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1、习题集含详解高中数学题库高考专点专练之31反函数【习题集含详解】高中数学题库高考专点专练之31反函数 一、选择题（共40小题；共200分）1. 指数函数 的反函数图象过点 ，则 A. B. C. D. 2. 函数 的反函数为 A. B. C. D. 3. 函数 的反函数是 A. B. C. D. 4. 函数 的反函数是 A. B. C. D. 5. 函数 的反函数为 A. ， B. ， C. ， D. ， 6. 函数 的反函数是 A. B. C. D. 7. 设函数 的反函数为 ，则 A. 在其定义域上是增函数且最大值为 B. 在其定义域上是减函数且最小值为 C. 在其定义域上是减函数且最大值

2、为 D. 在其定义域上是增函数且最小值为 8. 已知函数 的反函数为 ，则 的解集是 A. B. C. D. 9. 已知函数 的反函数是 ，则函数 的图像必过定点 A. B. C. D. 10. 若函数 是函数 （，且 ）的反函数，且 ，则 A. B. C. D. 11. 若函数 是函数 的反函数，则 的值为 A. B. C. D. 12. 函数 的反函数是 A. B. C. D. 13. 函数 有反函数 ，已知 图象经过点 ，则 的反函数图象必经过点 A. B. C. D. 14. 已知 是 上的增函数，点 ， 在它的图象上，那么，不等式 的解集是 A. B. C. D. 15. 已知函数

3、和 ，则它们的反函数的图象 A. 关于直线 对称 B. 关于 轴对称 C. 关于 轴对称 D. 关于原点对称 16. 设函数 的反函数为 ，且 的图象过点 ，则 的图象必过 A. B. C. D. 17. 函数 （ 且 ）的反函数的图象经过点 ，则 的值为 A. B. C. D. 18. 函数 的反函数是 A. B. C. D. 19. 要使函数 在 上存在反函数，则 的取值范围是 A. B. C. 或 D. 20. 函数 的反函数是 A. B. C. D. 21. 函数 的反函数为 ，则 的值是 A. B. C. D. 22. 函数 的反函数是 A. B. C. D. 23. 函数 的反函数

4、 A. B. C. D. 24. 给出下列几个函数： ； ； ； 其中不存在反函数的函数有 A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 25. 函数 存在反函数， 图象过点 和 ，且 在其定义域内是单调的，则不等式 的解集是 A. B. C. D. 26. 已知函数 ，若 ， 图象上分别存在点 ，使得 ， 关于直线 对称，则实数 的取值范围为 A. B. C. D. 27. 函数 的反函数是 A. B. C. D. 28. 已知函数 的图象与函数 的图象关于直线 对称，则 A. B. C. D. 29. 已知 是方程 的一个根， 是方程 的一个根，那么 的值是 A. B. C. D. 30. 若函

5、数 的图象经过点 ，则函数 的反函数的图象必经过点 A. B. C. D. 31. 已知 是 上的奇函数，且当 时，则 的反函数的图象大致是 A. B. C. D. 32. 设 ，且 ，则函数 的反函数和 的反函数的图象关于 A. 轴对称 B. 轴对称 C. 对称 D. 原点对称 33. 函数 的反函数是 A. ， B. ， C. ， D. ， 34. 函数 的反函数是 A. B. C. D. 35. 设 是函数 的反函数，则使 成立的 的取值范围为 A. B. C. D. 36. 已知函数 的反函数为 ，则 A. B. C. D. 37. 若指数函数 的部分对应值如下表：则不等式 的解集为

6、A. B. C. D. 38. 若函数 是函数 的反函数，其图象经过点 ，则 等于 A. B. C. D. 39. 已知 是方程 的根， 是方程 的根，则 A. B. C. D. 40. 设方程 和方程 的根分别为 和 ，设函数 ，则 A. B. C. D. 二、填空题（共40小题；共200分）41. 若函数 的反函数为 ，则 42. 函数 的反函数 43. 函数 是 的反函数，则 44. 两个函数的图象关于直线 对称，若其中一个函数是 ，则另一个函数的表达式为 45. 已知函数 的图象过点 ，又其反函数的图象过点 ，则函数的解析式为 46. 的反函数是 ，若 ，则 47. 函数 的反函数是

7、. 48. 若函数 的反函数为 ，则 49. 函数 （）的反函数是 50. 已知函数 有反函数，则方程 根的情况是 （填序号） 有且仅有一个根；至多有一个根；至少有一个根；以上结论都不对 51. 函数 是 的反函数，则函数 恒过定点 52. 已知函数 的反函数是 ，则 ， 53. 设 为 的反函数，则 54. 已知 ，且 ，则 55. 函数 （）的反函数是 56. 已知函数 ，则方程 的解 57. 函数 图象与其反函数图象的交点坐标为 58. （1）设函数 ，函数 的图象与函数 的图象关于直线 对称，则 ； （2）已知函数 则 的反函数 59. 若 ，则 60. 已知点 在函数 的图象上，则

8、的反函数 61. 设函数 的图象关于点 对称，且存在反函数 ，则 62. 函数 （ 且 ）的部分对应值如下表 则不等式 的解集为 63. 若函数 的图象过点 ，则函数 的反函数的图象过点 64. 若幂函数 与 的图象关于直线 对称，则实数 ， 满足的关系式是 65. 对区间 上有定义的函数 ，记 ，已知定义域为 的函数 有反函数 ，且 ，若方程 有解 ，则 66. 已知 的图象过点 ，则 的值域为 67. 已知 ，则 68. 已知函数 互为反函数，又 的图象关于直线 对称，若 ，则 _ ； 69. 已知函数 与函数 的图象关于直线 对称，则 的值为 70. 已知函数 的图象关于直线 对称，那么

9、 71. 函数 的反函数是 . 72. 函数 的图象与 的图象关于直线 对称，则函数 的递增区间是 73. 已知 ，则方程 的解集为 74. 设 为 ， 的反函数，则 的最大值为 75. 已知函数 的图象与函数 的图象关于直线 对称，则 76. 己知函数 ，若 的图象是 ，它关于直线 对称图象是 关于原点对称的图象为 则 对应的函数解析式是 77. 将函数 的图象向左平移一个单位，得到图象 ，再将 向上平移一个单位得到图象 ，作出 关于直线 对称的图象 ，则 的解析式为 78. 给出下列四个命题： 函数 为奇函数的充要条件是 函数 的反函数是 若函数 的值域是 ，则 或 若函数 是偶函数，则函

10、数 的图象关于直线 对称 其中所有正确的命题的序号是 79. 幂函数 的图象过点 ，则 的解析式是 80. 设点 在曲线 上，点 在曲线 上，则 的最小值为 三、解答题（共20小题；共260分）81. 已知命题 函数 是函数 的反函数，实数 满足不等式 ；命题 存在实数 ，使关于 的方程 有实数根若命题 ， 中有且只有一个为真命题，求实数 的取值范围 82. 设函数 是 上的奇函数（1）求 的值（2）求 的反函数 83. 已知 ，设 的反函数为 ，若关于 的方程 的两实数根都在 内，求实数 的取值范围 84. 已知函数 （1）若 ，求 的取值范围；（2）若 是偶函数，且 ，当 时，求函数 的反

11、函数 85. 设常数 ，函数 （1）若 ，求函数 的反函数 ；（2）根据 的不同取值，讨论函数 的奇偶性，并说明理由 86. 设函数 的反函数是 如果 ，那么 是否正确，试说明理由 87. 已知函数 （1）求 的定义域和值域；（2）判断函数 在区间 上的单调性，并证明你的判断结果；（3）求 的反函数 88. 已知 （1）求 的定义域、值域和反函数；（2）判断 的单调性，并证明；（3）解不等式 89. 已知函数 （其中 且 ）， 是 的反函数（1）已知关于 的方程 在 上有实数解，求实数 的取值范围；（2）当 时，讨论函数 的奇偶性和单调性；（3）当 ， 时，关于 的方程 有三个不同的实数 90

12、. 设 同时满足条件 和对任意 都有 成立（1）求 的解析式；（2）设函数 的定义域为 ，且在定义域内 ，且函数 的图象与 的图象关于直线 对称，求 91. 已知函数 ，且 ， 的定义域为 （1）求 的解析式；（2）求 的值域 92. 已知函数 ，（1）求 的定义域；（2）判断 的奇偶性；（3）求 ；（4）求使 的 的取值范围 93. 已知函数 ，函数 为函数 的反函数（1）当 时， 恒成立，求 的取值范围；（2）对于 ，均有 ，求 的取值范围 94. 已知函数 是 的反函数定义：若对给定的实数 ，函数 与 互为反函数，则称 满足 和性质；若函数 与 互为反函数，则称 满足 积性质（1）判断函

13、数 是否满足 和性质，并说明理由；（2）求所有满足 和性质的一次函数；（3）设函数 对任何 ，满足 积性质求 的表达式 95. 已知函数 （1）若 ，求 的取值范围；（2）若 是以 为周期的偶函数，且当 时，有 ，求函数 的反函数 96. 已知指数函数 （1）求 的反函数 的解析式；（2）解不等式： 97. 已知函数 （1）判断并证明 的奇偶性；（2）若两个函数 与 在闭区间 上恒满足 ，则称函数 与 在闭区间 上是分离的是否存在实数 使得 的反函数 与 在闭区间 上分离?若存在，求出实数 的取值范围；若不存在，请说明理由 98. 设 ， 是 的反函数（1）设关于 的方程 在区间 上有实数解，

14、求 的取值范围；（2）当 （ 为自然对数的底数）时，证明：；（3）当 时，试比较 与 的大小，并说明理由 99. 已知函数 （1）若直线 与 的反函数的图象相切，求实数 的值；（2）设 ，讨论曲线 与曲线 公共点的个数；（3）设 ，比较 与 的大小，并说明理由 100. 设 ， 是 的反函数（1）设关于 的方程 在区间 上有实数解，求 的取值范围；（2）当 （ 为自然对数的底数）时，证明：；（3）当 时，试比较 与 的大小，并说明理由答案第一部分1. A 2. A 【解析】由 ，而 ，故 ，互换 ， 得到 .3. D 【解析】可求得原函数的值域为 ，而由 可解得 ，于是可得反函数为 4. D

15、【解析】提示：由 可得 ，于是 ，也即反函数的定义域为 ，而由 可求得 （注意 为负数），于是可得结果5. B 6. C 7. D 【解析】提示：因为 为增函数且定义域为 ，故 也为增函数，且值域为 8. B 【解析】由 得 ， 即 ，所以 ，解得 9. D 10. A 【解析】函数 （，且 ）的反函数是 （，且 ），又 ，即 ，所以 ，故 11. B 【解析】由 是函数 的反函数，知 ，从而 12. C 【解析】因为函数 ，所以 ；交换 ， 的位置，得 ，所以函数 的反函数是 13. A 【解析】提示： 的反函数为 14. D 【解析】提示： 也是 上的增函数，且过点 ，所以不等式 ，即 的

16、解集为 15. A 16. C 【解析】因为函数 的图象过点 ，所以函数 的图象经过点 ，所以反函数 的图象必过点 17. A 【解析】因为函数 （ 且 ）的反函数的图象经过点 ，所以原函数 （ 且 ）经过点 ，所以 ，所以 ，解得 18. A 【解析】由 ，得 ，反函数为 19. C 【解析】要使函数 在 上存在反函数，只要函数在 上单调即可.20. D 【解析】由 ，得 ，将 ， 互换，所求反函数的定义域即原函数的值域.21. A 【解析】由 且 ，得 .22. D 23. A 【解析】令 ，所以 ，所以 ，所以 ，互换 ， 得 ，即 .24. B 【解析】由存在反函数的条件知：存在反函数

17、，不存在反函数25. A 【解析】因为 图象过点 和 ，则 经过点 和 ，解不等式有 ，又因为函数 存在反函数且在定义域内是单调的，所以不等式的解集为 26. B 【解析】由题意，函数 ，若 ， 图象上分别存在点 ，使得 ， 关于直线 对称，可得：，解得：，根据反函数的性质，可得 ，即 ，因为 ，所以 ，解得：27. C 【解析】由 ，得 ，所以反函数为 28. D 【解析】由题意知函数 与函数 互为反函数，且 ，所以 ，所以 ，即 29. B 【解析】将已知的两个方程变形得 ，令 ，如图所示记 与 的交点为 ， 与 的交点为 ，利用函数的性质易知 ， 两点关于直线 对称，便有 ，将 点坐标代

18、入直线方程，得 ，再将 代入上式，得 ，即 30. C 【解析】 的图象经过点 ，则 的图象必经过点 ，所以其反函数的图象必经过点 31. A 【解析】当 时，所以 又 是奇函数，所以 ，所以当 时，即 的图象如图所示由函数及其反函数图象之间的关系可知其反函数的图象应为A32. B 【解析】 的反函数为 ， 的反函数为 ，图象显然关于 轴对称33. A 【解析】已知 ，则 ，所以反函数的定义域为 34. C 35. A 【解析】因为 时， 是单调增函数，所以 36. A 【解析】令 ，得 ，所以 37. D 38. A 【解析】由题意知 ，又 ，所以 ，所以 ，所以 39. C 【解析】设 ，

19、如图， 是 和 的交点， 是 和 的交点，根据同底指对数函数的关系，和反比例函数的对称性，我们知道 关于直线 对称，所以 ，40. A 第二部分41. 【解析】 ，则 42. 43. 44. 45. 【解析】因为反函数的图象过点 ，所以函数 的图象过点 ，又函数 的图象过点 ，所以 解得 故函数的解析式为 46. 【解析】因为 ，所以 ，所以 ，所以 47. 48. 【解析】令 ，则 ，所以 所以 49. 50. 【解析】可以有一个实数根，例如 ，也可以没有实数根，例如 51. 【解析】提示： 过定点 ，所以它的反函数经过定点 52. ，53. 54. 【解析】由题意，因为 ，所以 ；故 ；故

20、 55. 56. 57. ，【解析】根据互为反函数图象的对称性，方程 的根就是函数图象与其反函数图象交点的横坐标58. （1），（2）59. 【解析】用 代替 ，得 设 ，则 ，即 ，结合 ，解得 因此，60. 【解析】，故 所以 ，所以 61. 【解析】根据题意可知 在函数 的图象上，结合 图象关于 对称，可得点 也在 图象上，故 在其反函数的图象上62. 【解析】由 ，得 ，所以 ，由 得 ，所以 的解集为 63. 【解析】因为 的图象过点 ，所以 的图象过点 ，所以 的反函数的图象过点 64. 【解析】 与 互为反函数，所以 65. 【解析】根据反函数定义，当 时，此时 ； 时，此时 ；

21、而 的定义域为 ，且有反函数，故当 时，而 有解，故只可能有 66. 【解析】由已知得 ， （）可求得 （），（） ，（），其中 ，将 看成关于 的二次函数，可得值域为 67. 【解析】由 ，得 ，求得反函数为 ，用 代 ，即得 68. ，69. 【解析】由 得 ，所以函数 的反函数是 ，即 ，即 70. 【解析】 的反函数为 因为函数图象关于直线 对称，所以 ，即 ，对一切 的实数恒成立 71. 【解析】因为 ，因为 ，因为 ，所以 ， .因为 ，所以 ，所以所求反函数为 .72. 【解析】提示：， 的定义域为 ，递增区间为 73. 【解析】，所以方程 即为 ，即 ，解得 或 ，又 ，故 7

22、4. 【解析】 在 上为单调增函数， 在 上的值域为 ， 在区间 上也为增函数，所以 在区间 上也为增函数，所以所求最大值为 75. 【解析】因为 的图象与函数 的图象关于直线 对称，所以 与 互为反函数令 ，解出 所以 76. 【解析】 的解析式为 ， 关于 对称，即它们互为反函数， 关于原点对称，用 替换 ，同时 替换 即可77. 78. 79. 80. 【解析】因为函数 与函数 互为反函数，图象关于 对称函数 上的点 到直线 的距离为 ，设 ， 则 由 可得 ，由 可得 所以函数 在 单调递减，在 单调递增所以当 时，函数 ，由图象关于 对称得： 最小值为 第三部分81. 令 ，则由 ，

23、得 ，所以 又 ，所以 ，所以 ，所以 因为方程 有实数根且 ，所以 ，所以 因为命题 ， 中有且只有一个为真命题，所以存在两种情况： 当 为真命题， 为假命题时，有 所以 当 为假命题， 为真命题时，有 所以 所以 的取值范围是 82. （1） 是 上的奇函数， 即 经验证，此时函数为奇函数（2） 由（1）得：，即 ， ， ， 83. 因为 ，所以 ，则原方程可化为 ，即 ， 令 ，由 知，故关于 的方程 的两实数根（设为 ，）都为负，所以 解得 ，所以 84. （1） 由 得 由 得 因为 ，所以 ，由 得 （2） 当 时，因此 ，由单调性可得 因为 ，所以所求反函数是 ，85. （1）

24、由 ，解得由 ，得且所以，所求反函数为（2） 当 时，则 是偶函数；当 时，定义域为且则 是奇函数；当 时，定义域为 不关于原点对称，则 既不是奇函数，也不是偶函数86. 解：设 由于 是 的反函数， 从而 以 、 分别代替上式中的 、 即得 87. （1） ，即 ，而 为减函数，又 的值域为 ，故所求函数的定义域和值域分别为 和 （2） 由于 递减， 也递减又 递减， 在 上递增其证明如下：取 ，由 递减得 ， ，即 ， 在 上单调递增（3） 令 ，则 ，即 故所求的反函数为 （）88. （1） 为使函数有意义，需满足 ，即 又 ，故定义域为 又 ， ，即函数值域为 设 ，则 ， 的反函数为

25、 （2） 设 ，则 即 为减函数（3） 由 得 ， ，即 ，解得 又 的定义域为 ，故原不等式的解集为 89. （1） 由题意，关于 的方程 在 上有实数解可转化为求函数 在 上的值域，该函数在 上递增、在 上递减，则 的最小值 ，最大值 ，即 的取值范围为 （2） 的定义域为 ，定义域关于原点对称，又因为 ，所以函数 为奇函数下面讨论在 上函数的增减性任取 ，且 ，令 ，则 ，因为 ，且 ，所以 又因为当 时， 是减函数，所以 所以 在 上函数是减函数又因为函数 是奇函数，所以在 上函数也是减函数（3） 的反函数是 ，因为 ，所以 在 上单调递减，又因为 ，所以 ，如图 令 ，如图 ，则方程 的解应满足： 或 即 或 （舍），所以 90. （1） 由 ，得 ，由 ，得 由 得 ，所以 （2） 由题意知，当 时，此时 设点 是函数 的图象上任意一点，它关于直线 对称的点为 ，依题