小升初数学总复习西师版.docx
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小升初数学总复习西师版
2016年小升初数学总复习(西师版)
一、《数与代数》:
A、数的认识(概念部分)
<一>、数的意义:
1、整数:
像—3、—2、—1、0、1、2、3……这样的数统称为整数。
整数包括正整数、0、负整数。
整数的个数是无限的。
没有最小的整数,也没有最大的整数,自然数是整数的一部分。
自然数包括0、正整数。
所以不能说:
“整数就是自然数”,但“自然数是整数”说法正确。
2、自然数:
用表示物体个数的数。
像0、1、2、3、4、……叫做自然数。
一个物体也没有用“0”表示。
自然数的个数是无限的,最小的自然数是0,没有最大的自然数。
3、小数:
把整数“1”平均分成10份、100份、1000份……这样的一份或几份的数是十分之几、百分之几、千分之几……可以用小数表示。
4、小数的分类:
(1)纯小数和带小数:
整数部分是0的小数叫做纯小数,如:
02,008,06,…。
整数部分不是0的小数叫做带小数。
如:
3,69003,70,…带小数包括纯小数、带小数。
(2)有限小数和无限小数:
小数部分的位数是有限的小数叫做有限小数;如:
64,033,0606,…。
有限小数的判定方法:
①必是最简分数,②分母只含有2的质因数或只含有的质因数(或只含有2和的质因数),如果分母中还含有了2和以外的其它质因数,这个分数就不能化成有限小数。
小数部分的位数是无限的小数叫做无限小数。
(3)循环小数:
一个小数,从小数部分的某一位起一个数字或几个数字依次不断地重复出现,这样的小数叫做循环小数。
(4)循环节:
一个循环小数的小数部分,依次不断重复出现的数字叫做这个小数的循环节。
()纯循环小数和混循环小数:
循环节从小数部分第一位开始的,叫做纯循环小数;循环节不是从第一位开始的,叫做混循环小数。
、计数单位:
个、十、百、千•••••以及十分之一、百分之一、千分之一•••••都是计数单位。
自然数的基本单位是1,最小的一位数是1而不是0。
6、数位:
各个计数单位所占的位置叫做数位。
位数:
共含有几个计数单位就是几位数。
7、十进制计数法:
“十进制计数法”是世界各国最常用的一种计数方法。
它的特点是每相邻的两个计数单位之间的进率都是“十”就是10个较低的计数单位可以进成一个较高的计数单位(既通常说的“逢十进一”),这种以“十”为基础进位的计数方法,叫做十进制计数法。
8、整数和小数数位顺序表:
小数部分的最高计数单位是01,整数部分的最低计数单位是1。
它们之间的进率也是10。
9、分数:
把单位“1”平均分成若干份,表示这样的一份或几份的数叫做分数。
(1)分数单位:
把单位“1”平均分成若干份,表示这样的一份的数就是这个分数的分数单位。
最大的分数单位是。
(2)分数的分类:
①真分数:
分子比分母小的分数叫做真分数。
真分数均小于1。
如:
…,
②假分数:
分子比分母大或者分子等于分母的分数叫做假分数,假分数大于或等于1。
如:
…。
(3)带分数:
整数和真分数合成的数通常叫做带分数,形式为:
整数+真分数
10、百分数:
表示一个数是另一个数的百分之几的数叫做百分数,百分数也叫百分率或百分比。
百分数的分数单位是1%。
百分数的分母是100。
11、分数和百分数的关系:
分数既可以表示一个数(后面可加数量单位);也可以表示两个数的倍比关系。
而百分数只表示一个数占另一个数的百分比,不能表示具体的数。
因此百分数不带单位。
12、正数和负数:
像、+2、0、+4…这样的数叫做正数;像―、―、―6…这样的数叫做负数。
(也可以说:
比0大的数叫正数,比0小的数叫负数。
)
(不能认为:
一个数的前面加上“+”号这个数就是正数;也不能认为:
一个数的前面加上“—”号这个数就是负数。
比如:
“-a”这个数我们就不能判断是负数,因为a可能是正数、也可能是负数、也可能是0;所以我们无法判断。
)
自然数是等于或大于0的整数,也可以说是不小于0的整数,既是非负整数。
0既不是正数也不是负数。
0是正数和负数的分界点。
<二>、数的读法和写法。
(一)、多位数的读法和写法
1.多位数的读数法则:
(1)从高位到低位,一级一级地往下读;
(2)每级末尾不管有几个0,都不读;
(3)每级的开端或中间有一个0或连续的几个0,都只读一个零。
2.多位数的写数法则:
(1)从高位到低位,一级一级地往下写;
(2)哪一位上一个单位都没有,就在那一位上写0。
(二)、小数的读法与写法:
读法:
通常是整数部分按整数的读法去读,小数点读作“点”,小数部分按从左向右的顺序只读出数字。
写法:
写小数时,整数部分按整数部分的写法去写,小数点写在个位的右下角,小数部分按从左向右的顺序依次写出每一个数位上的数字。
(三)、分数的读法与写法:
读法:
读分数时,先读分数的分母,再读“分之”最后读分子。
读带分数时,要先读整数部分,再读“又”字,最后按分数部分的读法读分数部分。
(分数线的读法:
“分之”),
写法:
写分数时,要先写分数线,再写分母,最后写分子,写带分数时,要先写整数部分,再写分数部分,整数部分要对其分数线,二者要紧凑。
(四)、百分数的读法与写法:
读法:
百分数的读法与分数相同。
写法:
百分数通常不写成分数形式,而是在原的分子后面加上百分号“%”表示。
写百分数时,先写分子,再写百分号。
(五)、数的大小比较:
1、整数的大小比较:
比较两个整数的大小,首先要看它们的位数,如果位数不相同,那么位数多的那个数就大;如果位数相同,就先从高位比起,相同数位上的数大的那个数就大;
2、小数的大小比较:
先比较它们的整数部分,整数部分大的那个数就大;整数部分相同的,十分位上数大的那个数就大;十分位上的数字相同,百分位上的数大那个数就大。
…以此类推。
3、分数的大小比较:
分母相同的分数,分子大的那个分数就大;(因为分母相同,分数单位就相等,分子大的就意味着含有的分数单位多。
);分子相同的分数,分母小的那个分数反而大。
分子、分母都不同的分数相比较,先通分,转化成同分母分数后,再比较大小。
4、正数和负数的大小比较:
负数都比正数小。
0大于一切负数,0小于一切正数。
、两个负数相比较:
如果a>b(a、b均为正数),则-a<-b。
就是在不看负数符号的情况下:
数大的那个数反而小,(即:
负号后的数越大,这个数反而越小)如:
-26<-6。
三、数的变化规律和性质:
1.乘法中的一些规律:
(1)一个因数不变,另一个因数扩大或缩小若干倍,积也随着扩大或缩小相同的倍数。
(2)一个因数扩大若干倍,另一个因数缩小相同的倍数,积不变。
(一扩一缩,倍数相同,积不变。
)
(3)一个非零的数乘小于1的数,积就小于这个数;乘大于1的数,积就大于这个数。
2.除法中的一些规律:
(1)除数不变,被除数扩大或缩小若干倍,商也随着扩大或缩小相同的倍数。
(2)被除数不变,除数扩大或缩小若干倍,商反而缩小或扩大相同的倍数。
(3)被除数和除数同时扩大或缩小相同的倍数,商不变(注意:
余数要变),这叫做商不变规律。
(4)当被除数不为零时,除数大于1,商反而小于被除数;除数小于1,商反而大于被除数。
3.小数的基本性质:
小数的末尾添上0或者去掉0,小数的大小不变,这叫做小数的基本性质。
(注意:
小数的位数有变化,精确度也就有变化。
即“值同,意义不同”)
判断:
①在小数点的末尾添上0或者去掉0,小数的大小不变。
(×)
②给小数添上0或者去掉0,小数的大小不变。
(×)
★近似数末尾的0不能去掉。
(在表示小数近似数的时候,小数末尾的“0”不能去掉,以近似数01和010为例,它们的精确度不同,01表示精确到十分位,它所代表的数一定大于或等于00而小于01的数;010表示精确到百分位,它所代表的准确数一定是大于或等于009而小于010的数。
所以,近似数末尾的“0”不能随意去掉,它决定着该数的精确度。
)
★小数点的位置移动引起小数的大小变化规律:
小数点每向右移动一位、两位、三位•••这个数就扩大到原的10倍、100倍、1000倍•••;小数点每向左移动一位、两位、三位•••该数就缩小到原数的1/10、1/100、1/1000•••。
4.分数的基本性质:
分数的分子和分母同时扩大或缩小相同的倍数(0除外),分数值不变,这叫做分数的基本性质。
(注意:
分数的分数单位有变化,分子、分母都有变化)
约分和通分:
把一个分数化成和原分数相等的,且分子分母都比原分数小的的分数叫做约分;把异分母分数分别化成和原分数相等的同分母分数,叫做通分。
分子和分母只有公因数1的分数叫做最简分数。
.比的基本性质:
比的前项和后项同时乘或除以相同的数(0除外),比值不变。
这叫做比的基本性质。
6.比例的基本性质:
在比例中,两内项的积等于两外项的积,这叫做比例的基本性质。
四、数的改写:
1、把多位数改写成以”万“或者以”亿”单位的数。
(1)直接改写:
把一个多位数改写成用“万”或“亿”作单位的数的方法是:
在“万”位或“亿”位的右下角打上小数点(如果原位数不够,要用0补足),再在数后面加上“万”或“亿”字,用“=”连接。
(2)省略尾数改写成近似数:
找到多位数“万”位或“亿”位,看“千位”或“千万位”上的数是否满,满了就向前一位进一,没满就舍去,同时在后面加上一个“万”字或“亿”字,用“≈”连接。
常以“四舍五入到哪位或省略万级(或亿级)后面的尾数、精确到哪位、保留到哪位”等题样出现。
2、求小数的近似数:
根据要求,要把小数保留到哪一位,就把这一位后面的尾数按照“四舍五入法”省略,中间用“≈”。
根据实际需要另有“进一法或去尾法”的情况。
进一法:
就是在保留整数时,无论十分位上的数是多少,一律往整数部分进一。
如:
运货物、物体(或液体)分装箱(或瓶)、乘车(或船)的人数安排、需要安排材料等一类有余数的除法数学问题。
去尾法:
就是在保留整数时,无论十分位上的数是多少,一律去掉。
如:
买书(或货物)、做服装、做通风管等一类有余数的除法数学问题。
3、小数、分数、百分数的互化:
小数化成分数方法:
先看小数点后面有几位小数,就在1的后面添上几个0做分母,原的小数去掉小数点后做分子。
能约分的必约成最简分数。
分数化成小数方法:
用分子除以分母。
小数化成百分数的方法:
把小数的小数点向右移动两位,(位数不足时用0补足)同时在后面添上“%”。
百分数化成小数的方法:
把百分数的分子的小数点向左移动两位,同时去掉后面的“%”。
百分数化成分数的方法:
先把百分数的改写成分母是100的分数,然后约成最简分数。
分数化成百分数的方法:
先把分数化成小数,(若遇除不尽时,通常要保留三位小数)再把小数化成百分数。
4、常用分数与小数、百分数的互化:
=0=0%
=02=2%=07=7%
=02=20%=04=40%=06=60%=08=80%
=012=12%=037=37%=062=62%=087=87%
=01=10%=001=1%=0001=01%=00001=001%
=00=%=01=1%=03=3%=04=4%
=0=%=06=6%=08=8%=09=9%
=004=4%=008=8%=016=16%=024=24%
=002=2%
、常用整数的倍数值:
2×2=02×4=1002×6=102×8=200
2×12=3002×16=400
7×2=107×4=300
12×2=2012×4=0012×8=1000
五、数的整除:
1、整除:
整数a除以整数b(b≠0),除得的商正好是整数且没有余数,我们就说数a能被数b整除。
(也可以说b能整除a)。
2、因数和倍数:
(是在非0自然数的条下)如果a×b=(a、b、都是非0整数)那么a、b就叫做的因数,就叫做a、b的倍数。
一个数的因数的个数是有限的,其中最小的因数是1,最大的因数是它本身。
一个数的倍数的个数是无限的,其中最小的倍数是它本身,没有最大的倍数。
综上:
一个数的最大因数=它的最小的倍数
3、公因数和最大公因数:
几个数的公有的因数,叫做这几个数的公因数;其中最大的一个叫做这几个数的最大公因数。
4、公倍数和最小公倍数:
几个数公有的倍数,叫做这几个数的公倍数;其中最小的那个数叫做这几个数的最小公倍数。
。
、求两个数的最大公因数的方法:
一般采用列举法,就是把两个数的因数一一列举出,然后找出两个数的公因数,其中最大的那个数就是这两个数最大公因数。
也可以采用短除法。
短除法求最大公因数的方法:
把两个数写在的横线上,先用着这两个数的公有质因数做除数,如果两个数的商是互质数,除数就是这两个数的所得的商就是这两个数的最大公因数。
如果两个数的商不互质,就按照上面的方法继续除,直到两个数的商最后是互质数为止,然后把所有的除数连乘起,所得的积就是这两个数的最大公因数。
6、求两个数的最小公倍数的方法:
一般也采用列举法,把两个数的倍数数根据需要按从小到大的顺序列举一部分,然后找出两个数的公有的倍数,其中最小的那个公倍数就是这两个数的最小公倍数。
也可以采用短除法。
短除法求最小公倍数的方法:
把两个数写在的横线上,先用着这两个数的公有质因数做除数,所得的商写在横线下的相对应的位置,如果两个数的商是互质数,就把除数和最后的两个商连乘起,所得的积就是这两个数的最小公倍数;如果两个数的商不互质,就按照上面的方法继续除,直到两个数的商最后是互质数为止,然后把所有的除数和最后所得商连乘起,所得的积就是这两个数的最小公倍数。
7、求两个数的最大公因数和最小公倍数的特殊方法:
如果两个数中,较大数是较小数的倍数,较小数就是较大数的因数,则较大数是这两个数的最小公倍数;较小数是这两个数的最大公因数。
如果两个数是互质数,则它们的最大公因数是1,最小公倍数是这两个数的乘积。
8、奇数和偶数:
在自然数中,是2的倍数的数叫做偶数,不是2的倍数的数叫做奇数(总前述:
奇、偶数的判定与能否被2整除有关)。
最小的偶数是0,最小的奇数是1,最小的偶质数是2。
链接:
①判定:
在自然数中,不是奇数就是偶数。
(∨)
②n为任意自然数时,2n表示为偶数,连续后两个偶数分别表示为2n+2、2n+4。
③n为任意自然数时,2n表示为偶数,2n+1表示奇数,连续后两个奇数分别表示为2n+3、2n+
9、2、3、的倍数的特征。
(1)个位上是0、2、4、6、8的数都是2的倍数。
(2)一个数各个数位上的数字的和是3的倍数,这个数就是3的倍数。
(3)个位上是0或的数都是的倍数。
能同时被2和3整除的数,一定是6的倍数;
能同时被2和整除的数,个位一定是0(也就是10的倍数);
能同时被3和整除的数,一定是1的倍数;
能同时被2、3、整除的数,一定是30的倍数;最小两位数是30,最大两位数是90。
最小三位数是120,最大三位数是990。
20以内既是奇数又是合数的数只有9和1。
0以内的质数有:
2、3、、7;11、13、17、19;23、29
10、质数和合数:
一个数,如果只有1和它本身两个因数,这样的数叫做质数(或素数);一个数,如果除了1和它本身还有别的因数,这样的数叫做合数。
质数有且只有两个因数,合数至少有三个因数(总前述:
与给定的这个数的因数个数有关)。
1既不是质数也不数合数。
最小的质数是2,既是质数又是奇数的最小一位数是3,最小的合数是4,百数表中,最大的质数是97。
判断:
①所有的合数都是偶数(×);如:
9它是合数但不是偶数。
②所有的偶数都是合数(×);如:
0,2它是偶数但不是合数。
11、质因数与分解质因数:
每个合数都可以写成几个质数相乘的形式,其中每个质数都是这个合数的质因数。
把一个合数用质数相乘的形式表示出,就是分解质因数。
12、分解质因数的方法:
把一个合数分解质因数,通常用短除法,分解质因数时,先用这个合数的质因数(通常用最小的开始)去除,得出的商如果是质数,就把除数和商写成相乘的形式;得出的商如果是合数,就照上面的方法继续下去,直到得出商是质数为止,然后把各个除数和最后的商写成连乘的形式。
13、互质数的6种特例:
(1)相邻两个自然数一定是互质数;例如:
1和168和9……
(2)相邻两个奇数一定是互质数;例如:
1和1761和63……
(3)1和任意一个自然数一定是互质数;例如:
1和261和100……
(4)2和任意一个奇数一定是互质数;例如:
2和22和39……
()两个不同的质数一定是互质数;例如:
7和1323和31……
(6)一质一合,不成倍数就一定是互质数。
例如:
和3311和28……
14、大于0的自然数的分类方法:
(1)根据是否是2的倍数,自然数可分为:
奇数和偶数。
(2)根据所含因数的个数,自然数可分为:
1、质数、合数。
B、数的运算:
一、四则运算的意义和计算方法
1、加法的意义:
把两个数(或几个数)合并成一个数的运算。
2、减法的意义:
已知两个数的和与其中的一个加数,求另一个加数的运算。
3、乘法的意义:
(1)一个数乘整数,就是求几个相同加数和的简便运算。
(2)一个数乘小数,可以看作是求这个数的十分之几,百分之几•••是多少?
(3)一个数乘分数,就是求这个数的几分之几是多少。
4、除法的意义:
以这两个数的积和其中的一个因数,求另一个因数的运算。
、计算方法:
⑴、加法的计算方法。
①整数和小数:
相同数位对齐,从低位加起,哪一位上的数相加满十,要向前一位进1。
②分数:
同分母分数相加,分母不变只把分子相加。
异分母分数相加,先通分,再按照同分母分数加法法则进行计算。
⑵、减法的计算方法:
①整数和小数:
相同数位对齐,从低位减起,哪一位上的数不够减,从前一位退1,在本位上加10后再减。
②分数:
同分母分数相减,分母不变,只把分子相减。
(分子之差做分子)异分母分数相减,先通分,再按照同分母分数减法法则进行计算。
⑶、乘法的计算方法:
①整数乘法的计算方法:
相同数位对齐,从末尾乘起,用第二个因数的每一位上的数去乘第一个因数,用哪一位的数去乘,乘得的积的末尾就要和那一位对齐,最后把每次乘得的积的相加。
链接:
两位数×两位数的速算
方法:
尾数相乘,对角相乘再相加,首数相乘。
37
×4612
2294
第一步:
尾数相乘:
7对角相乘再相加2=14(满十进位)。
第二步:
对角相乘再相加:
3×2=6、7×6=42;两积相加6+42=48(满十进位);48+1=49
第三步:
首数相乘:
3×6=1818+4=22
②小数乘法的计算方法:
计算小数乘法,末尾对齐,先按照整数乘法的计算方法算出积,再看因数中一共有几位小数,就从积的末尾起向左数出几位,点上小数点。
③分数乘法的计算方法:
分数乘分数,用分子相乘的积作分子,分母相乘的积作分母(能约分的要先约分)。
⑷、除法的计算方法
①除法的计算方法:
整数除法的计算方法:
从被除数的高位除起,除的时候,除数有几位数就先看被除数的前几位,如果前几位不够除,再多看一位,除到被除数的哪一位,就把商写在哪一位的上面,每次除得余数必须比除数小。
②小数除法的计算方法:
除数是整数的小数除法,要按照整数除法的计算方法去除,商的小数点要和被除数的小数点对齐。
如果除到被除数的末尾仍有余数,就在余数的末尾添上0继续除。
除数是小数的除法:
先移动除数的小数点,使它变为整数,除数的小数点向右移动几位,被除数的小数点也要向右移动相同位数(位数不够时,在被除数的末尾用0补足),然后按除数是整数的小数除法的计算方法进行计算。
③分数除法的计算方法:
甲数除以乙数(0除外)等于甲数乘乙数的倒数。
倒数:
乘积为1的两个数互为倒数。
0没有倒数。
1的倒数是1。
④估算:
把参与运算的某个数看成与它接近的整十、整百或整千数(根据实际情况而定,常有大估与小估之分),再运算出结果,使用“≈”号连接。
常用策略:
(1)凑整的方法。
(2)利用给定的数据个体特征进行。
如:
126ⅹ8≈1000,是把126看作12估算,属于小估范畴。
二、四则运算的验算方法:
1、“加数+加数=和”的验算方法:
(1)调换两个加数的位置再加一遍。
(2)求—个加数=和○—另一个加数。
2、“被减数-减数=差”的验算方法:
(1)求被减数=差+减数
(2)求减数=被减数—差
3、“因数×因数=积”的验算方法:
(1)调换两个因数的位置再乘一遍。
(2)求一个因数=积÷另一个因数。
4、“被除数÷除数=商”无余数的除法的验算方法:
(1)求被除数=商×除数
(2)求除数=被除数÷商
、“被除数÷除数=商……余数(每次除得余数必须小于除数)”有余数的除法的验算方法:
(1)求被除数=商×除数+余数
(2)求除数=(被除数-余数)÷商
三、0与1在四则运算中特性:
a+0=aa×0=00÷a=0a-0=aa×1=a
a-a=0a÷1=a1÷a=(提示:
a作除数时a≠0)
归纳:
0+任何数=任何数0×任何数=00÷任何不是0的数=0
1×任何数=任何数任何数÷1=任何数1÷任何不是0的数=任何不是0的数的倒数
规定:
”除法的除数、分数的分母、比的后项”均有”不能为0”的条。
在”分数的基本性质、比的基本性质、等式的性质”中均有”乘或除以一个不为0”的条。
四、运算定律及简便计算:
1.加数或减数接近整数(或整十、整百、整千数……)的简便计算:
(1)多加几就减几如
(1):
73+198
(2):
310-198(3):
183-102(4):
146+108
(2)多减几就加几=73+200-2=310-200+2=183-100-2=146+100+8
(3)少减几就再减几。
=273-2=110+2=83-2=246+8
(4)少加几就再加几。
=271=112=81=24
2.去括号(或添号)法则。
(用于同级运算中)
(1)在加、减法中:
括号前面是加号即:
+(),去掉括号,里面的数前的符号不变号。
括号前面是减号即:
-(),去掉括号,里面的数前的符号要变号,方法是:
+变-,-变+。
(2)在乘、除法中:
括号前面是乘号即:
×(),去掉括号,里面的数前的符号不变号;
括号前面是除号即:
÷(),去掉括号,里面的数前的符号要变号,×变÷,÷变×。
3.五大运算律。
(1)加法交换律:
a+b=b+a
(2)加法结合律:
(a+b)+=a+(b+)
(3)乘法交换律:
ab=ba
(4)乘法结合律:
(ab)×=a×(b)
()乘法分配律:
(a+b)×=a+b或(a-b)×=a-b
乘法分配律的逆运用:
a+b=(a+b)×或a-b=(a-b)×
五、运算性质:
1、减法的运算性质:
a-b-=a-(b+)a-(b-)=a-b+
2、除法的运算性质(除数不为0):
a÷b÷=a÷(b×)
a÷(b÷)=a÷b×(a+b)÷=a÷+b÷(a-b)÷=a÷-b÷
六、运算顺序:
1、加法、减法叫做一级运算,乘法、除法叫做二级运算。
2、在一个没有括号的算式里,如果只含有同一级运算,要从左往右依次计算;如果含有两级运算,要先算第二级运算,后算第一级运算。
3、在一个有括号的算式里,要先算