）判断的奇偶性；

（3）求；

（4）求使的的取值范围．

93.已知函数，函数为函数的反函数．

（1）当时，恒成立，求的取值范围；

（2）对于，均有，求的取值范围．

94.已知函数是的反函数．定义：

若对给定的实数，函数与互为反函数，则称满足"和性质"；若函数与互为反函数，则称满足"积性质"．

（1）判断函数是否满足"和性质"，并说明理由；

（2）求所有满足"和性质"的一次函数；

（3）设函数对任何，满足"积性质"．求的表达式．

95.已知函数．

（1）若，求的取值范围；

（2）若是以为周期的偶函数，且当时，有，求函数的反函数．

96.已知指数函数．

（1）求的反函数的解析式；

（2）解不等式：

．

97.已知函数．

（1）判断并证明的奇偶性；

（2）若两个函数与在闭区间上恒满足，则称函数与在闭区间上是分离的．是否存在实数使得的反函数与在闭区间上分离?

若存在，求出实数的取值范围；若不存在，请说明理由．

98.设，是的反函数．

（1）设关于的方程在区间上有实数解，求的取值范围；

（2）当（为自然对数的底数）时，证明：

；

（3）当时，试比较与的大小，并说明理由．

99.已知函数．

（1）若直线与的反函数的图象相切，求实数的值；

（2）设，讨论曲线与曲线公共点的个数；

（3）设，比较与的大小，并说明理由．

100.设，是的反函数．

（1）设关于的方程在区间上有实数解，求的取值范围；

（2）当（为自然对数的底数）时，证明：

；

（3）当时，试比较与的大小，并说明理由．

答案

第一部分

1.A2.A【解析】由，

而，故，互换，得到.

3.D【解析】可求得原函数的值域为，而由可解得．，，于是可得反函数为．

4.D【解析】提示：

由可得，于是，也即反函数的定义域为，而由可求得（注意为负数），于是可得结果．

5.B

6.C7.D【解析】提示：

因为为增函数且定义域为，故也为增函数，且值域为．

8.B【解析】由得，

即，

所以，解得．

9.D10.A

【解析】函数（，且）的反函数是（，且），又，即，所以，故．

11.B【解析】由是函数的反函数，知，从而．

12.C【解析】因为函数，，

所以；交换，的位置，得，

所以函数的反函数是．

13.A【解析】提示：

的反函数为．

14.D【解析】提示：

也是上的增函数，且过点，，所以不等式，即的解集为．

15.A

16.C【解析】因为函数的图象过点，所以函数的图象经过点，所以反函数的图象必过点．

17.A【解析】因为函数（且）的反函数的图象经过点，

所以原函数（且）经过点，

所以，

所以，

解得．

18.A【解析】由，得，，反函数为．

19.C【解析】要使函数在上存在反函数，只要函数在上单调即可.

20.D

【解析】由，得，将，互换，所求反函数的定义域即原函数的值域.

21.A【解析】由且，得.

22.D23.A【解析】令，

所以，

所以，

所以，

互换，得，即.

24.B【解析】由存在反函数的条件知：

①②存在反函数，③④不存在反函数．

25.A

【解析】因为图象过点和，则经过点和，解不等式有，又因为函数存在反函数且在定义域内是单调的，所以不等式的解集为．

26.B【解析】由题意，函数，，若，图象上分别存在点，，使得，关于直线对称，

可得：

，

解得：

，

根据反函数的性质，可得，即，

因为，

所以，

解得：

．

27.C【解析】由，得，

所以反函数为．

28.D【解析】由题意知函数与函数互为反函数，且，

所以，所以，即．

29.B【解析】将已知的两个方程变形得，．

令，，．

如图所示．

记与的交点为，与的交点为，利用函数的性质易知，两点关于直线对称，便有，．将点坐标代入直线方程，得，再将代入上式，得，即．

30.C

【解析】的图象经过点，则的图象必经过点，所以其反函数的图象必经过点．

31.A【解析】当时，，

所以．

又是奇函数，

所以，

所以当时，，即

的图象如图所示．

由函数及其反函数图象之间的关系可知其反函数的图象应为A．

32.B【解析】的反函数为，的反函数为，图象显然关于轴对称．

33.A【解析】已知，则，所以反函数的定义域为．

34.C35.A

【解析】因为时，是单调增函数，所以．

36.A【解析】令，得，所以．

37.D38.A【解析】由题意知，又，

所以，所以，所以．

39.C【解析】

设，，如图，是和的交点，是和的交点，根据同底指对数函数的关系，和反比例函数的对称性，我们知道关于直线对称，所以，．

40.A

第二部分

41.

【解析】，则．

．

．

42.

43.

44.．

45.

【解析】因为反函数的图象过点，

所以函数的图象过点，

又函数的图象过点，

所以解得

故函数的解析式为．

46.

【解析】因为，所以，

所以，所以．

47.

48.

【解析】令，则，所以．所以．

49.

50.②

【解析】可以有一个实数根，例如，

也可以没有实数根，例如．

51.

【解析】提示：

过定点，所以它的反函数经过定点．

52.，

53.

54.

【解析】由题意，因为，

所以；故；故．

55.

56.

57.，

【解析】根据互为反函数图象的对称性，方程的根就是函数图象与其反函数图象交点的横坐标．

58.

（1），

（2）

59.

【解析】用代替，得．设，则，即，结合，解得．因此，．

60.

【解析】，故．所以，所以．

61.

【解析】根据题意可知在函数的图象上，结合图象关于对称，可得点也在图象上，故在其反函数的图象上．

62.

【解析】由，得，所以，，由得，所以的解集为．

63.

【解析】因为的图象过点，所以的图象过点，所以的反函数的图象过点．

64.

【解析】与互为反函数，

所以．

65.

【解析】根据反函数定义，

当时，，此时；

时，，此时；

而的定义域为，且有反函数，

故当时，，而有解，故只可能有．

66.

【解析】由已知得，（）．

可求得（），（）．

，（），其中，将看成关于的二次函数，可得值域为．

67.

【解析】由，得，求得反函数为，

用代，即得．

68.，

69.

【解析】由得，所以函数的反函数是，即，即．

70.

【解析】的反函数为．因为函数图象关于直线对称，所以，即，对一切的实数恒成立．∴．

71.

【解析】因为，

因为，

因为，

所以，

.

因为，

所以，

所以所求反函数为.

72.

【解析】提示：

，的定义域为，递增区间为．

73.

【解析】，

所以方程即为，即，

解得或，又，故．

74.

【解析】在上为单调增函数，在上的值域为，在区间上也为增函数，所以在区间上也为增函数，所以所求最大值为．

75.

【解析】因为的图象与函数的图象关于直线对称，所以与互为反函数．

令，解出．

所以．

76.

【解析】的解析式为．，关于对称，即它们互为反函数．，关于原点对称，用替换，同时替换即可．

77.

78.①②③

79.

80.

【解析】因为函数与函数互为反函数，图象关于对称．

函数上的点到直线的距离为，

设，则

由可得，

由可得．

所以函数在单调递减，在单调递增．

所以当时，函数，．

由图象关于对称得：

最小值为．

第三部分

81.令，则由，得，

所以．

又，

所以，

所以，

所以．

因为方程有实数根且，

所以，

所以．

因为命题，中有且只有一个为真命题，

所以存在两种情况：

①当为真命题，为假命题时，

有

所以．

②当为假命题，为真命题时，

有

所以．

所以的取值范围是．

82.

（1）是上的奇函数，

即．经验证，此时函数为奇函数．

（2）由

（1）得：

，即，

，

，

．

83.因为，所以，

则原方程可化为，，

即，

．

令，由知，，

故关于的方程的两实数根（设为，）都为负，

所以解得，所以．

84.

（1）由得．

由得．

因为，

所以，．

由得．

（2）当时，，因此，

由单调性可得．

因为，

所以所求反函数是，．

85.

（1）由，解得

由，得

且

所以，所求反函数为

（2）①当时，，，则是偶函数；

②当时，，定义域为

且

则是奇函数；

③当时，定义域为不关于原点对称，

则既不是奇函数，也不是偶函数．

86.解：

设由于是的反函数，

从而

以、分别代替上式中的、．即得．

87.

（1），即，而为减函数，．

又的值域为，故所求函数的定义域和值域分别为和．

（2）由于递减，也递减．

又递减，在上递增．其证明如下：

取，由递减得．

，．

，

即，在上单调递增．

      （3）令，则，即．

．故所求的反函数为（）．

88.

（1）为使函数有意义，需满足，即．

又，，故定义域为．

又，

，即函数值域为．

设，则．

，．

的反函数为．

（2）设，．则

即．

为减函数．

      （3）由得，

，，即，解得．

又的定义域为，故原不等式的解集为．

89.

（1）由题意，关于的方程在上有实数解可转化为求函数在上的值域，

该函数在上递增、在上递减，

则的最小值，最大值，即的取值范围为．

（2）的定义域为，定义域关于原点对称，

又因为，

所以函数为奇函数．

下面讨论在上函数的增减性．

任取，且，令，

则，

因为，且，

所以．

又因为当时，是减函数，

所以．

所以在上函数是减函数．

又因为函数是奇函数，

所以在上函数也是减函数．

      （3）的反函数是，

因为，

所以在上单调递减，

又因为，

所以，如图．

令，如图，

则方程的解应满足：

或

即或（舍），

所以．

90.

（1）由，得，

由，得．

由得，

所以．

（2）由题意知，当时，，此时．

设点是函数的图象上任意一点，它关于直线对称的点为，依题