序关系和结构OrderRelationsandStructures.docx
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序关系和结构OrderRelationsandStructures
序关系和结构OrderRelationsandStructures
§6.1偏序集PartialOrseredSets
偏序关系PartialOrder
1.自反Reflexive
aA,（a,a）R
2．反对称antisymmetric
（a,b）∈R∧（b,a）∈Ra=b
3．传递Transitive
（a,b）∈R∧（b,c）∈R（a,c）∈R.
大于等于，小于等于，恒等，整除关系都是偏序关系。
树是偏序。
偏序的图中没有长度大于1的回路。
偏序集PosetPartialorderedset
（A，R）,R是A上偏序。
（A,）偏序集，是集合A上偏序。
Z是偏序集，≤是Z上偏序。
<不是偏序。
例4．R，S都是A上等价关系，
RSxRy→xSy
R：
A上全体等价关系，
（R，）构成偏序。
对偶偏序集：
如果R是A上偏序，则R－1也是A上偏序。
（A，R－1）称为（A，R）的对偶偏序集。
（A，≥）是（A，≤）的对偶偏序。
全序关系，线性序关系linearorder，链chain
偏序1.2.3.＋4
4．a,bA,（a,b）R∨（b,a）∈R.
大于等于，小于等于是全序，
整除，（A,）不是。
定理1.
如果（A,≤），（B,≤）是偏序，
则（A×B，≤）是乘积偏序productpartialorder，其中≤定义为：
（a,b）≤（a’,b’）
a≤a’,b≤b’
设（A，≤）是偏序，
令a称（A，<）严格线性序
大于，小于都是严格线性序。
乘积偏序（A×B，≤）中，令
（a,b）<（a’,b’）a<是字典序lexicograpjic
（A，≤）是偏序，
An＝A×A×……×A
（a1,a2,……,an）<（b1,b2,……,bn）
a112
定理2.偏序集的有向图中没有长度大于1的圈。
4
3
哈斯图HasseDiagram
2
1
例11．A＝{1,2,3,4,12},
偏序集（A,|）的哈斯图：
0
例12．S＝{a,b,c},A=P（S）.
1
a,c
b,c
a,b
（A,）的哈斯图:
b
c
a
A={,{a},{b},{c},{a,b}
{a,c},{b,c},{a,b,c}}
拓扑排序
（A，≤）是偏序集，构造一个线性序（A，≺）使
a≤ba≺b，
算法原理：
1.选择一个没有前驱的顶点输出，
2.去掉这个顶点以及从这点出发的所有边。
重复1.2.直到所有顶点都输出完毕
同构Isomorphic
f：
（A，≤）→（A’,≤’）
f是A→A’的一一对应，
a≤bifff（a）≤’f（b）。
例15．
f：
（Z，≤）→（2Z，≤）是同构。
f（a）=2a
a≤biff2a≤2b
定理3.设f：
（A,≤）（A’,≤’）。
则A,A’对应的性质都相同。
1．如果f是同构，则A的哈斯图中所有标记a换成对应的标记f（a）,得到A’的哈斯图。
2．如果A的哈斯图中所有标记a换成对应的标记f（a）,得到A’的哈斯图，则f是同构。
例17．A＝{1,2,3,6},A’=P（{a,b}）={,{a},{b},{c},{a,b}},
（A,|）（A’,）
HomeworkP200－201
5，6，14，16，24，28，35，36
§6.2偏序集的极大极小元ExtremalelementsofPartialOrseredSets
极大元maximalelement：
a是A的极大元，
a∈A，没有b∈A，a极小元minimalelement：
a是A的极小元，
a∈A，没有b∈A，b定理1.有限偏序集A中，至少有一个极大元，至少有一个极小元。
最大元greatestelement：
a是A的最大元，
a∈A，任意b∈A，b最小元leastelement：
a是A的最小元，
a∈A，任意b∈A，a定理2.偏序集A中，至多有一个最大元，至多有一个最小元。
偏序集A中，如果有最大元，称之为单位元1，如果有最小元，称之为零元0。
上界upperbound
偏序集A中，BA，a∈A，b∈B，b下界lowerbound
偏序集A中，BA，a∈A，b∈B，a上确界LUBleastupperbound
偏序集A中，BA，a是B的最小上界，即a是B的上界，对B的任意上界a’，a
下确界GLBgreatestlowerbound
偏序集A中，BA，a是B的最大下界，即a是B的下界，对B的任意下界a’，a>a’.
定理3.偏序集A中，BA，B至多一个上确界，至多一个下确界。
定理4.设f：
（A，≤）→（A’,≤’）
是偏序同构，
（a）a是A的极大（极小）元，则f（a）是A’的极大（极小）元。
（b）a是A的最大（最小）元，则f（a）是A’的最大（最小）元。
（c）BA，a是B的上（下）界，则f（a）是f（B）的上（下）界
（d）BA，a是B的上确（下）界，则f（a）是f（B）的上（下）确界
HomeworkP206－207
16，26，33
§6.3格Lattices
定义格是一个偏序集（L，≤），任意a，b∈L，a，b有上下确界。
令a∨b＝LUB（a,b）,
a∧b＝GLB（a,b）.
格（L,≤，∨，∧）
例1．（P（S）,）是格，
A∨B＝A∪B，A∧B＝A∩B。
记做（P（S）,,∪,∩）
例2．（Z＋，|）是格，
a∨b＝LCM（a,b）,
a∧b＝GCD（a,b）.
例3．令Dn是n的所有正因子的集合，（Dn，|）是格。
D20＝{1,2,4,5,10,20},D30={1,2,3,5,6,10,15,20}
线性序是格
例4．Hasse图是否格的判断。
设（L，≤,∨，∧）是格，则对偶（L，≥，∧，∨）也是格。
例6.（P（S）,，∩，∪）是格，
A∨B＝A∩B，A∧B＝A∪B。
例5．R：
A上全体等价关系，偏序（R，）是格。
R∧S＝R∩S
R∨S＝（R∪S）∞
定理1.
设（L1,≤,∨,∧），
（L2,≤,∨,∧）都是格。
则（L1×L2，≤,∨,∧）也是格。
（a,b）∨（c,d）=（a∨c,b∨d）
（a,b）∧（c,d）=（a∧c,b∧d）
子格sublattice
设（L，≤）是格，SL，S对∨，∧封闭，
即a，b∈Sa∨b，a∧b∈S。
记做（S，≤,∨,∧）（L，≤,∨,∧）
或格SL。
（Dn，|,LCM,GCD）
（Z+,|,LCM,GCD）
例9PP209－210图6.42
格的同构IsomorphicLattices
f：
（L1,≤,∨,∧）→（L1,≤,∨,∧），
f是L1到L2的序同构，则f保持
∨，∧运算，
f（a∨b）=f（a）∨f（b）
f（a∧b）=f（a）∧f（b）
格同构也记做L1L2。
D6P（{a,b}）.
RΠ见练习33
格的性质PropertiesofLattices
定理2
设L是格，
则a≤ba∨b＝ba∧b＝a.
定理3.
设L是格，则L具有如下性质：
幂等律
a∨a＝a，a∧a＝a
交换律
a∨b＝b∨a，a∧b＝b∧a
结合律
a∨（b∨c）=（a∨b）∨c,
a∧（b∧c）=（a∧b）∧c
吸收律
a∨（a∧b）=a,a∧（a∨b）=a
定理3’.
设集合L上有运算∨，∧，（L,∨,∧）满足幂等律，交换律，结合律，吸收律，则L是格。
证明.
先证明a∨b＝biffa∧b＝a。
a∧b＝a∧（a∨b）=a.
a∨b＝a∨（a∧b）=a.
定义L上≤关系：
a≤biffa∨b＝biffa∧b＝a。
≤是L上偏序：
1）自反性：
由a∨a＝a，得a≤a
2）反对称性：
设a≤b，b≤a，
a＝a∧b＝b∧a＝b，
3）传递性
设a≤b，b≤c，
a∨c＝a∨（b∨c）＝（a∨b）∨c
＝b∨c＝c
a≤c
还要证明a∨b，a∧b分别是上下确界，
这里仅证a∨b是上确界，将a∧b是下确界留给同学：
上界：
a∧（a∨b）=a,a≤a∨b
b∧（a∨b）=b,b≤a∨b
上确界
设a≤c，b≤c，
（a∨b）∨c=a∨（b∨c）=a∨c＝c
a∨b≤c
a∨b是a，b的最小上界。
定理4.
设L是格，
如果a≤b，则
（a）a∨c≤b∨c
（b）a∧c≤b∧c
a≤c，b≤ciffa∨b≤c
c≤a，c≤biffc≤a∧b
如果a≤b，c≤d则
a∨c≤b∨d
a∧c≤b∧d
特殊格
有界格Boundedlattice：
有最大元1，最小元0的格叫有界格。
L是有界格，则对任意a∈L，
有0，1律成立。
0≤a≤1
a∨0＝a，a∧0＝0
a∨1＝1，a∧1＝a
定理5.L是有限格，则L有界。
分配格DistributiveLattice：
满足分配律的格：
1.a∧（b∨c）＝a∧b∨a∧c
2.a∨（b∧c）＝（a∨b）∧（a∨c）
12
0
例16．格（P（S）,∪,∩）是分配格。
1
1
例18．不分配的格，含有如下子格：
b
c
a
a
b
c
0
定理6格L不是分配格
当且仅当L含有例18中的子格。
可补格ComplementLattice.
有界格L是可补格，如果任意a∈L，
有a’∈L，使
a∨a’=1，a∧a’=0.
称a’为a的补元。
0
例19．格（P（S）,∪,∩）是可补格。
例21．D20，D30都是可补格。
定理7.设L是有界格，a∈L，如果a有补元，则其补元唯一。
证明.设a’,a”都是a的补元。
则a’=a’∨0＝a’∨（a∧a”）
＝（a’∨a）∧（a’∨a”）
=a’∨a”
a”=a”∨0＝a”∨（a∧a’）
＝（a”∨a）∧（a”∨a’）
=a’∨a”
因此a’=a”.
HomeworkP216－217
12，14，18，21，23，24，27，31，33
§6.4有限布尔代数
FiniteBooleanAlgeblas
§6.5线路设计CircuitDesigns
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