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备课

圆柱和圆锥的体积（复习）

一、课前谈话：

同学们，在我的班我有个习惯，就是在预备铃之后上课之前的两分钟，总会与同学们交流一下我的想法。

今天在我们实验学校，我也想跟同学们交流一下，我要说的是：

优秀从心态开始。

（出示：

优秀从心态开始）

一个人光有美好的理想，而不付诸行动，就会成为空想。

从古到今，成功者与失败者都不缺乏幻想，差距就在于行动。

成功者为什么会成功呢？

那是因为他们面对百分之一的希望，却敢于付出百分之一百的努力。

而失败者呢？

他们面对百分之九十九的希望，却被那百分之一的困难所吓倒！

所以说，优秀从心态开始，我们的心态就是我们真正的主人。

其实，人与人之间并没有太大的差别，成功与否，快乐与否，很大程度上取决于我们的心态。

所以说，我们要想成为优秀的人，首先要有优秀的心态，优秀从心态开始。

今天借这个话题我送给同学们一句名言：

犯其至难，图其至远。

这句话是北宋大家苏轼说的。

（出示：

犯其至难，图其至远——苏轼）。

什么意思呢？

我解释一下，就是向至高至难的地方发起冲击，才能达到至臻至美的境界；向至高至难的地方发起挑战，才能达到最远的目标。

用毛主席的话说就是，无限风光在险峰。

二、导入：

好了，今天我们要上一节复习课，复习圆柱和圆锥的体积。

（我提问问题时，叫不出同学的名字，请同学们原谅。

）

三、复习圆柱的体积：

（一）、猜想圆柱的体积跟长方体、正方体一样都是用底面积乘高来计算。

1、点动形成线。

先来想这样一个问题：

（演示幻灯片）这是一个点，无数个这样的点直着紧密的排在一起，或者说把这个点动起来，会怎样呢？

（形成一条线）。

）（演示幻灯片）所以说，点动形成线。

（出示点动形成线）

2、线动形成面。

（演示幻灯片）这是一条线段，无线条这样的线段线紧密的摞起来，或者说让这条段动起来，会怎样呢？

［会形成一个长方形（演示幻灯片），或者是——正方形（演示幻灯片），斜着摞起来呢？

（平行四边形）（演示幻灯片）。

］所以说，线动形成——（面）。

（出示线动形成面）。

（演示课件）所形成的这个面的面积就用这条线段的长度乘它上升的高度。

（手指屏幕）长方形的面积就是这条线段的长度乘它的高度，也就是长乘宽；正方形的面积就是这条线段的长度乘它的高度，也就是边长乘边长；平行四边形的面积就是这条线段的长度乘它的高度，也就是底乘高。

所以，（手指屏幕）象长方形、正方形、平行四边形这样，上下一样宽的平面图形的面积我们都可以归结为：

底乘高。

（出示：

上下一样宽的平面图形的面积＝底乘高）

3、面动形成体。

（打手势）有一个长方形，（当然它是一个面，）如果我们有无数个这样的长方形直着摞起来，让这个长方形升高，或者说让长方形这个面动起来，会怎样呢？

举个例子说，一张长方形纸，我们把它看做一个面，有很多很多这样的长方形纸摞起来，会形成什么呢？

（长方体。

）对，长方体就是这样形成的。

（课件展示。

）有一个正方形，如果我们有很多很多这样的正方形直着摞起来，让它的高度正好等于它的边长，就形成了——（正方体），正方体就是这样形成的。

（课件展示）.这是一个圆，有很多很多这样的圆直着摞起来，就形成了——（圆柱），圆柱就是这样形成的（课件展示）.所以说，面动形成——体。

（出示：

面动形成体）

4、猜测圆柱的体积跟长方体、正方体一样，也用底面积乘高来计算。

（展示课件）因为长方体是由长方形升高形成的，（手指屏幕）所以长方体的体积就用这个长方形的面积乘它的高度，也就是——底面积乘高。

这个底面积用——长乘宽来计算。

所以长方体的体积既可以说成——底面积乘高，也可以说成——长乘宽乘高。

（手指屏幕）正方体是由正方形升高形成的，所以正方体的体积就用这个正方形的面积乘它的高度，也就是——底面积乘高。

这个底面积用——棱长乘棱长来计算，高也是棱长。

所以正方体的体积既可以说成是——底面积乘高，也可以说成——棱长乘棱长乘棱长。

圆柱是由圆升高形成的，因此我们可以大胆猜测，圆柱的体积就是用这个圆的面积乘它的高度，也就是——底面积乘高。

这个底面积用——πr2来计算。

所以长方体、正方体和圆柱，它们的体积都可以用——底面积乘高来计算。

（出示长方体、正方体、圆柱的体积＝底面积×高）。

（二）验证圆柱的体积计算公式，复习圆柱体积公式的推导过程，并把底面积乘高这一体积计算方法推广到所有柱体上。

1、验证圆柱的体积计算公式，复习圆柱体积公式的推导过程。

刚才，我们只是在猜测，圆柱的体积应该跟长方体、正方体一样，也是底面积乘高。

（板书：

猜测），到底是不是这样呢，还得验证。

（板书：

验证）下面我们来回顾一下圆柱的体积是怎样推导出来的。

我们在面对一个新事物、学习一个新知识、解决一个新问题的时候，都是把它转化成我们已经学过的知识，利用已有的经验来进行的。

（板书：

转化）我们在第十一册学习圆的面积的时候，遇到圆这个曲的平面，把它转化成了直的平面，也就是转化成了长方形。

这种方法叫做化曲为直。

（板书：

化曲为直），（展示课件圆面积的推导过程1）。

我们把圆平均分成很多扇形，然后拼起来，得到一个近似的长方形，我们就用这个长方形的面积来推导出圆的面积。

可能有些同学又说了，我们得到的只是一个近似的长方形，又不是一个标准的长方形，用它来推导圆的面积科学吗？

其实长方形的长之所以是弯的，是因为我们分扇形的份数太少了，如果分的扇形越多，长方形的长就越直；如果把圆无限的分下去，长方形的长就会变直了，就是一个标准的长方形，也就是说我们得到的是一个标准的长方形，而不是一个近似的长方形。

这种思想叫极限。

（板书：

极限）对极限思想不太明白？

我来举个例子。

0.9999……和1谁大？

（展示课件）（指生回答，学生回答1大，我说一样大，1完全等于0.9，9的循环，而不是约等于，我可以用多种方法来证明。

继续展示课件）继续来看，（展示课件），我们说了，无限的分下去这就是一个标准的长方形，（观察图）这个长方形的长就是——圆周长的一半，圆的周长用2πr来表示，那圆周长的一半就用πr来表示，（展示课件圆面积的推导过程2），长方形的宽是——圆的半径，用r来表示。

长方形的面积等于长乘宽，所以圆的面积就是——πr乘r，也就是πr2.。

现在我们遇到了圆柱这种曲的物体，要研究它的体积，当然就会想到把它转化成直的物体，也就是——长方体的体积来计算。

这种借鉴原来经验的方法叫做类比。

（板书：

类比）下面我们来复习圆柱体积的推导过程。

（板书：

推理）我们把圆柱的底面分成很多扇形，（出示课件圆柱的体积推导1），沿着扇形把圆柱切开（出示课件圆柱的体积推导2），再拼起来，（出示课件圆柱的体积推导3）,会得到一个长方体。

刚才说了，如果一直分下去，就会得到一个标准的长方体。

这个长方体的体积等于圆柱的体积，（出示课件圆柱的体积推导4）,而长方体的体积又等于——（底面积乘高），（出示课件圆柱的体积推导5）,长方体的底面积又等于——（圆柱的底面积），（出示课件圆柱的体积推导6）,长方体的高又等于——（圆柱的高）,（出示课件圆柱的体积推导7）,长方体的体积等于底面积乘高，（出示课件圆柱的体积推导8）,所以圆柱的体积也等于底面积乘高（出示课件圆柱的体积推导9）。

刚才我听到一名同学说，长方体的体积等于长乘宽乘高，能不能用这个公式来推导出圆柱的体积公式呢？

（（出示课件圆柱的体积推导10）,长方体的体积等于圆柱的体积，（出示课件圆柱的体积推导11）,长方体的体积等于长乘宽乘高,（出示课件圆柱的体积推导12），长方体的长是圆柱——（观察：

圆柱底面周长的一半，底面周长可以用2πr来表示，那么底面周长的一半就用πr来表示），（出示课件圆柱的体积推导13）,长方体的宽是圆柱的——（底面半径，我们用r来表示。

）（出示课件圆柱的体积推导14）长方体的高是圆柱的——（高，我们用h来表示。

）（出示课件圆柱的体积推导15），长方体的体积等于长乘宽乘高，（出示课件圆柱的体积推导16）所以圆柱的体积就等于πr乘r乘h，（出示课件圆柱的体积推导17）也就是πr2乘h，（出示课件圆柱的体积推导18）πr2就是底面积，也就是底面积乘高。

（出示课件圆柱的体积推导19）.用长乘宽乘高这个公式也可以推导出圆柱的体积等于底面积乘高。

2、把底面积乘高这一体积计算方法推广到所有柱体。

刚才我们猜测并验证了圆柱的体积，跟长方体、正方体一样，都是底面积乘高。

现在我们再来想象一下，一个三角形直着向上升，就变成了——，（课件演示），这个物体叫做三棱柱。

一个梯形直着上长升，就变成了——，（课件演示），这个物体叫做四棱柱，其实长方体和正方体也是四棱柱。

一个环形（圆环）直着上升，就变成了——，（钢管），（课件演示）。

大家想一想，煤球是怎样形成的呢？

（它的底面是一个大圆，从大圆里抠去12个小圆，这样的一个底面升高度形成的），刚才说的这些物体，（连续出示课件），像长方体、正方体、圆柱、三棱柱、四棱柱，环形升高形成的钢管，煤球等等，它们都上下一样粗，我们把它们统称为柱体。

（出示课件：

柱体）。

圆形的柱体叫圆柱，像长方体、正方体、三棱柱、四棱柱这样的，有棱的，我们叫它棱柱。

圆柱和棱柱统称为柱体，所有的柱体的体积都可以用——底面积乘高来计算。

（出示课件：

体积等于底面积乘高）

（接着刚才的幻灯片解释：

）解释：

长方体的底面是长方形，底面积就是长乘宽，正方体的底面是正方形，底面积就是棱长乘棱长，圆柱的底面是圆，底面积就是πr2，三棱柱的底面是三角形，底面积就是底乘高除以2，四棱柱可能是平行四边形或梯形等等，底面积用平行四边形或梯形的面积来计算。

钢管的底面是环形，底面积就是环形的面积，大圆的面积减小圆的面积。

煤球的底面是大圆抠去12个小圆，底面积就是大圆的面积减去12个小圆的面积。

3、练习。

（出示课件）

计算下面图形的体积：

（只列式不计算）

出示图形：

（1）圆柱直径6cm，高8cm。

（2）三棱柱底面积12dm2，高5dm。

（3）四棱柱底面积20m2，高7m。

4、沿着长方形的一条边为轴转动，形成圆柱。

刚才说了，面动会形成体。

（出示长方形小旗实物）现在我们有一个长方形，如果以这条边为轴旋转一周，会变成——（圆柱）。

（想象一下，形成的这个圆柱比较高，比较瘦。

长方形为轴的这条边是——圆柱的高，另一条边是——圆柱的半径。

）以另一边为轴呢？

（也会变成圆柱，这个圆柱比较矮，比较胖。

长方形的这条边是——圆柱的高，另一条边是——圆柱的半径）我们归纳一下：

（板书：

归纳）以长方形的哪条边为轴转动，这条边就是所形成的圆柱的高，另一条边是就是圆柱的半径。

5、练习。

用同一个长方形，以不同的边为轴转动，形成不同的两个圆柱，它们的体积相同吗？

试试看。

（课件展示）：

只列式，不计算。

一个长方形长3厘米，宽2厘米，如果以3厘米的这条边为轴，旋转一周，得到一个（），这个圆柱的体积是多少立方厘米？

如果以2厘米这条边为轴，旋转一周得到的圆柱的体积又是多少呢？

小结：

它们的体积是不相等的。

以3cm为轴形成的这个又瘦又高的圆柱，它的体积是37.68立方厘米。

以2cm为轴形成的的这个又矮又胖的圆柱，它的体积是56.52立方厘米。

其实它们的体积比是2：

3.（板书）：

（3.14x2x2x3）/（3.14x3x3x2）=2:

3.

四、复习圆锥的体积

1、圆锥的形成过程.

下面我们来复习圆锥的体积。

先来想象一下，圆锥是怎样形成的呢？

（用手势比划），圆锥就是一个圆柱，它的下底面不动，往上慢慢慢慢缩小，上底面逐渐变成了一个顶点形成的。

（展示课件）。

可以说，圆锥是由圆柱瘦身得到的。

所以圆锥只有两个面，一个底面，一个侧面，上边的底面变顶点了。

2、复习圆锥体积公式的推导过程。

圆锥的体积是怎样来推导呢？

同样地，我们要推导圆锥的体积，也要把它转化成一个我们学过的物体的体积来计算。

转化成哪种物体比较可行呢？

（圆柱）。

为什么？

（因为圆锥的底面是个圆，圆柱的底面也是个圆，而且圆锥是由圆柱慢慢瘦身得到的。

）对，我们要把圆锥的体积转化成圆柱的体积来计算。

那是不是随便找个圆柱和圆锥来研究它们体积之间的关系呢？

（不，应该找一个等底等高的圆柱和圆锥来研究），（课件展示圆锥体积推导1），等底其实就是圆柱和圆锥一样粗，等高就是圆柱和圆锥一样高。

）

（课件展示圆锥体积推导2）大家注意观察，现在我倒水，为了让同学们看清楚，我先倒一杯浅紫色的水，这一杯水占圆柱的多少呢？

（三分之一。

）也就是说等底等高的圆锥的体积是圆柱的三分之一。

我再倒一杯深紫色的水。

（课件展示圆锥体积推导3），现在占圆柱的——三分之二。

再倒一杯橙色的水，（课件展示圆锥体积推导4），现在圆柱满了。

也就是说，等底等高的圆柱的体积是圆锥的3倍，圆锥的体积是圆柱的三分之一。

（课件展示圆锥体积推导5）

3、把圆锥的体积公式推广到锥体。

其实，不光是圆柱可以瘦身，变成圆锥，一个长方体或正方体也可以瘦身。

比如正方体，下底面不动，上底面慢慢慢慢缩成一个点，会变成什么？

（金字塔）对，金字塔就是一个锥体，我们叫它棱锥，它是一个四棱锥。

像圆锥（课件展示）、金字塔等等（课件展示）这样的物体，我们都叫它锥体。

（课件展示）。

它们的体积也都是可以用1/3×底面积×高来计算。

（课件展示）

4、练习：

（课件展示）

（1）、一个圆锥的体积是12立方厘米，与它等底等高的圆柱的体积是（）立方厘米。

（2）、一个圆柱的体积是12立方厘米，与它等底等高的圆锥的体积是（）立方厘米。

（3）、一个圆柱和一个圆柱等底等高，圆锥与圆柱的体积比是（），圆柱与圆锥的体积比是（）。

我们来比较一下，（板书：

比较）

（4）、一个圆柱形水桶装满了水，有一个圆锥形的容器恰好与它等底等高，这个水桶的水可以装满（）个这样的容器。

3桶水呢？

（5）12个完全一样的圆锥形橡皮泥，改做成与它们等底等高的圆柱，可以做（）个。

（6）、把一个圆柱削成一个最大的圆锥，圆柱的体积是12立方厘米，圆锥的体积是（）立方厘米，削去了（）立方厘米。

（7）、把一个圆柱削成一个最大的圆锥，圆锥的体积是12立方厘米，圆柱的体积是（）立方厘米，削去了（）立方厘米。

（8）、把一个圆柱削成一个最大的圆锥，削去的体积是12立方厘米，圆锥的体积是（）立方厘米，圆柱的体积是（）立方厘米。

（9）、一个圆柱和一个圆锥体积相等，底面积也相等，圆柱的高是12厘米，圆锥的高是（）厘米。

（10）、一个圆柱和一个圆锥体积相等，高也相等，圆锥的底面积是12平方厘米，圆柱的底面积是（）立方厘米。

结论：

一个圆柱和一个圆锥等底等高，（）的体积是（）的体积的3倍；一个圆柱和一个圆锥体积相等，底面积也相等，（）的高是（）高的3倍；一个圆柱和一个圆锥体积相等，高也相等，（）的底面积是（）底面积的3倍；

五、课堂总结：

今天我们复习了圆柱和圆锥的体积，我们知道了不只是圆柱、长方体、正方体，所有柱体的体积都可以用底面积乘高来计算。

不只是圆锥，所有的锥体的体积也都可以用1/3乘底面积乘高来计算。

（板书：

系统化）我们还复习了一些数学思想和方法，有猜测、验证、转化、推理、化曲为直、极限、类比、归纳、比较、系统化等，还知道了学习图形的知识一定要和实际生活相联系，多动手操作。

谢谢同学们，下课。

课前准备：

ppt。

长方形小旗2面，u盘。

不说一句废话。

附：

板书设计

左侧：

右侧：

3.14x2x2x3＝2:

3猜测验证转化化曲为直极限

3.14x3x3x2.类比推理归纳比较系统化