序关系和结构OrderRelationsandStructures.docx

1、序关系和结构OrderRelationsandStructures序关系和结构Order Relations and Structures6.1 偏序集Partial Orsered Sets偏序关系Partial Order1.自反 Reflexive aA, (a,a)R2反对称antisymmetric(a,b)R (b,a)R a=b3传递Transitive(a,b)R (b,c)R (a,c)R.大于等于，小于等于，恒等，整除关系都是偏序关系。树是偏序。偏序的图中没有长度大于1的回路。偏序集Poset Partial ordered set(A，R), R是A上偏序。（A, ）偏序

2、集，是集合A上偏序。 Z是偏序集，是Z上偏序。 不是偏序。例4 R，S都是A上等价关系， RSxRyxSyR：A上全体等价关系，（R ，）构成偏序。对偶偏序集：如果R是A上偏序，则R1也是A上偏序。（A，R1）称为（A，R）的对偶偏序集。（A，）是（A，）的对偶偏序。全序关系，线性序关系linear order，链chain偏序1.2.3.44 a,bA,(a,b)R(b,a)R.大于等于，小于等于是全序，整除，（A, ）不是。定理1.如果(A,)，(B,)是偏序，则(AB，)是乘积偏序product partial order，其中定义为： (a,b)(a,b) aa,bb设（A，）是偏序，

3、令abab，ab，称（A，）严格线性序大于，小于都是严格线性序。乘积偏序(AB，)中，令(a,b)(a,b)aaor a=a,bb是字典序lexicograpjic（A，）是偏序，AnAAA(a1,a2,an)(b1,b2,bn) a1b1a1b1a2b2a1b1anbn 12定理2. 偏序集的有向图中没有长度大于1的圈。43哈斯图Hasse Diagram21例11A1,2,3,4,12, 偏序集(A, | )的哈斯图：0例12Sa,b,c, A=P(S).1a,cb,ca,b (A, )的哈斯图:bcaA=,a,b,c,a,ba,c,b,c,a,b,c拓扑排序（A，）是偏序集，构造一个线性

4、序（A，）使abab，算法原理： 1. 选择一个没有前驱的顶点输出， 2. 去掉这个顶点以及从这点出发的所有边。 重复1.2.直到所有顶点都输出完毕同构Isomorphic f：（A，）（A,）f是AA的一一对应，ab iff f(a)f(b)。例15f：（Z，）（2Z，）是同构。f(a)=2aab iff 2a2b定理3. 设f：(A,) (A,)。则A, A对应的性质都相同。1 如果f是同构，则A的哈斯图中所有标记a换成对应的标记f(a), 得到A的哈斯图。2 如果A的哈斯图中所有标记a换成对应的标记f(a), 得到A的哈斯图，则f是同构。 例17A1,2,3,6, A=P(a,b)= ,

5、a,b,c,a,b,(A, |)(A, )Homework P2002015，6，14，16，24，28，35，366.2偏序集的极大极小元 Extremal elements of Partial Orsered Sets极大元maximal element：a 是A的极大元，aA，没有bA，ab.极小元minimal element：a 是A的极小元，aA，没有bA，ba.定理1. 有限偏序集A中，至少有一个极大元，至少有一个极小元。最大元greatest element：a 是A的最大元，aA，任意bA，ba.最小元least element：a 是A的最小元，aA，任意bA，ab.定理

6、2. 偏序集A中，至多有一个最大元，至多有一个最小元。偏序集A中，如果有最大元，称之为单位元1，如果有最小元，称之为零元0。上界 upper bound偏序集A中，BA，aA，bB，ba.下界lower bound偏序集A中，BA，aA，bB，ab.上确界LUB least upper bound偏序集A中，BA，a是B的最小上界，即a是B的上界，对B的任意上界a，aa.定理3. 偏序集A中，BA，B至多一个上确界，至多一个下确界。定理4. 设f：（A，）（A,）是偏序同构，（a） a是A的极大（极小）元，则f(a)是A的极大（极小）元。（b） a是A的最大（最小）元，则f(a)是A的最大（最

7、小）元。（c） BA，a是B的上（下）界，则f(a)是f(B)的上（下）界（d） BA，a是B的上确（下）界，则f(a)是f(B)的上（下）确界Homework P20620716，26，336.3 格 Lattices定义 格是一个偏序集（L，），任意a，bL，a，b有上下确界。令abLUB(a,b), abGLB(a,b).格 (L,，)例1（P(S), ）是格，ABAB，ABAB。记做（P(S), ,）例2（Z，| ）是格，abLCM(a,b),abGCD(a,b).例3令Dn是n的所有正因子的集合，（Dn，|）是格。D201,2,4,5,10,20, D30=1,2,3,5,6,10,

8、15,20线性序是格例4 Hasse图是否格的判断。设（L，, ，）是格，则对偶（L，）也是格。例6. （P(S),，）是格，ABAB，ABAB。 例5 R：A上全体等价关系，偏序（R ，）是格。 RSRS RS(RS)定理1. 设（L1,），（L2,）都是格。则（L1L2，,）也是格。(a,b)(c,d)=(ac, bd)(a,b)(c,d)=(ac, bd)子格sublattice设（L，）是格，SL，S对，封闭，即a，bSab，abS。记做(S，,) (L，,)或 格S L。(Dn，|, LCM, GCD) (Z+, |, LCM,GCD)例9 PP209210 图6.42格的同构Iso

9、morphic Latticesf：(L1,)(L1,)，f是L1到L2的序同构，则f保持，运算，f(ab)=f(a)f(b)f(ab)=f(a)f(b)格同构也记做L1L2。D6P(a,b).R见 练习33格的性质Properties of Lattices定理2 设L是格，则ab abb aba.定理3.设L是格，则L具有如下性质：幂等律 aaa， aaa交换律 abba，abba结合律 a(bc)=(ab)c, a (bc)=(ab)c吸收律 a(ab)=a, a(ab)=a定理3. 设集合L上有运算，（L,）满足幂等律，交换律，结合律，吸收律，则L是格。证明.先证明 abb iff a

10、ba。 aba(ab)=a. aba(ab)=a.定义L上关系：ab iff abb iff aba。是L上偏序： 1）自反性：由aaa，得aa 2）反对称性： 设ab，ba， aabbab， 3）传递性 设ab，bc， aca(bc)(ab)c bcc ac还要证明ab，ab分别是上下确界，这里仅证ab是上确界，将ab是下确界留给同学：上界：a(ab)=a, aabb(ab)=b, bab上确界设ac，bc，(ab)c=a(bc)=accabcab是a，b的最小上界。定理4. 设L是格，如果ab，则（a）acbc（b）acbcac，bc iff abcca，cb iff cab如果ab，cd

11、则 acbdacbd特殊格有界格Bounded lattice：有最大元1，最小元0的格叫有界格。L是有界格，则对任意aL，有0，1律成立。 0a1a0a，a00a11，a1a定理5. L是有限格，则L有界。分配格Distributive Lattice：满足分配律的格：1. a(bc)abac2. a(bc)(ab)(ac)120例16格(P(S),)是分配格。11例18不分配的格，含有如下子格：bcaabc0定理6格L不是分配格当且仅当L含有例18中的子格。可补格Complement Lattice.有界格L是可补格，如果任意aL，有aL，使 aa=1，aa=0.称a为a的补元。0例19格(P(S),)是可补格。例21D20，D30都是可补格。定理7. 设L是有界格，aL，如果a有补元，则其补元唯一。证明. 设a,a”都是a的补元。则a=a0a(aa”) (aa)(aa”) = aa” a”=a”0a”(aa) (a”a)(a”a) = aa”因此 a=a”.Homework P21621712，14，18，21，23，24，27，31，336.4 有限布尔代数Finite Boolean Algeblas6.5 线路设计Circuit Designs