高中数学两条平行直线间的距离学案新人教A版必修2.docx

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高中数学两条平行直线间的距离学案新人教A版必修2

2.3.3　直线与平面垂直的性质

2.3.4　平面与平面垂直的性质

目标定位　1.证明并掌握直线与平面、平面与平面垂直的性质定理，并能用文字、符号和图形语言描述定理.2.能运用性质定理证明一些空间位置关系的简单命题.3.理解“平行”与“垂直”之间的相互转化.

自主预习

1.直线与平面垂直的性质定理

文字语言

垂直于同一个平面的两条直线平行

符号语言

⇒a∥b

图形语言

作用

①线面垂直⇒线线平行

②作平行线

2.平面与平面垂直的性质定理

文字语言

两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直

符号语言

⇒a⊥β

图形语言

作用

①面面垂直⇒线面垂直

②作面的垂线

即时自测

1.判断题

（1）两条平行直线中的一条垂直于一个平面，另一条也垂直于这个平面.（√）

（2）垂直于同一平面的两个平面平行.（×）

（3）如果两个平面垂直，那么经过第一个平面内一点且垂直于第二个平面的直线在第一个平面内.即α⊥β，A∈α，A∈b，b⊥β⇒b⊂α.（√）

（4）如果平面α⊥平面β，那么平面α内的所有直线都垂直于平面β.（×）

提示　

（2）垂直于同一平面的两个平面可以相交也可以平行.

（4）直线与平面β位置关系不确定.

2.△ABC所在的平面为α，直线l⊥AB，l⊥AC，直线m⊥BC，m⊥AC，则直线l，m的位置关系是（　　）

A.相交B.异面C.平行D.不确定

解析　因为l⊥AB，l⊥AC，AB⊂α，AC⊂α且AB∩AC＝A，所以l⊥α，同理可证m⊥α，所以l∥m.

答案　C

3.在长方体ABCD－A1B1C1D1的棱AB上任取一点E，作EF⊥A1B1于F，则EF与平面A1B1C1D1的关系是（　　）

A.平行B.EF⊂平面A1B1C1D1

C.相交但不垂直D.相交且垂直

解析　在长方体ABCD－A1B1C1D1中，平面A1ABB1⊥平面A1B1C1D1且平面A1ABB1∩平面A1B1C1D1＝A1B1，又EF⊂面A1ABB1，EF⊥A1B1，∴EF⊥平面A1B1C1D1，答案D正确.

答案　D

4.已知a、b为直线，α、β为平面.在下列四个命题中，正确的命题是________（填序号）.

①若a⊥α，b⊥α，则a∥b；②若a∥α，b∥α，则a∥b；③若a⊥α，a⊥β，则α∥β；④若α∥b，β∥b，则α∥β.

解析　由“垂直于同一平面的两直线平行”知①真；由“平行于同一平面的两直线平行或异面或相交”知②假；由“垂直于同一直线的两平面平行”知③真；易知④假.

答案　①③

类型一　直线与平面垂直的性质及应用

【例1】如图，正方体ABCD－A1B1C1D1中，EF与异面直线AC、A1D都垂直相交.

求证：

EF∥BD1.

证明　如图所示，连接AB1、B1D1、B1C、BD，

∵DD1⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，∴DD1⊥AC.

又AC⊥BD，DD1∩BD＝D，∴AC⊥平面BDD1B1，

又BD1⊂平面BDD1B1，∴AC⊥BD1.

同理可证BD1⊥B1C，又AC∩B1C＝C，∴BD1⊥平面AB1C.

∵EF⊥A1D，A1D∥B1C，∴EF⊥B1C.

又∵EF⊥AC，AC∩B1C＝C，

∴EF⊥平面AB1C，∴EF∥BD1.

规律方法　证明线线平行常有如下方法：

（1）利用线线平行定义：

证共面且无公共点；

（2）利用三线平行公理：

证两线同时平行于第三条直线；

（3）利用线面平行的性质定理：

把证线线平行转化为证线面平行；

（4）利用线面垂直的性质定理：

把证线线平行转化为证线面垂直；

（5）利用面面平行的性质定理：

把证线线平行转化为证面面平行.

【训练1】如图，已知平面α∩平面β＝l，EA⊥α，垂足为A，EB⊥β，垂足为B，直线a⊂β，a⊥AB.求证：

a∥l.

证明　因为EA⊥α，α∩β＝l，即l⊂α，所以l⊥EA.

同理l⊥EB，又EA∩EB＝E，所以l⊥平面EAB.

因为EB⊥β，a⊂β，所以EB⊥a，又a⊥AB，EB∩AB＝B，

所以a⊥平面EAB.因此，a∥l.

类型二　平面与平面垂直的性质及应用

【例2】已知：

α、β、γ是三个不同平面，l为直线，α⊥γ，β⊥γ，α∩β＝l.求证：

l⊥γ.

证明　法一　设α∩γ＝a，β∩γ＝b，在γ内任取一点P，过P在γ内作直线m⊥a，n⊥b，如图.

∵α⊥γ，β⊥γ，∴m⊥α，n⊥β，

又∵α∩β＝l，

∴m⊥l，n⊥l，又m∩n＝P，∴l⊥γ.

法二　如图，α∩γ＝a，

β∩γ＝b，在α内作m⊥a，

在β内作n⊥b.

∵α⊥γ，β⊥γ，∴m⊥γ，n⊥γ，∴m∥n.

又∵n⊂β，m⊄β，∴m∥β，

又α∩β＝l，m⊂α，∴m∥l，∴l⊥γ.

规律方法　1.证明或判定线面垂直的常用方法有：

（1）线面垂直的判定定理；

（2）面面垂直的性质定理；

（3）若a∥b，a⊥α则b⊥α；（a，b为直线，α为平面）.

（4）若a⊥α，α∥β则a⊥β；（a为直线，α，β为平面）.

2.两平面垂直的性质定理告诉我们要将面面垂直转化为线面垂直，方法是在其中一个面内作（找）与交线垂直的直线.

【训练2】设平面α⊥平面β，点P在平面α内，过点P作平面β的垂线a，试判断直线a与平面α的位置关系.

解　如图，设α∩β＝c，过点P在平面α内作直线b⊥c.

根据平面与平面垂直的性质定理有b⊥β.

因为过一点有且只有一条直线与平面β垂直，

所以直线a与直线b重合，因此a⊂α.

类型三　线线、线面、面面垂直的综合应用（互动探究）

【例3】如图所示，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是边长为a的菱形，且∠DAB＝60°，侧面PAD为正三角形，其所在的平面垂直于底面ABCD.

（1）若G为AD边的中点，求证：

BG⊥平面PAD；

（2）求证：

AD⊥PB.

[思路探究]

探究点一　运用面面垂直的性质定理的一般策略是什么？

提示　运用面面垂直的性质定理时，一般要作辅助线：

过其中一个平面内一点作交线的垂线.这样就把面面垂直转化成线面垂直或线线垂直了.

探究点二　线线、线面、面面垂直关系之间有怎样的转化关系？

提示　

证明　

（1）∵在菱形ABCD中，∠DAB＝60°，

∴△ABD为正三角形，又G为AD的中点，∴BG⊥AD.

又平面PAD⊥平面ABCD，BG⊂平面ABCD，

平面PAD∩平面ABCD＝AD，∴BG⊥平面PAD.

（2）连接PG，如图，

∵△PAD为正三角形，G为AD的中点，∴PG⊥AD.

由

（1）知BG⊥AD，PG∩BG＝G，∴AD⊥平面PGB，

∵PB⊂平面PGB，∴AD⊥PB.

规律方法　证明线面垂直，一种方法是利用线面垂直的判定定理，另一种方法是利用面面垂直的性质定理.本题已知面面垂直，故可考虑面面垂直的性质定理.利用面面垂直的性质定理.证明线面垂直的问题时，要注意以下三点：

（1）两个平面垂直；

（2）直线必须在其中一个平面内；（3）直线必须垂直于它们的交线.

【训练3】如图，已知四棱锥P－ABCD的底面是直角梯形，∠ABC＝∠BCD＝90°，AB＝BC＝PB＝PC＝2CD，侧面PBC⊥底面ABCD.PA与BD是否相互垂直？

请证明你的结论.

解　PA与BD相互垂直.证明如下：

如图，取BC的中点O，连接PO、AO.

∵PB＝PC，∴PO⊥BC，又侧面PBC⊥底面ABCD，

平面PBC∩平面ABCD＝BC，∴PO⊥底面ABCD，

又BD⊂平面ABCD.∴PO⊥BD，

在直角梯形ABCD中，易证△ABO≌△BCD，

∠BAO＝∠CBD，∠CBD＋∠ABD＝90°，

∴∠BAO＋∠ABD＝90°，∴AO⊥BD，

又PO∩AO＝O，∴BD⊥平面PAO，∴BD⊥PA，即PA与BD相互垂直.

[课堂小结]

1.线面垂直的性质定理揭示了空间中“平行”与“垂直”关系的内在联系，提供了“垂直”与“平行”关系相互转化的依据.

2.面面垂直的性质定理揭示了“面面垂直、线面垂直及线线垂直”间的内在联系，体现了数学中的转化与化归思想，其转化关系如下：

1.下列说法正确的是（　　）

A.垂直于同一条直线的两直线平行

B.垂直于同一条直线的两直线垂直

C.垂直于同一个平面的两直线平行

D.垂直于同一条直线的一条直线和平面平行

解析　由线面垂直的性质定理知C正确.

答案　C

2.设α－l－β是直二面角，直线a⊂α，直线b⊂β，a，b与l都不垂直，那么（　　）

A.a与b可能垂直，但不可能平行

B.a与b可能垂直，也可能平行

C.a与b不可能垂直，但可能平行

D.a与b不可能垂直，也不可能平行

解析　当a，b都与l平行时，则a∥b，所以A、D错，

如图，若a⊥b过a上一点P在α内作a′⊥l，

因为α⊥β，所以a′⊥β，

又b⊂β，∴a′⊥b，∴b⊥α，

而l⊂α，∴b⊥l，与b和l不垂直矛盾，所以B错.

答案　C

3.如图，在三棱锥P－ABC内，侧面PAC⊥底面ABC，且∠PAC＝90°，PA＝1，AB＝2，则PB＝________.

解析　∵侧面PAC⊥底面ABC，交线为AC，∠PAC＝90°（即PA⊥AC），PA⊂平面PAC，∴PA⊥平面ABC，又AB⊂平面ABC，

∴PA⊥AB，∴PB＝

＝

＝

.

答案　

4.如图所示，在四棱锥S－ABCD中，底面ABCD是矩形，侧面SDC⊥底面ABCD，求证：

平面SCD⊥平面SBC.

证明　∵底面ABCD是矩形，∴BC⊥CD.又∵平面SDC⊥平面ABCD，

平面SDC∩平面ABCD＝CD，BC⊂平面ABCD，

∴BC⊥平面SCD.又∵BC⊂平面SBC，

∴平面SCD⊥平面SBC

基础过关

1.下列命题中错误的是（　　）

A.如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面β

B.如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面β

C.如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β＝l，那么l⊥平面γ

D.如果平面α⊥平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面β

解析　由平面与平面垂直的有关性质可以判断出D项错误.

答案　D

2.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB，∠BCD＝45°，∠BAD＝90°，将△ABD沿BD折起，使平面ABD⊥平面BCD，构成三棱锥A－BCD，则在三棱锥A－BCD中，下列命题正确的是（　　）

A.平面ABD⊥平面ABCB.平面ADC⊥平面BDC

C.平面ABC⊥平面BDCD.平面ADC⊥平面ABC

解析　如图，在平面图形中CD⊥BD，折起后仍然满足CD⊥BD，由于平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD＝BD，CD⊂平面BCD，故CD⊥平面ABD，又AB⊂平面ABD，CD⊥AB.又AB⊥AD，AD∩CD＝D，故AB⊥平面ADC，

又AB⊂平面ABC，所以平面ADC⊥平面ABC.

答案　D

3.设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中正确的是（　　）

A.若α⊥β，m⊂α，n⊂β，则m⊥n

B.若α∥β，m⊂α，n⊂β，则m∥n

C.若m⊥n，m⊂α，n⊂β，则α⊥β

D.若m⊥α，m∥n，n∥β，则α⊥β

解析　如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，平面BCC1B1⊥平面ABCD，BC1⊂平面BCC1B1，BC⊂平面ABCD，而BC1不垂直于BC，故A错误.平面A1B1C1D1∥平面ABCD，B1D1⊂平面A1B1C1D1，AC⊂平面ABCD，但B1D1和AC不平行，故B错误.AB⊥A1D1，AB⊂平面ABCD，A1D1⊂平面A1B1C1D1，但平面A1B1C1D1∥平面ABCD，故C错误.故选D.

答案　D

4.a，b是两条不同直线，α为平面，以下命题中正确的是________（填序号）.

①

⇒a∥α；②

⇒b⊥α；③

⇒a∥b；

④

⇒b⊥α.

解析　①中a可能在α内；②中b也可能与α平行，③④正确.

答案　③④

5.若α⊥β，α∩β＝AB，a∥α，a⊥AB，则a与β的关系为________.

解析　如图，过a作平面γ，设γ∩α＝b，

∵a∥α，∴a∥b.又∵a⊥AB，∴b⊥AB.

又∵α⊥β，α∩β＝AB，b⊂α，∴b⊥β，∴a⊥β.

答案　a⊥β

6.如图三棱锥P－ABC中，已知△ABC是等腰直角三角形，∠ABC＝90°，△PAC是直角三角形，∠PAC＝90°，∠ACP＝30°，平面PAC⊥平面ABC.求证：

平面PAB⊥平面PBC.

证明　∵平面PAC⊥平面ABC，

平面PAC∩平面ABC＝AC，PA⊥AC，

PA⊂平面PAC，∴PA⊥平面ABC.

又BC⊂平面ABC，∴PA⊥BC.

又∵AB⊥BC，AB∩PA＝A，∴BC⊥平面PAB.

又BC⊂平面PBC，∴平面PAB⊥平面PBC.

7.如图，在四棱锥P－ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，CD＝2AB，平面PAD⊥底面ABCD，PA⊥AD，E和F分别是CD和PC的中点.求证：

（1）PA⊥底面ABCD；

（2）BE∥平面PAD；

（3）平面BEF⊥平面PCD.

证明　

（1）因为平面PAD⊥底面ABCD，

且PA垂直于这两个平面的交线AD，PA⊂平面PAD，

所以PA⊥底面ABCD.

（2）因为AB∥CD，CD＝2AB，E为CD的中点，

所以AB∥DE，且AB＝DE.

所以四边形ABED为平行四边形.所以BE∥AD.

又因为BE⊄平面PAD，AD⊂平面PAD，

所以BE∥平面PAD.

（3）因为AB⊥AD，而且四边形ABED为平行四边形，

所以BE⊥CD，AD⊥CD.

由

（1）知PA⊥底面ABCD，CD⊂平面ABCD，

所以PA⊥CD.

又PA∩AD＝A，所以CD⊥平面PAD.

又PD⊂平面PAD，所以CD⊥PD.

因为E和F分别是CD和PC的中点，

所以PD∥EF.所以CD⊥EF.

又因为CD⊥BE，EF∩BE＝E，

所以CD⊥平面BEF.又CD⊂平面PCD，所以平面BEF⊥平面PCD.

能力提升

8.如图所示，在斜三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BAC＝90°，BC1⊥AC，则点C1在底面ABC上的射影H必在（　　）

A.直线AB上B.直线BC上

C.直线AC上D.△ABC内部

解析　连接AC1，∠BAC＝90°，即AC⊥AB，又AC⊥BC1，AB∩BC1＝B，所以AC⊥平面ABC1.又AC⊂平面ABC，于是平面ABC1⊥平面ABC，且AB为交线，因此，点C1在平面ABC上的射影必在直线AB上，故选A.

答案　A

9.如图，正方形SG1G2G3中，E、F分别是G1G2、G2G3的中点，现在沿SE、SF、EF把这个正方形折成一个四面体，使G1、G2、G3重合，重合后的点记为G.给出下列关系：

①SG⊥平面EFG；②SE⊥平面EFG；③GF⊥SE；

④EF⊥平面SEG.其中成立的有（　　）

A.①与②B.①与③C.②与③D.③与④

解析　由SG⊥GE，SG⊥GF，GE∩GF＝G，得SG⊥平面EFG，排除C、D；若SE⊥平面EFG，则SG∥SE，这与SG∩SE＝S矛盾，排除A，故选B.

答案　B

10.如图所示，已知两个正方形ABCD和DCEF不在同一平面内，M，N分别为AB，DF的中点.若CD＝2，平面ABCD⊥平面DCEF，则线段MN的长等于________.

解析　取CD的中点G，连接MG，NG.

因为ABCD，DCEF为正方形，且边长为2，所以MG⊥CD，MG＝2，NG＝

.

因为平面ABCD⊥平面DCEF，

平面ABCD∩平面DCEF＝CD，

所以MG⊥平面DCEF，由于GN⊂平面CDEF，可得MG⊥NG，

所以MN＝

＝

.

答案　

11.如图所示，在平行四边形ABCD中，已知AD＝2AB＝2a，BD＝

a，AC∩BD＝E，将其沿对角线BD折成直二面角.

求证：

（1）AB⊥平面BCD；

（2）平面ACD⊥平面ABD.

证明　

（1）在△ABD中，AB＝a，AD＝2a，BD＝

a，

∴AB2＋BD2＝AD2，∴∠ABD＝90°，AB⊥BD.

又∵平面ABD⊥平面BCD，

平面ABD∩平面BCD＝BD，AB⊂平面ABD，

∴AB⊥平面BCD.

（2）∵折叠前四边形ABCD是平行四边形，

且AB⊥BD，∴CD⊥BD.

∵AB⊥平面BCD，CD⊂平面BCD.∴AB⊥CD.

∵AB∩BD＝B，∴CD⊥平面ABD.

又∵CD⊂平面ACD，∴平面ACD⊥平面ABD.

探究创新

12.在如图所示的多面体中，四边形ABB1A1和ACC1A1都为矩形.

（1）若AC⊥BC，证明：

直线BC⊥平面ACC1A1；

（2）设D，E分别是线段BC，CC1的中点，在线段AB上是否存在一点M，使直线DE∥平面A1MC？

请证明你的结论.

（1）证明　因为四边形ABB1A1和ACC1A1都是矩形，

所以AA1⊥AB，AA1⊥AC.

因为AB，AC为平面ABC内两条相交的直线，

所以AA1⊥平面ABC.

因为直线BC⊂平面ABC，所以AA1⊥BC.

又由已知，AC⊥BC，AA1，AC为平面ACC1A1内两条的相交直线，所以BC⊥平面ACC1A1.

（2）解　取线段AB的中点M，连接A1M，MC，A1C，AC1，设O为A1C，AC1的交点.

由已知，O为AC1的中点.

连接MD，OE，则MD，OE分别为△ABC，△ACC1的中位线，所以MD綉

AC，OE綉

AC，

因此MD綉OE.

连接OM，从而四边形MDEO为平行四边形，

则DE∥MO.

因为直线DE⊄平面A1MC，MO⊂平面A1MC，

所以直线DE∥平面A1MC.

即线段AB上存在一点M（线段AB的中点），

使直线DE∥平面A1MC.