人教A版高中数学必修2教学同步讲练第二章《直线与平面垂直的判定》练习题含答案.docx
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人教A版高中数学必修2教学同步讲练第二章《直线与平面垂直的判定》练习题含答案
第二章点、直线、平面之间的位置关系
2.3直线、平面垂直的判定及其性质
2.3.1直线与平面垂直的判定
A级 基础巩固
一、选择题
1.下列说法中正确的个数是( )
①如果直线l与平面α内的两条相交直线都垂直,则l⊥α;
②如果直线l与平面α内的任意一条直线垂直,则l⊥α;
③如果直线l不垂直于α,则α内没有与l垂直的直线;
④如果直线l不垂直于α,则α内也可以有无数条直线与l垂直.
A.0 B.1 C.2 D.3
2.已知直线m,n是异面直线,则过直线n且与直线m垂直的平面( )
A.有且只有一个 B.至多一个
C.有一个或无数个D.不存在
3.如果一条直线垂直于一个平面内的下列各种情况,能保证该直线与平面垂直的是( )
①三角形的两边 ②梯形的两边 ③圆的两条直径
④正六边形的两条边
A.①③B.②
C.②④D.①②③
4.如图所示,如果MC⊥菱形ABCD所在平面,那么MA与BD的位置关系是( )
A.平行 B.垂直相交
C.垂直但不相交 D.相交但不垂直
5.如图所示,PA⊥平面ABC,△ABC中BC⊥AC,则图中直角三角形的个数是( )
A.1B.2
C.3D.4
二、填空题
6.已知△ABC所在平面外一点P到△ABC三顶点的距离都相等,则点P在平面ABC内的射影是△ABC的____________________
(填“重心”、“外心”、“内心”、“垂心”).
7.已知正三棱锥SABC的所有棱长都相等,则SA与平面ABC所成角的余弦值为________.
8.如图所示,平面α∩β=CD,EA⊥α,垂足为A,EB⊥β,垂足为B,则CD与AB的位置关系是________.
三、解答题
9.(2015·重庆卷)如图所示,三棱锥PABC中,PC⊥平面ABC,∠ACB=90°.D,E分别为线段AB,BC上的点,且CD=DE=
,CE=2.证明:
DE⊥平面PCD.
10.如图所示,四边形ABCD为矩形,AD⊥平面ABE,F为CE上的点,且BE⊥平面ACE.求证:
AE⊥BE.
B级 能力提升
1.如图①所示,在正方形SG1G2G3中,E、F分别是边G1G2,G2G3的中点,D是EF的中点,现沿SE、SF及EF把这个正方形折成一个如图②所示的几何体,使G1、G2、G3三点重合于点G,则下面结论成立的是( )
图① 图②
A.SG⊥平面EFGB.SD⊥平面EFG
C.GF⊥平面SEFD.GD⊥平面SEF
2.在三棱柱ABCA1B1C1中,各棱长相等,侧棱垂直于底面,点D是侧面BB1C1C的中点,则AD与平面BB1C1C所成角的大小是________.
3.如图,直三棱柱ABCA1B1C1中,AC=BC=1,∠ACB=90°,AA1=
,D是A1B1的中点.
(1)求证:
C1D⊥平面A1B.
(2)当点F在BB1上什么位置时,会使得AB1⊥平面C1DF?
证明你的结论.
.
参考答案
第二章点、直线、平面之间的位置关系
2.3直线、平面垂直的判定及其性质
2.3.1直线与平面垂直的判定
A级 基础巩固
一、选择题
1.下列说法中正确的个数是( )
①如果直线l与平面α内的两条相交直线都垂直,则l⊥α;
②如果直线l与平面α内的任意一条直线垂直,则l⊥α;
③如果直线l不垂直于α,则α内没有与l垂直的直线;
④如果直线l不垂直于α,则α内也可以有无数条直线与l垂直.
A.0 B.1 C.2 D.3
解析:
由直线和平面垂直的定理知①正确;由直线与平面垂直的定义知,②正确;当l与α不垂直时,l可能与α内的无数条直线垂直,故③错误,④正确.
答案:
D
2.已知直线m,n是异面直线,则过直线n且与直线m垂直的平面( )
A.有且只有一个 B.至多一个
C.有一个或无数个D.不存在
解析:
若异面直线m、n垂直,则符合要求的平面有一个,否则不存在.
答案:
B
3.如果一条直线垂直于一个平面内的下列各种情况,能保证该直线与平面垂直的是( )
①三角形的两边 ②梯形的两边 ③圆的两条直径
④正六边形的两条边
A.①③B.②
C.②④D.①②③
解析:
由线面垂直的判定定理可知①③是正确的,而②中线面可能平行、相交.④中由于正六边形的两边不一定相交,所以也无法判定线面垂直.
答案:
A
4.如图所示,如果MC⊥菱形ABCD所在平面,那么MA与BD的位置关系是( )
A.平行 B.垂直相交
C.垂直但不相交 D.相交但不垂直
解析:
因为ABCD是菱形,所以BD⊥AC.又MC⊥平面ABCD,则BD⊥MC.因为AC∩MC=C,所以BD⊥平面AMC.又MA⊂平面AMC,所以MA⊥BD.显然直线MA与直线BD不共面,因此直线MA与BD的位置关系是垂直但不相交.
答案:
C
5.如图所示,PA⊥平面ABC,△ABC中BC⊥AC,则图中直角三角形的个数是( )
A.1B.2
C.3D.4
解析:
⇒
⇒
BC⊥平面PAC⇒BC⊥PC,
所以直角三角形有△PAB,△PAC,△ABC,△PBC.
答案:
D
二、填空题
6.已知△ABC所在平面外一点P到△ABC三顶点的距离都相等,则点P在平面ABC内的射影是△ABC的____________________
(填“重心”、“外心”、“内心”、“垂心”).
解析:
P到△ABC三顶点的距离都相等,则点P在平面ABC内的射影到△ABC三顶点的距离都相等,所以是外心.
答案:
外心
7.已知正三棱锥SABC的所有棱长都相等,则SA与平面ABC所成角的余弦值为________.
解析:
因为SABC为正三棱锥,所以设点S在底面ABC上的射影为△ABC的中心O,连接SO,AO,如图所示,则∠SAO为SA与底面ABC所成的角,设三棱锥的棱长为a,在Rt△SOA中,AO=
·asin60°=
a,SA=a,
所以cos∠SAO=
=
.
答案:
8.如图所示,平面α∩β=CD,EA⊥α,垂足为A,EB⊥β,垂足为B,则CD与AB的位置关系是________.
解析:
因为EA⊥α,CD⊂α,
根据直线和平面垂直的定义,则有CD⊥EA.
同样,因为EB⊥β,CD⊂β,则有EB⊥CD.
又EA∩EB=E,
所以CD⊥平面AEB.
又因为AB⊂平面AEB,所以CD⊥AB.
答案:
CD⊥AB
三、解答题
9.(2015·重庆卷)如图所示,三棱锥PABC中,PC⊥平面ABC,∠ACB=90°.D,E分别为线段AB,BC上的点,且CD=DE=
,CE=2.证明:
DE⊥平面PCD.
证明:
由PC⊥平面ABC,DE⊂平面ABC,故PC⊥DE.
由CE=2,CD=DE=
,得△CDE为等腰直角三角形,故CD⊥DE.
由PC∩CD=C,故DE⊥平面PCD.
10.如图所示,四边形ABCD为矩形,AD⊥平面ABE,F为CE上的点,且BE⊥平面ACE.求证:
AE⊥BE.
证明:
因为AD⊥平面ABE,AD∥BC,
所以BC⊥平面ABE.
又AE⊂平面ABE,所以AE⊥BC.
因为BF⊥平面ACE,AE⊂平面ACE,所以AE⊥BF.
又因为BF⊂平面BCE,BC⊂平面BCE,BF∩BC=B,
所以AE⊥平面BCE.
又BE⊂平面BCE,所以AE⊥BE.
B级 能力提升
1.如图①所示,在正方形SG1G2G3中,E、F分别是边G1G2,G2G3的中点,D是EF的中点,现沿SE、SF及EF把这个正方形折成一个如图②所示的几何体,使G1、G2、G3三点重合于点G,则下面结论成立的是( )
图① 图②
A.SG⊥平面EFGB.SD⊥平面EFG
C.GF⊥平面SEFD.GD⊥平面SEF
解析:
在图①是,SG1⊥G1E,SG3⊥G3F,因此在图②中,SG⊥GE,SG⊥GF,又GE∩GF=G,所以SG⊥平面EFG.
答案:
A
2.在三棱柱ABCA1B1C1中,各棱长相等,侧棱垂直于底面,点D是侧面BB1C1C的中点,则AD与平面BB1C1C所成角的大小是________.
解析:
如图所示,取BC的中点E,连接DE,AE,则AE⊥面BB1C1C.
所以AE⊥DE,因此AD与平面BB1C1C所成角即为∠ADE,
设AB=a,则AE=
a,DE=
,
有tan∠ADE=
,所以∠ADE=60°.
答案:
60°
3.如图,直三棱柱ABCA1B1C1中,AC=BC=1,∠ACB=90°,AA1=
,D是A1B1的中点.
(1)求证:
C1D⊥平面A1B.
(2)当点F在BB1上什么位置时,会使得AB1⊥平面C1DF?
证明你的结论.
证明:
(1)因为直三棱柱ABCA1B1C1中,AC=BC,所以A1C1=B1C1.
又D是A1B1的中点,
所以C1D⊥A1B1.
因为AA1⊥平面A1B1C1,C1D⊂平面A1B1C1,
所以AA1⊥C1D.
又AA1,A1B1⊂平面A1B,AA1∩A1B1=A1,所以C1D⊥平面A1B.
(2)当点F为BB1的中点时,AB1⊥平面C1DF.证明如下:
作DE⊥AB1交AB1于点E,延长DE交BB1于点F,连接C1F,此时AB1⊥平面C1DF,点F即为所求.
事实上,因为C1D⊥平面A1B,AB1⊂平面A1B,
所以C1D⊥AB1.
又AB1⊥DF,DF∩C1D=D,
所以AB1⊥平面C1DF.
由已知得A1B1=
.连接A1B,
在矩形A1B1BA中,A1B1=A1A,
所以四边形A1B1BA是正方形,
所以A1B⊥AB1,
所以DF∥A1B.
又D为A1B1的中点,
所以F为BB1的中点.
故当F为BB1的中点时,AB1⊥平面C1DF.