版理科数学一轮复习高考帮试题第15章 推理与证明.docx

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版理科数学一轮复习高考帮试题第15章推理与证明

第十五章　推理与证明

题组1　合情推理与演绎推理

1.[2016北京,8,5分][理]袋中装有偶数个球,其中红球、黑球各占一半.甲、乙、丙是三个空盒.每次从袋中任意取出两个球,将其中一个球放入甲盒,如果这个球是红球,就将另一个球放入乙盒,否则就放入丙盒.重复上述过程,直到袋中所有球都被放入盒中,则（　　）

A.乙盒中黑球不多于丙盒中黑球

B.乙盒中红球与丙盒中黑球一样多

C.乙盒中红球不多于丙盒中红球

D.乙盒中黑球与丙盒中红球一样多

2.[2015山东,11,5分][理]观察下列各式:

=40;

+=41;

++=42;

+++=43;

……

照此规律,当n∈N*时,

+++…+=　　　. 

3.[2014安徽,12,5分]如图15-1,在等腰直角三角形ABC中,斜边BC=2.过点A作BC的垂线,垂足为A1;过点A1作AC的垂线,垂足为A2;过点A2作A1C的垂线,垂足为A3;…,依此类推.设BA=a1,AA1=a2,A1A2=a3,…,A5A6=a7,则a7=　　　. 

图15-1

4.[2014陕西,14,5分][理]观察分析下表中的数据:

多面体

面数（F）

顶点数（V）

棱数（E）

三棱柱

5

6

9

五棱锥

6

6

10

立方体

6

8

12

猜想一般凸多面体中F,V,E所满足的等式是　　　　. 

题组2　直接证明与间接证明

5.[2017北京,20,13分][理]设{an}和{bn}是两个等差数列,记cn=max{b1-a1n,b2-a2n,…,bn-ann}（n=1,2,3,…）,其中max{x1,x2,…,xs}表示x1,x2,…,xs这s个数中最大的数.

（Ⅰ）若an=n,bn=2n-1,求c1,c2,c3的值,并证明{cn}是等差数列;

（Ⅱ）证明:

或者对任意正数M,存在正整数m,当n≥m时,>M;或者存在正整数m,使得cm,cm+1,cm+2,…是等差数列.

6.[2015江苏,20,16分][理]设a1,a2,a3,a4是各项为正数且公差为d（d≠0）的等差数列.

（1）证明:

,,依次构成等比数列;

（2）是否存在a1,d,使得a1,,,依次构成等比数列?

并说明理由;

（3）是否存在a1,d及正整数n,k,使得,,,依次构成等比数列?

并说明理由.

题组3　数学归纳法

7.[2014安徽,21,13分][理]设实数c>0,整数p>1,n∈N*.

（Ⅰ）证明:

当x>-1且x≠0时,（1+x）p>1+px;

（Ⅱ）数列{an}满足a1>,an+1=an+.证明:

an>an+1>.

A组基础题

1.[2018郑州一中高三入学测试,12]数学上称函数y=kx+b（k,b∈R,k≠0）为线性函数.对于非线性可导函数f（x）,在点x0附近一点x的函数值f（x）,可以用如下方法求其近似代替值:

f（x）≈f（x0）+f'（x0）（x-x0）.利用这一方法,m=的近似代替值（　　）

A.大于mB.小于mC.等于mD.与m的大小关系无法确定

2.[2018吉林百校联盟联考,5]甲、乙、丙三人参加某公司的面试,最终只有一人能够被该公司录用,得到面试结果以后,甲说:

丙被录用了;乙说:

甲被录用了;丙说:

我没被录用.若这三人中仅有一人说法错误,则下列结论正确的是（　　）

A.丙被录用了B.乙被录用了

C.甲被录用了D.无法确定谁被录用了

3.[2017南昌市三模,4]已知13+23=（）2,13+23+33=（）2,13+23+33+43=（）2,…,若13+23+33+43+…+n3=3025,则n=（　　）

A.8B.9C.10D.11

4.[2017长春市高三第二次质量监测,14]将1,2,3,4,…这样的正整数按如图15-2所示的方式排成三角形数组,则第10行左数第10个数为　　　　. 

图15-2

5.[2017甘肃兰州高考实战模拟,14]观察下列式子:

1,1+2+1,1+2+3+2+1,1+2+3+4+3+2+1,…,由以上可推测出一个一般性结论:

对于n∈N*,则1+2+…+n+…+2+1=　　　　. 

6.[2017郑州市高三第三次质量预测,13][数学文化题]中国有个名句“运筹帷幄之中,决胜千里之外.”其中的“筹”原意是指《孙子算经》中记载的算筹,古代是用算筹来进行计算,算筹是将几寸长的小竹棍摆在平面上进行运算,算筹的摆放有纵横两种形式,如下表:

表示一个多位数时,像阿拉伯计数一样,把各个数位的数码从左到右排列,但各位数码的筹式需要纵横相间,个位、百位、万位数用纵式表示,十位、千位、十万位用横式表示,以此类推,例如6613用算筹表示就是

则5288用算筹可表示为　　　　. 

B组提升题

7.[2017长沙市五月模拟,7]某班级有一个学生A在操场上绕圆形跑道逆时针方向匀速跑步,每52秒跑完一圈,在学生A开始跑步时,在教室内有一个学生B,往操场看了一次,以后每50秒他都往操场看一次,则该学生B“感觉”到学生A的运动是（　　）

A.逆时针方向匀速前跑

B.顺时针方向匀速前跑

C.顺时针方向匀速后退

D.静止不动

8.[2017沈阳市高三三模,9][数学文化题]“杨辉三角”又称“贾宪三角”,是因为贾宪约在公元1050年首先使用“贾宪三角”进行高次开方运算,而杨辉在公元1261年所著的《详解九章算法》一书中,辑录了贾宪三角形数表,并称之为“开方作法本源”图.下列数表的构造思路就源于“杨辉三角”.该表由若干行数字组成,从第二行起,每一行中的数字均等于其“肩上”两数之和,表中最后一行仅有一个数,则这个数是（　　）

2017　2016　2015　2014……6　5　4　3　2　1

　4033　4031　4029……………11　9　7　5　3

　　8064　8060……………………20　16　12　8

　　　16124…………………………36　28　20

　　　　　　…………………………

A.2017×22016B.2018×22015C.2017×22015D.2018×22016

9.[2018山东省东明一中模拟,15]古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数,如三角形数1,3,6,10,…,第n个三角形数为,记第n个k边形数为N（n,k）（k≥3）,以下列出了部分k边形数中第n个数的表达式:

三角形数:

N（n,3）=n2+n;正方形数:

N（n,4）=n2;五边形数:

N（n,5）=n2-n;六边形数:

N（n,6）=2n2-n,…,由此推测N（8,8）=　　　　. 

10.[2017长春市高三第四次质量监测,16]有甲、乙二人去看望高中数学老师张老师,期间他们做了一个游戏,张老师的生日是m月n日,张老师把m告诉了甲,把n告诉了乙,然后张老师列出来如下10个日期供选择:

2月5日,2月7日,2月9日,5月5日,5月8日,8月4日,8月7日,9月4日,9月6日,9月9日.看完日期后,甲说:

“我不知道,但你一定也不知道.”乙听了甲的话后,说:

“本来我不知道,但现在我知道了.”甲接着说:

“哦,现在我也知道了.”请问,张老师的生日是　　　　. 

答案

1.B　若袋中有两个球,则红球、黑球各一个,若红球放在甲盒,则黑球放在乙盒,丙盒中没有球,此时乙盒中黑球多于丙盒中黑球,乙盒中黑球比丙盒中红球多,故可排除A,D;若袋中有四个球,则红球、黑球各两个,若取出两个红球,则红球一个放在甲盒,余下一个放在乙盒,再取出余下的两个黑球,一个放在甲盒,则余下一个放在丙盒,所以甲盒中一红一黑,乙盒中一个红球,丙盒中一个黑球,此时乙盒中红球比丙盒中红球多,排除C,选B.

2.4n-1　第一个等式,n=1,而右边式子为40=41-1;

第二个等式,n=2,而右边式子为41=42-1;

第三个等式,n=3,而右边式子为42=43-1;

第四个等式,n=4,而右边式子为43=44-1;

……

归纳可知,第n个等式的右边为4n-1.

3.　解法一　直接递推归纳:

等腰直角三角形ABC中,斜边BC=2,所以AB=AC=a1=2,AA1=a2=,A1A2=a3=1,…,A5A6=a7=a1×（）6=.

解法二　求通项:

等腰直角三角形ABC中,斜边BC=2,所以AB=AC=a1=2,AA1=a2=,…,An-1An=an+1=sin·an=an=2×（）n,故a7=2×（）6=.

4.F+V-E=2　三棱柱中5+6-9=2;五棱锥中6+6-10=2;立方体中6+8-12=2,由此归纳可得F+V-E=2.

5.（Ⅰ）c1=b1-a1=1-1=0,

c2=max{b1-2a1,b2-2a2}=max{1-2×1,3-2×2}=-1,

c3=max{b1-3a1,b2-3a2,b3-3a3}=max{1-3×1,3-3×2,5-3×3}=-2.

当n≥3时,（bk+1-nak+1）-（bk-nak）=（bk+1-bk）-n（ak+1-ak）=2-n<0,

所以bk-nak关于k∈N*单调递减.

所以cn=max{b1-a1n,b2-a2n,…,bn-ann}=b1-a1n=1-n.

所以对任意n≥1,cn=1-n,于是cn+1-cn=-1,

所以{cn}是等差数列.

（Ⅱ）设数列{an}和{bn}的公差分别为d1,d2,则

bk-nak=b1+（k-1）d2-[a1+（k-1）d1]n

=b1-a1n+（d2-nd1）（k-1）,

所以cn=

①当d1>0时,

取正整数m>,则当n≥m时,nd1>d2,因此cn=b1-a1n.

此时,cm,cm+1,cm+2,…是等差数列.

②当d1=0时,对任意n≥1,

cn=b1-a1n+（n-1）max{d2,0}=b1-a1+（n-1）（max{d2,0}-a1）.

此时,c1,c2,c3,…,cn,…是等差数列.

③当d1<0时,

当n>时,有nd1

所以=

=-nd1+d1-a1+d2+

≥-nd1+d1-a1+d2-|b1-d2|.

对任意正数M,取正整数m>max{,},则当n≥m时,>M.

6.

（1）因为==2d（n=1,2,3）是同一个常数,

所以,,,依次构成等比数列.

（2）令a1+d=a,则a1,a2,a3,a4分别为a-d,a,a+d,a+2d（a>d,a>-2d,d≠0）.

假设存在a1,d,使得a1,,,依次构成等比数列,

则a4=（a-d）（a+d）3,且（a+d）6=a2（a+2d）4.

令t=,则1=（1-t）（1+t）3,且（1+t）6=（1+2t）4（-

化简得t3+2t2-2=0　①;

且t2=t+1.将t2=t+1代入①式,得

t（t+1）+2（t+1）-2=t2+3t=t+1+3t=4t+1=0,则t=-.

显然t=-不是上面方程的解,矛盾,所以假设不成立,

因此不存在a1,d,使得a1,,,依次构成等比数列.

（3）假设存在a1,d及正整数n,k,使得,,,依次构成等比数列,则（a1+2d）n+2k=（a1+d）2（n+k）,且（a1+d）n+k（a1+3d）n+3k=（a1+2d）2（n+2k）.

分别在两个等式的两边同时除以及,并令t=（t>-,t≠0）,

则（1+2t）n+2k=（1+t）2（n+k）,且（1+t）n+k（1+3t）n+3k=（1+2t）2（n+2k）.

将上述两个等式两边取对数,得（n+2k）ln（1+2t）=2（n+k）ln（1+t）,

且（n+k）ln（1+t）+（n+3k）ln（1+3t）=2（n+2k）ln（1+2t）.

化简得2k[ln（1+2t）-ln（1+t）]=n[2ln（1+t）-ln（1+2t）],且3k[ln（1+3t）-ln（1+t）]=n[3ln（1+t）-ln（1+3t）].

再将这两式相除,化简得ln（1+3t）ln（1+2t）+3ln（1+2t）ln（1+t）=4ln（1+3t）ln（1+t）　②.

令g（t）=4ln（1+3t）ln（1+t）-ln（1+3t）ln（1+2t）-3ln（1+2t）ln（1+t）,

则g'（t）=.

令φ（t）=（1+3t）2ln（1+3t）-3（1+2t）2ln（1+2t）+3（1+t）2ln（1+t）,

则φ'（t）=6[（1+3t）ln（1+3t）-2（1+2t）ln（1+2t）+（1+t）ln（1+t）].

令φ1（t）=φ'（t）,则φ1'（t）=6[3ln（1+3t）-4ln（1+2t）+ln（1+t）].

令φ2（t）=φ1'（t）,则φ2'（t）=>0.

由g（0）=φ（0）=φ1（0）=φ2（0）=0,φ2'（t）>0,

知φ2（t）,φ1（t）,φ（t）,g（t）在（-,0）和（0,+∞）上均单调.

故g（t）只有唯一零点t=0,即方程②只有唯一解t=0,故假设不成立.

所以不存在a1,d及正整数n,k,使得,,,依次构成等比数列.

7.（Ⅰ）用数学归纳法证明:

①当p=2时,（1+x）2=1+2x+x2>1+2x,原不等式成立.

②假设p=k（k≥2,k∈N*）时,不等式（1+x）k>1+kx成立.

当p=k+1时,（1+x）k+1=（1+x）（1+x）k>（1+x）（1+kx）=1+（k+1）x+kx2>1+（k+1）x,

所以p=k+1时,原不等式也成立.

综合①②可得,当x>-1且x≠0时,对一切整数p>1,不等式（1+x）p>1+px均成立.

（Ⅱ）解法一　先用数学归纳法证明an>.

①当n=1时,由题设a1>知an>成立.

②假设n=k（k≥1,k∈N*）时,不等式ak>成立.

由an+1=an+易知an>0,n∈N*.

当n=k+1时,=+=1+（-1）.

由ak>>0得-1<-<（-1）<0.

由

（1）中的结论得（）p=[1+（-1）]p>1+p·（-1）=.

因此>c,即ak+1>.

所以n=k+1时,不等式an>也成立.

综合①②可得,对一切正整数n,不等式an>均成立.

再由=1+（-1）,可得<1,即an+1

综上所述,an>an+1>,n∈N*.

解法二　设f（x）=x+x1-p,x≥,则xp≥c,并且

f'（x）=+（1-p）x-p=（1-）>0,x>.

由此可得f（x）在[,+∞）上单调递增,因而,当x>时,f（x）>f（）=.

①当n=1时,由a1>>0,即>c可知

a2=a1+=a1[1+（-1）],从而a1>a2>.

故当n=1时,不等式an>an+1>成立.

②假设n=k（k≥1,k∈N*）时,不等式ak>ak+1>成立,则

当n=k+1时,f（ak）>f（ak+1）>f（）,即ak+1>ak+2>.

所以n=k+1时,原不等式也成立.

综合①②可得,对一切正整数n,不等式an>an+1>均成立.

A组基础题

1.A　依题意,取f（x）=,则f'（x）=,则≈+（x-x0）.令x=4.001,x0=4,则≈2+×0.001,注意到（2+×0.001）2=4+0.001+（×0.001）2>4.001,即m=的近似代替值大于m,故选A.

2.C　若乙的说法错误,则甲、丙的说法都正确,而两人的说法互相矛盾,据此可得,乙的说法是正确的,即甲被录用了.故选C.

3.C　13+23=（）2=（）2,

13+23+33=（）2=（）2,

13+23+33+43=（）2=（）2,

…

由此归纳可得13+23+33+43+…+n3=[]2,

因为13+23+33+43+…+n3=3025,

所以[]2=3025,所以n2（n+1）2=（2×55）2,所以n=10,故选C.

4.91　由三角形数组可推断出,第n行共有2n-1个数,且最后一个数为n2,所以第10行共19个数,最后一个数为100,左数第10个数是91.

5.n2　由1=12,1+2+1=4=22,1+2+3+2+1=9=32,1+2+3+4+3+2+1=16=42,…,归纳猜想可得1+2+…+n+…+2+1=n2.

6.

　根据题意知,5288用算筹表示,从左到右依次是横式的5,纵式的2,横式的8,纵式的8,即

.

B组提升题

7.C　令操场的周长为C,则学生B每隔50秒看一次,学生A都距上一次学生B观察的位置（弧长）,并在上一次位置的后面,故学生B“感觉”到学生A的运动是顺时针方向匀速后退的.

8.B　从给出的数表可以看出,该数表每行都是等差数列,其中第一行从右到左是公差为1的等差数列,第二行从右到左的公差为2,第三行从右到左的公差为4,…,即第n行从右到左的公差为2n-1,而从右向左看,每行的第一个数分别为1=2×2-1,3=3×20,8=4×21,20=5×22,48=6×23,…,所以第n行的第一个数为（n+1）×2n-2.显然第2017行只有一个数,其值为（2017+1）×22017-2=

2018×22015.故选B.

9.176　由题意可得,

三角形数:

N=（n,3）=n2+n;

正方形数:

N=（n,4）=n2+0n;

五边形数:

N=（n,5）=n2-n;

六边形数:

N（n,6）=n2-n;

……

由此归纳可得N（n,k）=n2+n,

故N（8,8）=×82-×8=176.

10.8月4日　根据甲说的“我不知道,但你一定也不知道”,可排除5月5日、5月8日、9月4日、9月6日、9月9日;根据乙听了甲的话后说的“本来我不知道,但现在我知道了”,可排除2月7日、8月7日;根据甲接着说的“哦,现在我也知道了”,可以得知张老师生日为8月4日.